四川省泸州市泸县第五中学2025届高三上学期第二次诊断性模拟数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1，答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
2. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据共轭复数的概念可求得的值，进而根据复数的乘法运算即可求得结果.
【详解】由已知可得，所以.
故选：C.
3. 已知正三角形的边长为2，那么的直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据斜二测画法求解.
【详解】如图(1)为的实际图形，图（2）为的直观图.

由斜二测画法得： ，
作，
则，
所以.
故选：D
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ）
A. 2.9minB. 3.4min
C. 3.9minD. 4.4min
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得.
【详解】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是，
得，解得，
该物体的温度降至需要冷却的时间为，则，
于是，两边取对数得，
所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为.
故选：D
7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（ ）
A. 6B. C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】在几何体中，作FN//AE，FM//ED，将多面体被分割为三棱柱与四棱锥两部分求解.
【详解】如图，作FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
因为EF与平面ABCD的距离为2，
所以四棱锥F-NBCM的高为2，
所以V四棱锥F-NBCM=SNBCM
V棱柱ADE-NMF=S直截面
所以该刍甍的体积为V=V四棱锥F-NBCM+V棱柱ADE-NMF=.
故选：B
【点睛】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.
8. 定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】，
∵函数是区间上的双中值函数，
∴区间上存在 ，
满足
∴方程在区间有两个不相等的解，
令，
则，
解得
∴实数的取值范围是.
故选:A．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 频率分布直方图中a值为0.07
B. 这100名学生中体重低于60kg的人数为60
C. 据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62
D. 据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5
【答案】AC
【解析】
【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及频数、百分位数、平均数计算公式计算即可.
【详解】对于A项，因为，解得：，故A项正确；
对于B项，人，故B项错误；
对于C项，因为，，，所以第78百分位数位于之间，
设第78百分位数为x，则，解得：，故C项正确；
对于D项，因为，即：估计该校学生体重的平均数约为，故D项错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的定义域为，则的定义域为
B. 函数值域为
C. 函数的值域为
D. 函数在上的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.
【详解】令，得，因为，
所以，所以A错误；
令，得①，所以，
因为是奇函数，所以是偶函数，
所以②，由①②，
得，
即，
所以，
所以，是周期为3的函数，所以，
，
所以B正确，C错误；
因为，
在①中令得，
所以，
，所以D正确．
故选：BD．
【点睛】对于可导函数有：
奇函数的导数为偶函数
偶函数的导数为奇函数
若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分
12. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】欲求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．
【详解】解：依题意得y′＝ex+1，
因此曲线在点处的切线的斜率等于，
相应的切线方程是y﹣3＝2（x﹣0），
当x＝0时，y＝3
即y＝0时，x＝，
∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：
S3×＝．
故答案为．
【点睛】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
13. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为，则双曲线的焦距为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】由准线上的点得准线方程和抛物线焦点坐标，得到双曲线左顶点坐标可求，由双曲线的一条渐近线上的点得渐近线方程，可求出，从而可求双曲线的焦距.
【详解】由题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为，
即点在抛物线的准线上，故，得
则抛物线的焦点坐标为，双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，
得双曲线的左顶点为，即，
又点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，
则有，进而，得焦距为.
故答案为：
14. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若，满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用平移变换得到，然后根据，满足，利用正弦函数的性质得到或，即或求解.
【详解】函数的图象向右平移个单位后得到函数，
因为，由，
得或，
当时， ，
当时，
当，，
当时，
综上：的最小值为
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换以及正弦函数性质的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图为函数（，，，）的部分图象.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象依次求得的值.
（2）根据三角函数图象变换的知识求得，根据在区间上的单调性求得的取值范围.
小问1详解】
由图可知，，
所以，
由，
得，
由于，所以，所以
【小问2详解】
的图象向右平移个单位长度，
得到，
当时，，
所以当，即时，递增，
当，即时，递减，
，
，
由于方程在上有两个不相等的实数根，
所以的取值范围是.
16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱的中点，为棱上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取BC中点E，连AE，以点A为原点，建立空间直角坐标系，探讨与平面的关系即可推理作答.
（2）利用（1）中相关信息，求出平面的法向量，借助空间向量即可计算作答.
【小问1详解】
取BC中点E，连AE，如图，
因，则，而，有，又平面，
以点A为原点，射线AE，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则，
，显然，则，
而，因此有，即平面，又平面，
所以平面.
【小问2详解】
设平面的法向量为，由（1）知，令，得，
而平面的一个法向量是，则，显然二
面角是锐角，
所以二面角的余弦值.
17. 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
18. 已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
（1）若离心率时，求的值．
（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．
（3）连接，直线交双曲线于另一点，若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据离心率公式计算即可；
（2）分三角形三边分别为底讨论即可；
（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.
【小问1详解】
由题意得，则，．
【小问2详解】
当时，双曲线，其中，，
因为为等腰三角形，则
①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；
②当以为底时，，
设，则 , 联立解得或或，
因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；
（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；
③当以为底时，，设，其中，
则有，解得，即．
综上所述：.
【小问3详解】
由题知，
当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，
则设直线，
设点，根据延长线交双曲线于点，
根据双曲线对称性知，
联立有，
显然二次项系数，
其中，
①，②，

，
则，因为在直线上，
则，，
即，即，
将①②代入有，
即
化简得，
所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,
且，解得，又因为，则，
综上知，，．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.
19. 已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）数列的前项和为，且；
（ⅰ）求；
（ⅱ）求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）令，利用导数分析函数在上的单调性，即可证得结论成立；
（2）（i）令可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（ii）利用导数证明出当且时，，可得出，验证当时，结论成立；当时，利用错位相减法求出数列的前项和，利用放缩法证得结论成立.
【小问1详解】
证明：令，其中，
则，
因为，则，
又因为，则，所以，，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递减，
当时，，即.
【小问2详解】
解：（i）对任意的，，
当时，则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，所以，，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，故；
（ii）令，其中且，
则，
因为，则，
又因为，则，所以，，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，
当时，，即，当且仅当时，等号成立，
因为，
令，则，
当时，则有，
当时，，即，此时数列从第二项开始单调递减，
所以，对任意的，，
所以，，
所以，当时，，
设数列的前项和为，则，
所以，，
上述两个等式作差可得，
所以，，所以，，
所以，，
当时，则，所以，，则，
所以，，
当时，，
当时，，即，
当时，，因为，所以，，
综上所述，对任意的，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.