中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.4.1 向量的坐标表示教学演示课件ppt

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.4.1 向量的坐标表示教学演示课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了向量的坐标表示，向量内积的坐标表示等内容，欢迎下载使用。
我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x,y)是一一对应的，(x,y)是点P的坐标．平面直角坐标系中所有以原点(0,0)为起点、以点P(x,y)为终点的向量与有序实数对(x,y)也是一一对应的，如图所示．
对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a=xi+yj ．我们把有序实数对称为向量a的坐标．方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y) ．
例3 如图所示，⏥ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,3)、(−2,1)、(−1,0)，求第四个顶点D的坐标．
向量线性运算的坐标表示
对于向量a= (x1，y1)和b= (x1，y1)，向量a+b、a-b、λa如何用坐标表示呢？
这说明两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差). 实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积．
由a=(x1，y1)、b=(x2，y2)知，a=x1i+ y1 j，b=x2i+ y2 j（i、j分别为x轴、y轴正方向上的单位向量）．则 a+b=(x1i+ y1 j)+(x2i+ y2 j)=(x1+x2) i+(y1+ y2) j ，即 a+b =(x1+x2 ，y1+ y2) ．同理可得， a-b =(x1-x2，y1- y2) ， λa=(λx，λy) ．
例4 设a=(3，-2)，b=(-2，1)，求： （1）a+b；（2）a-b；（3）3a-2b ．
解（1）a+b=(3，-2)+(-2，1) =(3+(-2) ，-2+1)=(1，-1)；
（2）a-b=(3，-2)-(-2，1) =(3-(-2) ，-2-1)=(5，-3)；
（3）3a-2b=3(3，-2)-2(-2，1) =(9，-6)-(-4，2)=(13，-8) ．
我们知道，当a≠0时，a∥b存在实数λ，使得b= λa． 设a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，由b=λa得， x2=λ x1且y2 =λ y1． 因此，当a≠0 ，a∥b  x1 y2 = x2 y1 ．
例6 已知向量a=(−2,3)，b=(4,−6)，判断向量a与b是否共线．
解 因为 x1 y2 = −2×(−6)=12， x2 y1 =4×3=12，所以x1 y2 = x2 y1，故a∥b，即向量a与b共线．
对于向量a= (x1,y1)，b= (x1,y1)，内积a · b是否可以用坐标表示呢？如何表示呢？
由a=(x1,y1)、b=(x2,y2)知，a=x1i+ y1 j，b=x2i+ y2 j．根据向量内积的定义，i·j = j·i=0， i·i =| i |² = 1，j·j =| j |² = 1 ，有 a·b=(x1i+ y1 j)·(x2i+ y2 j)=x1x2i·i +x1y2i·j +y1x2 j·i +y1y2 j·j =x1x2 +y1y2 ．
这说明,两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即 a·b= x1x2 +y1y2 ．
根据内积的定义，还可得到以下结论：
（1）a⊥b a·b=0  x1x2 +y1y2 =0；
解 a·b=3×(-2)+4×1=-2．
例8 判断下列各组向量是否互相垂直． （1） a=(4,-6)，b=(9,6) ； （2） a=(0,-2)，b=(1,-3) ．
解（1）因为 a·b=4×9+(-6)×6=0，所以a⊥b ．
（2）因为 a·b=0×1+(-2)×(-3)=6≠0，所以a与b不垂直 ．
1.已知向量a、b的坐标，求a·b．（1）a=(2,-3)，b=(-1,5)；（2）a=(4,-1)，b=(1,6) ．
2.已知向量a=(2,-5) ，求向量a的模．