北京市朝阳区2022-2023学年高一上学期数学期末试题

这是一份北京市朝阳区2022-2023学年高一上学期数学期末试题，共15页。试卷主要包含了 若，则下列各式一定成立的是， 若角满足，则角是， 声强级， 已知，，则“”是“”的， 已知函数，有如下四个结论等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.
【详解】AD选项，，则，但，所以AD选项错误.
B选项，若，则，所以B选项错误.
C选项，若，由于在上递增，所以，所以C选项正确.
故选：C
2. 若角满足，则角是（ ）
A 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数四个象限符号确定.
【详解】为第二，三象限角或者轴负半轴上的角；
又为第二，四象限角
所以为第二象限角.
故选：B
3. 下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.
【详解】对于A，在定义域上单调递增且值域为，故A不正确；
对于B，在定义域上单调递增值域为，故B正确；
对于C，由双勾函数的图象知，在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；
对于D，的值域为，故D不正确.
故选：B.
4. 设集合，集合，则A与B的关系为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.
【详解】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；
由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；
所以.
故选：A
5. 声强级（单位：）出公式给出，其中I为声强（单位：）．若平时常人交谈时的声强约为，则声强级为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：C
6. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.
【详解】当，时，，
则当时，有，解得，充分性成立；
当，时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知函数，有如下四个结论：
①函数在其定义域内单调递减；
②函数的值域为；
③函数的图象是中心对称图形；
④方程有且只有一个实根．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.
【详解】的定义域为，，
所以在上递增，①错误.
由于， ，
所以的值域为.
由于，
所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确.
由得
构造函数，在上单调递增，
，
所以在上存在唯一零点，也即方程有且只有一个实根，④正确.
所以正确结论的序号是③④.
故选：D
8. 已知角为第一象限角，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定的取值范围，由此求得的取值范围.
【详解】由于角为第一象限角，
所以，
所以，
由于，所以，
所以.
故选：A
9. 某厂以x千克/小时速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ）
A. 2千克/小时B. 3千克/小时
C. 4千克/小时D. 6千克/小时
【答案】C
【解析】
【分析】生产100千克该产品获得的利润为，令，由换元法求二次函数最大值即可.
【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，，
令，，则，故当时，最大，此时.
故选：C
10. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得，则的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a，b，c，最后根据单调性比较大小.
【详解】由得，∴的周期为2，
又为偶函数，则，，
∵，在上单调递增，∴.
故选：A
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 已知集合，集合，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据并集的定义运算即可.
【详解】因为，，
所以，
故答案为：
12. 已知角，若，则__________；__________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】由条件结合诱导公式求，根据特殊角三角函数值求出， 即可.
【详解】因为，所以，故，又，所以，
所以，
故答案为：，.
13. 设且，，则的最小值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】对利用对数运算公式，得到，再由基本不等式以及条件中的，得到答案.
【详解】因为且，
所以且
而，且
所以由基本不等式可得
，
当且仅当，即时，等号成立.
【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.
14. 设函数的定义域为I，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的.
【详解】依题意可知是偶函数，且最大值为，
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
15. 已知下列五个函数：，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则______________．
【答案】
【解析】
【分析】观察图象确定函数的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定的解析式.
【详解】由已知， ，
观察图象可得的定义域为，所以或中必有一个函数为，且另一个函数不可能为，又的图象不关于原点对称，所以，所以或，
若，则与函数图象矛盾，
所以，
故答案为：.
16. 已知函数，给出以下四个结论：
①存在实数a，函数无最小值；
②对任意实数a，函数都有零点；
③当时，函数在上单调递增；
④对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根．
其中所有正确结论的序号是________________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①，当时，，
的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，①正确.
②，由于，
当时，；当时，，
所以对任意实数a，函数都有零点，②正确.
③当时，，
，即函数在上不是单调递增函数，③错误.
④，当时，，
当时，，
画出的图象如下图所示，
由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，④正确.
综上所述，正确结论的序号是①②④.
故答案为：①②④
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．
（1）求和的值；
（2）求值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据二倍角的正弦公式即可求得；
（2）先根据二倍角的余弦公式求出，再根据商数关系求出，再根据两角和的正切公式即可得解.
【小问1详解】
解：由题意得，
所以；
【小问2详解】
解：，
所以，
所以.
18. 已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若命题“，不等式恒成立”是假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
（2）结合开口方向以及判别式求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，即，
，解得
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
当恒成立，
当不为0时，且，
即，
当时,成立，所以
命题“，不等式恒成立”是假命题
所以a的取值范围为：或．
19. 已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（1）求a的值；
（2）求的最小值，以及取得最小值时x的值．
条件①：的最大值为6；
条件②：的零点为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）若选条件①，则；若选条件②，则
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）化简的解析式，根据条件①或②求得的值.
（2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.
【小问1详解】
.
若选条件①，
则.
若选条件②，
则.
【小问2详解】
若选条件①，由（1）得，
则当时，，则当时，取得最小值为.
若选条件②，由（1）得，
则当时，，则当时，取得最小值为.
20. 已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若函数是偶函数，求m的值；
（3）当时，若函数的图象与直线有公共点，求实数b的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）即，结合对数、指数函数单调性求解即可；
（2）偶函数，则，结合对数运算法则化简求值即可
（3）由对数运算得在上单调递增，且值域为，即可由数形结合判断b的取值范围.
【小问1详解】
当时，即，即，解得；
【小问2详解】
函数是偶函数，则，即，即，即，
∵，故；
【小问3详解】
当时，，.
∵为减函数，故在上单调递增，且值域为
∵函数的图象与直线有公共点，故实数b的取值范围为.
21. 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：
①；
②，若，则；
③，若，则．
（1）当时，判断是否为U的子集，说明理由；
（2）当时，若A为U的子集，求证：；
（3）当时，若A为U的子集，求集合A．
【答案】（1）不是U的子集；
（2）证明见解析； （3）集合.
【解析】
【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集；
（2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出；
（3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.
【小问1详解】
当时，，，，
取，则，但，不满足性质②，
所以不是U的子集.
【小问2详解】
当时，A为U的子集，
则；
假设，设，即
取，则，但，不满足性质②，
所以，；
假设，
取，，且，则，
再取，，则，
再取，，且，
但与性质①矛盾，
所以.
【小问3详解】
由（2）得，当时，若A为U的子集，，，，
所以当时，，
若A为U的子集，，，；
若，取，，则，，
再取，，则，与矛盾，
则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
取，，则，；
取，，则；
取，，则，；
取，，则；
取，，则，；
综上所述，集合.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.