重庆市第十一中学教育集团2024-2025学年高三上学期第四次质量检测数学试卷（Word版附解析）

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2024.12
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题
1. 若复数满足，则复平面内表示点在（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 设等比数列的前项和为，若，且，则等于（ ）
A. 3B. 303C. D.
3. 已知向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线，圆，若圆上恰有三个点到直线的距离都等于，则（ ）
A. 2B. 4C. D. 8
6. 已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表
面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（ ）个人.
A. B. C. D.
二、多选题
9. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 、为对立事件B.
C D.
10. 下图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若，则
11. 双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，若P是右支上一点（与B不重合）如图，过点P的直线与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S，T两点，则下列结论中正确的是（ ）

A. P到两条渐近线的距离之积为
B. 当直线l运动时，始终有
C. 在中，
D. 内切圆半径取值范围为
三、填空题
12. 中内角，，所对的边分别为，，，且，，，则________．
13. 已知直线和互相垂直，且，则的最小值为________．
14. 已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是______.
四、解答题
15. 记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列.
（1）求数列通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
16. 如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．
（1）设平面平面，若P为的中点，求证：；
（2）设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
17. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败.
（1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望；
（2）当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.
18. 已知函数．
（1）若，求极值；
（2）若函数有两个极值点，求的范围；
（3）在（2）的条件下，求证：．
19. 定义：在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为，，其他轴为
2，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．
（1）求双曲线的方程；
（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；
（3）已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，判断：在点处的切线是否为的等线，并说明理由．