四川省成都市金堂中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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命题人：刘宇生 审题人：陈晋
满分：150分 时间：120分钟
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集定义计算．
【详解】由已知，
故选：D．
2. 命题：，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解.
【详解】根据全称命题的否定，：，.
故选：B.
3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由幂函数的定义及图象性质可得函数解析式，即可得函数值.
【详解】由函数为幂函数，
则，解得或，
当时，，过点，不满足题意，
当时，，与坐标轴无公共点，
所以，
故选：A.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性得出指数幂的范围比较大小.
【详解】因为单调递增，所以,即得，
因为单调递减，所以,即得，
所以.
故选：C.
5. 已知函数，则其图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数函数的定义域以及当和时函数值的正负，即可排除求解.
【详解】由于函数的定义域为，故可排除C，
当时，，此时可排除A,
当时，，此时可排除D,
故选：B
6. 设函数（且）在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性以及对数函数的单调性，结合分段函数的单调性即可求解.
【详解】根据题意可得，解得，
故选：A
7. 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（ ）
A. 1014B. 2027C. 2028D. 4054
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中抽象函数的性质，对所求代数式化简即可得结果.
【详解】对于任意实数，满足，且，
当时，，
即.
故选：C
8. 已知函数，，，用表示，中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出函数，的图象，分，和三种情况讨论，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点的坐标，得到答案．
【详解】令，定义域为，
，得，且在，，单调递增，
所以函数图象如下：
则的图象如下：
当，则，
在同一坐标系中作出的图象，如下：
则的图象如下：
显然最小值为2，不合题意；
当，则，在同一坐标系中作出的图象，如下：
画出的图象如下：
显然函数在点取得最小值，令，解得，
令，解得，
当，则，在同一坐标系中作出图象，如下：
画出的图象如下：
显然函数点取得最小值，令，解得，
令，解得，
综上，．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的定义判断．
【详解】对于A，两个函数的对应法则不同，不是同一函数，故A错误；
对于B，两个函数的定义域都是，，对应法则也相同，是同一函数，故B正确；
对于C，两个函数定义域不相同，定义域是，定义域是，不是同一函数，故C错误；
对于D，定义域都是R，且，对应法则也相同，是同一函数，故D正确.
故选：BD．
10. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由奇偶性定义判断奇偶性，再由单调性定义判断单调性．
【详解】由奇偶性定义知ABC三个选项中函数是偶函数，D选项中函数是奇函数，
在上，函数与是增函数，是减函数，
故选：AC．
11. 若正数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式判断ABD，由不等式性质判断C．
【详解】，
，所以，
当且仅当，即时等号成立，A错；
，
当且仅当，即 时等号成立，B正确；
由已知，，，
所以，C正确；
由已知，，
，
当且仅当，即时取等号，D正确．
故选：BCD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式由内向外计算即可.
【详解】因为，
所以，.
故答案为：.
13. 函数的定义域为______.
【答案】且，
【解析】
【分析】根据根式以及分式，结合对数的性质即可求解.
【详解】的定义域满足，解得且，
故定义域为且，
故答案为：且，
14. 已知函数.若，则的取值范围为______.
【答案】或
【解析】
【分析】根据，可将问题转化为，进而利用函数的单调性求解.
【详解】由于，
故，则，
由于函数均为上的单调递增函数，
故为上的单调递增函数，
所以，解得或，
故答案为：或，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）；
（2）.
【答案】（1）1；（2）1.
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得解；
（2）利用对数的运算法则即可得解．
【详解】（1）；
（2）
．
16. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）解二次不等式得到集合，再由集合的并集得到结果；
（2）由必要不充分条件得到集合的关系，从而建立不等式求得实数的取值范围.
【小问1详解】
∵，∴或，即或，
当时，，
或.
【小问2详解】
若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，
当时，，解得，符合题意；
当时，或，解得或；
综上，
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式：.
【答案】（1）；
（2）在上是增函数，证明见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义求解；
（2）根据单调性的定义证明；
（3）由奇偶性变形，再由单调性求解．
【小问1详解】
由题意，即，
又，解得，
所以，经检验符合题意；
【小问2详解】
在上是增函数，
证明：设是上任意两个实数且，
，
因为，所以，
所以，即，
所以在上是增函数；
【小问3详解】
由得，
又是奇函数，所以，
因为在上是增函数，所以，解得．
18. 定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）设且的两个不动点为，，且，求实数的最小值.
【答案】（1）和；
（2）．
（3）12．
【解析】
【分析】（1）解方程可得；
（2）由有两个不等实根，对恒成立，结合一元二次不等式的性质可得；
（3），，由韦达定理得，两者结合可把表示为的函数，再由基本不等式可得最小值．
【小问1详解】
，，解得或，
所以的不动点是和；
【小问2详解】
由题意，有两个不等的实根，
即有两个不等实根，
恒成立，即对恒成立，
所以，解得．
小问3详解】
有两个不等实根，，
所以，，
所以，解得，
，，
，即，所以，
，当且仅当时等号成立，
所以．
19. 已知函数.
（1）当时，解不等式：；
（2）当时，记，若对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的取值范围；
（3）如果函数在上的最大值为，实数是否存在？若存在，求出的值；若不存在；说明理由.
【答案】（1）；
（2）．
（3）不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的单调性解不等式；
（2）由题意恒成立，再由对数函数性质求解；
（3）根据绝对值的定义结合对数函数性质确定最大值，由最大值求出，若无解说明不存在．
【小问1详解】
不等式为，
∴，解得,
解集为；
【小问2详解】
由题意即在上恒成立，
，，
∴不等式在上恒成立，
∴，解得，又,
综上，．
【小问3详解】
假设存在满足题意，
首先，时，恒成立，因此，
，，
若，则，
，，不合题意，舍去,
因此有，即，
在定义域内是增函数，
故在上最大值必定在端点处取得，
此时或，
若，解得，不合题意，舍去，
若，则，而，不合题意，舍去，
综上，不存在实数，使得函数在上的最大值为．
【点睛】方法点睛：本题考查函数中的存在性问题求解方法，方法是假设存在，然后在时求出的最大值，由最大值满足题意求得参数值，如果无解则说明不存在．