上海市闵行区2025届高三上学期学业质量调研数学试卷

这是一份上海市闵行区2025届高三上学期学业质量调研数学试卷，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．设集合，，则 ．
2．不等式的解集为 ．
3．直线的倾斜角为 ．
4．已知正实数、满足，则的最小值为 ．
5．已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为 ．
6．的二项展开式中，项的系数为 ．
7．已知函数为奇函数，则 .
8．从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ．
9．已知（i为虚数单位，为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为 ．
10．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则 ．
11．如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为 平方米．（结果保留整数）
12．已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是 ．
二、单选题
13．在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
14．下列函数中，在区间上是严格减函数的为（ ）
A．B．C．D．
15．设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
16．已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题：
①对于任意的，任意的，都有是严格增数列；
②对于任意的，存在，使得是严格减数列．
以下说法正确的为（ ）
A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题
三、解答题
17．在直三棱柱中，，，，连接，、分别为和的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的大小．
18．已知
(1)若，求函数的值域；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围．
19．为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示：
注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足．
(1)估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？
(2)估计该市高三学生日均睡眠时长；
(3)若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率．
20．已知圆，双曲线，直线，其中．
(1)当时，求双曲线的离心率；
(2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点；
(3)设与轴交于点，与圆交于点、，与双曲线的左右两支分别交于点、，四个点从左至右依次为、、、．当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21．设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值”
(1)设，求的值；
(2)设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合；
(3)已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是．
睡眠时长（小时）
人数
150
270
180
参考答案：
1．/
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
2．
【分析】将分式不等式等价转化为一元二次不等式，解得即可.
【详解】不等式等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
3．
【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】设直线的倾斜角为．
由直线化为，故，
又，故，故答案为．
【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．
4．2
【分析】利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】正实数、满足，则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2
5．
【分析】根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
【详解】因为圆锥的高为8，底面半径为，
所以圆锥的母线长为，
则圆锥的侧面积.
故答案为：.
6．28
【分析】利用二项式定理求出含的项，进而求出其系数.
【详解】在的二项展开式中，含的项为，
所以项的系数为28.
故答案为：28
7．
【分析】首先求出当时的函数值，再根据奇函数的性质得解.
【详解】因为函数为奇函数，
当时，
所以.
故答案为：
8．144
【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解.
【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种，
所以不同的值班安排方法种数为（种）.
故答案为：144
9．6
【分析】由的整数次幂的周期性求出的取值集合，进而列举出所有结果即可得解.
【详解】依题意，，，则，
因此，，
所以的值中不同虚数有：，共6个.
故答案为：6
10．
【分析】首先求出、，设Ax0,y0，根据数量积的坐标表示及，求出点坐标，从而求出的方程，再联立直线与椭圆方程，求出点坐标，最后由数量积的坐标表示计算可得.
【详解】椭圆，则、，
设Ax0,y0，因为，即，
即，又，解得，不妨取，
则的方程为，由，解得或，
所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
11．137
【分析】根据已知条件知，当三角形的两边分别与圆弧相切时，三角形的面积最大，设切点为，，由三角形全等得到，将三角形面积的表达式用表示，从而转化为三角函数，利用换元法转化为基本不等式求最值即可求解.
【详解】设游乐区所在的三角形为，在线段上，在线段上，如图所示，
当分别于圆弧相切时，取得最大值，
由对称性，只讨论，
设与圆弧相切于点，连接，
设，因为≌，≌，
则，，
因为，所以，，
，，
所以
，
因为，所以，
令，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以平方米，
即该游乐区面积的最大值为137平方米．
故答案为：137.
12．
【分析】根据的值域得到，则成立的必要条件是，当时必然成立，讨论时是否满足条件即可.
【详解】因为，所以，，
因为，所以，所以，
即，，所以，
当且仅当时，成立，
所以，
必要条件：，解得；
若，即时，必然成立；
若，因为，，不妨设，
则，，且，
所以，，
所以①，②，
①②两式联立得，即，
所以，又，所以，，
当时，，不符合条件；
当时，，则，此时；
当时，，则或，此时或，
因为，所以；
综上，或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据的值域得到，将问题转化为；关键点之二在于讨论时是否满足条件.
13．A
【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交，
反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线，
所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件.
故选：A
14．B
【分析】利用解析式直接判断各选项中函数在上的单调性即可.
【详解】对于A，函数在上是严格增函数，A不是；
对于B，函数在上是严格减函数，B是；
对于C，函数在上是严格增函数，C不是；
对于D，当时，在上是严格增函数，D不是.
故选：B.
15．D
【分析】根据给定条件，结合同角公式，逐项分析确定的取值的正负情况即可判断得解.
【详解】对于A，若，，
由，解得，显然，
令方程的根为，，当时，，
当时，，而当时，，
当时，，取，则，A不是；
对于B，当为第二象限时，，，
取，，
则，B不是；
对于C，当为第三象限时，，取，
，，C不是；
对于D，当为第四象限时，，，
则，当为第四象限时，，D正确.
故选：D
16．A
【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列的单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数.
【详解】对于①，时，，，
时，；时，，也有，故①为真命题.
对于②，时，，，
当时，，，不严格递减；
当时，，，不严格递减；
当时，，
若，则，
同理当时，，
则存在，使得，
则，，不严格递减.
综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可.
17．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）连接，易得，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量m=x,y,z，易知平面ABC的一个法向量，设二面角的大小为，由 求解.
【详解】（1）证明：如图所示：
连接，因为、分别为和的中点，
所以，又平面，平面，
所以直线平面；
（2）建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
则 ，即 ，
令 ，得 ，则 ，
易知平面ABC的一个法向量为： ，
设二面角的大小为，
则 ，
二面角的大小为.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，结合二次函数性质及对勾函数的单调性分段求出求出值域即可得解.
（2）由给定条件，可得，再代入化简并结合辅助角公式及正弦函数的性质求出范围.
【详解】（1）当时，函数，
当时，，当且仅当时取等号，
当时，在上单调递增，在上单调递减，，
所以函数的值域是.
（2）当时，，由，得，
则，整理得，
而，，因此，
所以实数的取值范围.
19．(1)4.95（万人）
(2)（小时）
(3)
【分析】（1）由样本中日均睡眠时长大于等于6小时的频率估计总体即可；
（2）用样本平均数估计总体平均数即可；
（3）由古典概型结合组合数公式即可求解.
【详解】（1）由题知，随机抽取的600人中日均睡眠时长大于等于6小时的人数为（人），
所以估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为（万人）；
（2）随机抽取的600人的日均睡眠时长为（小时），
所以估计该市高三学生日均睡眠时长约为（小时）；
（3）从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，抽样比例为，
所以睡眠时长在抽取（人），
睡眠时长在抽取（人），
睡眠时长在抽取（人），
则从这20人中随机抽取4人，这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率为.
20．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据离心率公式即可；
（2）联立双曲线和直线方程，根据韦达定理即可证明；
（3）联立圆和直线方程，得到韦达定理式和判别式，再联立双曲线方程和直线方程，得到韦达定理和判别式，再将向量点乘式化成横坐标关系，再代入化简即可.
【详解】（1）由题意，，所以，，
因此，双曲线的离心率.
（2）由直线与圆相切，得，即，
联立得，
即，
该一元二次方程的判别式，
因此有两个不相等的实数根，
且两根之积为，因此两根一正一负，
即与双曲线的左右两支各有一个公共点.
（3）设，
联立，得，得，
由可得.
联立得，得
且分别交于左右两支可得
又，又、、、四个点在同一直线上，
，
，还可得，
，
即，化简后可得:，
代入后化简可得:，解得，由，得.
经检验，此时与两支分别有交点，
为唯一满足条件的实数.

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是多次联立，得到韦达定理，再将向量式化简得，即，再代入韦达定理式计算即可.
21．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意可知有唯一解，由可求出结果；
（2）求以及，研究的单调性，分析的图像，可得出的函数值中不存在值时的情况，列出等式可解出的取值；
（3）从充分性以及必要性两种情况来证.
【详解】（1）由题设知：有唯一解，
即有唯一解，所以，解得：.
所以的值为.
（2），
当时，由可得：或，由可得：或，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，当时，，且，，画简图如下：
若的函数值中不存在值，则不存在唯一解，即，
解得：；
当时，，令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，此时存在有唯一解，不符合题意，所以，实数取值的集合为.
（3）由函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值可知，的任一解均唯一，即是单调函数.
充分性：若在上为严格增函数，则对，
有，即成立，则有；
必要性：若在上不为严格增函数，因为是单调函数，则假设是单调减函数，
则对，都有，即成立，
与矛盾，所以假设不成立，即在上为严格增函数.
得证.
【点睛】思路点睛：若集合中有且仅有一个元素，等价于有唯一解，研究函数的单调性以及图像，判断有唯一解的情况即可.
题号
13
14
15
16






答案
A
B
D
A