题型突破—二次函数与几何综合类问题-中考数学第三轮专题复习课件

这是一份题型突破—二次函数与几何综合类问题-中考数学第三轮专题复习课件，共60页。PPT课件主要包含了图Z7-1①，图Z7-1②，图Z7-1③，图Z7-1④，图Z7-1⑤，题型精练，图Z7-2，图Z7-3，图Z7-4，图Z7-5等内容，欢迎下载使用。
二次函数背景下的线段、周长的最值问题是常考题型,此类问题主要有两种形式:(1)平行于坐标轴的线段的最值问题:此类问题常常通过线段两端点的坐标差表示出线段长的函数关系式,然后运用二次函数性质求最值;(2)“将军饮马”型问题或其变形问题:此类问题一般是已知两个定点和一条定直线,然后在定直线上确定一点,使得这个点到两定点距离和最小.其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.这类问题的解决方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,然后通过求直线解析式及直线交点坐标,计算最小值或点坐标.
类型一　二次函数与线段、周长有关的问题
例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标.(2)若抛物线与y轴交于点D(0,3),求此抛物线的解析式.(3)若第二象限内的点E在(2)中的抛物线上,到x轴,y轴的距离比为5∶2,且点E与点A在此抛物线对称轴的同侧,求E点的坐标.(4)在y轴上是否存在点M,使MA+ME的和最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z7-1①图Z7-1②
(5)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (6)在y轴上是否存在一点S,使得|SE-SA|的值最大?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由. (7)若点H是抛物线上位于AD下方的一点,过点H作y轴的平行线,交AD于点K,设点H的横坐标为h,线段HK=d.①求d关于h的函数关系式;②求d的最大值及此时H点的坐标.
图Z7-1 ③ 图Z7-1 ④图Z7-1⑤
例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(2)若抛物线与y轴交于点D(0,3),求此抛物线的解析式.
(2)∵A(-1,0),B(-3,0)在抛物线上,∴设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x+1),∵点D(0,3)在抛物线上,∴3=3a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3.
例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(3)若第二象限内的点E在(2)中的抛物线上,到x轴,y轴的距离比为5∶2,且点E与点A在此抛物线对称轴的同侧,求E点的坐标.
例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(4)在y轴上是否存在点M,使MA+ME的和最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(5)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0). (6)在y轴上是否存在一点S,使得|SE-SA|的值最大?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0). (7)若点H是抛物线上位于AD下方的一点,过点H作y轴的平行线,交AD于点K,设点H的横坐标为h,线段HK=d.①求d关于h的函数关系式;②求d的最大值及此时H点的坐标.
1. [2018·自贡]如图Z7-2,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合).(1)求直线AD及抛物线的解析式.(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?
1. [2018·自贡]如图Z7-2,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合).(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?
3. [2019·深圳]如图Z7-4所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)如图①,点D,E为直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值;(3)如图②,点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分,求点P的坐标.
3. [2019·深圳]如图Z7-4所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.(2)如图①,点D,E为直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值;
3. [2019·深圳]如图Z7-4所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.(3)如图②,点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分,求点P的坐标.
二次函数与面积的结合问题一般涉及求三角形、四边形的面积,求四边形的面积一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和差.求三角形的面积时,若三角形有一边在坐标轴上,则以此边为底边,过其对应顶点作底边垂 线,利用三角形面积公式求得面积;若三角形的三边均不在坐标轴上,则一般过一个顶点作平行于坐标轴的直线,利用铅锤法求面积.如图Z7-6,如果是面积的倍数关系,一般需要用等积变形来解决,即过三角形的一个顶点作它对边的平行线或从图形中寻找出这样的直线,利用等底同高来进行等积变形,从而实现三角形顶点的转移;如果过某个顶点的线段平分三角形的面积,则该线段一定过该顶点对边的中点.
类型二　二次函数与面积的结合问题
例2 [2018·日照改编]如图Z7-7①,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)在抛物线上存在点M,使得△MAB的面积与△ABC的面积相等,求点M的坐标;(3)连接CD,AC,BD,求四边形ACDB和△CBD的面积;(4)在直线BC上方的抛物线上求一点N,使△NBC面积为1;
(5)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC的面积最大;(6)点E是直线BC上方的抛物线上一点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,求△BEF的面积被直线CB平分时点E的坐标;(7)点R是直线BC上方的抛物线上一点,过点R作x轴的垂线,垂足为S,试确定点R的位置,使△BSR的面积被直线CB分为1∶2的两部分.
例2 [2018·日照改编]如图Z7-7①,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(2)在抛物线上存在点M,使得△MAB的面积与△ABC的面积相等,求点M的坐标;
例2 [2018·日照改编]如图Z7-7①,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(3)连接CD,AC,BD,求四边形ACDB和△CBD的面积;
例2 [2018·日照改编]如图Z7-7①,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(4)在直线BC上方的抛物线上求一点N,使△NBC面积为1;
例2 [2018·日照改编]如图Z7-7①,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(5)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC的面积最大;
例2 [2018·日照改编]如图Z7-7①,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(6)点E是直线BC上方的抛物线上一点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,求△BEF的面积被直线CB平分时点E的坐标;
例2 [2018·日照改编]如图Z7-7①,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(7)点R是直线BC上方的抛物线上一点,过点R作x轴的垂线,垂足为S,试确定点R的位置,使△BSR的面积被直线CB分为1∶2的两部分.
2. [2018·徐州]如图Z7-9,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+6x-5的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其顶点为P,连接PA,AC,CP,过点C作y轴的垂线l.(1)求点P,C的坐标.(2)直线l上是否存在点Q,使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,∴顶点P的坐标为(3,4),令x=0,得y=-5,∴C的坐标为(0,-5).
2. [2018·徐州]如图Z7-9,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+6x-5的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其顶点为P,连接PA,AC,CP,过点C作y轴的垂线l.(2)直线l上是否存在点Q,使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
3. [2019·毕节]已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.(1)抛物线的解析式为　　　　,抛物线的顶点坐标为　　　　. (2)如图Z7-10①,连接OP交BC于点D,当S△CPD∶S△BPD=1∶2时,请求出点D的坐标.(3)如图②,点E的坐标为(0,-1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标.(4)如图③,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)y=-x2-2x+3　(-1,4)　[解析]函数的解析式为:y=a(x-1)(x+3),∴-3a=3,解得:a=-1,故抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3,顶点坐标为(-1,4).
3. [2019·毕节]已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.(2)如图Z7-10①,连接OP交BC于点D,当S△CPD∶S△BPD=1∶2时,请求出点D的坐标.
3. [2019·毕节]已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.(3)如图②,点E的坐标为(0,-1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标.
3. [2019·毕节]已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.(4)如图③,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
二次函数与三角形考查最多的考点主要是直角三角形、等腰三角形及相似三角形的存在性问题.1.求解直角三角形的存在性问题的常用方法有两种:(1)代数法:设出一个点的坐标,表示出AB2,BC2,CA2,分三种情况:①AB2=BC2+ CA2;②BC2=CA2+AB2;③CA2=AB2+BC2,根据不同的情况建立方程求解.(2)几何法:把∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°转化为相似三角形对应边成比例建立方程求解.
类型三　二次函数与三角形的结合问题
2.求解等腰三角形的存在性问题有两种方法:(1)代数法:适用于三角形的边长容易由勾股定理求解的情况.步骤如下:①根据点的坐标,表示出AB2,BC2,CA2;②根据等腰三角形的性质,可得到三个方程:AB2=BC2,BC2=CA2,CA2=AB2;③分别解这三个方程,若能得到方程有解,则这个解即为所求;若方程无解,则不存在这样的三角形.(2)几何法(两圆一线法):利用数形结合,先找点,再计算.已知线段AB,在平面内找一线,使得△ABC为等腰三角形,满足条件的点C在如图Z7-11所示的以点A,B为圆心,以线段AB长为半径的圆上(除圆上与AB在一条直线上的两点),或在线段AB的垂直平分线.
例3 [2017·攀枝花改编]如图Z7-12①,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式,并求A点的坐标.(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求证:△CFE是等腰直角三角形.(3)在第(2)问的条件下求PE+EF的最大值.
(4)点D为抛物线对称轴上一点.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标.
例3 [2017·攀枝花改编]如图Z7-12①,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求证:△CFE是等腰直角三角形.
(2)证明:由题意OB=OC,∴∠OCB=45°,∵F,E在直线y=x+m上,∴∠CFE=45°,∠CEF=90°,即 在△CFE中,∠BCO=∠CFE=45°,∴△CFE为等腰直角三角形.
例3 [2017·攀枝花改编]如图Z7-12①,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(3)在第(2)问的条件下求PE+EF的最大值.
例3 [2017·攀枝花改编]如图Z7-12①,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(4)点D为抛物线对称轴上一点.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标.
1. [2019·宜宾]已知抛物线y=x2-1与y轴交于点A,与直线y=kx(k为任意实数)相交于B,C两点,则下列结论不正确的是(　　)A.存在实数k,使得△ABC为等腰三角形B.存在实数k,使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C.存在任意实数k,使得△ABC为直角三角形D.存在实数k,使得△ABC为等边三角形
[答案]D　[解析]如图①,可以得△ABC为等腰三角形,选项A正确;如图②,∠ACB=30°,∠ABC=60°,可以得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°,选项B正确;如图②和③,∠BAC=90°,可以得△ABC为直角三角形,选项C正确;不存在实数k,使得△ABC为等边三角形,选项D不正确.故选D.
2. [2019·盐城节选]如图Z7-13所示,二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B两点,点B在点A的右侧,直线AB与x轴交于C点,其中k