重庆市渝北中学2024-2025学年高一上学期12月阶段质量监测数学试卷（Word版附解析）

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（全卷共四大题19小题，总分150分，考试时长120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号、班级等填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，若，则（ ）．
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
2. 已知角，则角的终边落在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】求出与的角终边相同，从而得到得到答案.
【详解】，故与的角终边相同，
其中在第二象限，故角的终边落在第四象限.
故选：B.
3. 下列判断正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】用特例法或根据不等式的基本性质，判断每个选项即可.
【详解】对于选项A， 设 ，，，，则 ，，故选项A错误；
对于选项B，设，，则 ，故选项B错误；
对于选项C，由 可知，，故 ，
又因为，则有，即，
，即，
所以 成立，故选项C正确；
对于选项D，若 时，此命题并不成立，故选项D错误.
故选：C.
4. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在定理，结合选项，即可求解.
【详解】对于函数，
当时, ，则 ，
， ，
，，
所以根据零点存在定理可知，，，内不一定包含的零点，
内一定包含的零点．
故选：C.
5. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为指数函数、均为上的增函数，
所以，，，
对数函数在上为增函数，所以，，
因此，.
故选：A.
6. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 10B. 12C. 18D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】结合指数幂的运算性质化简得 ，再结合基本不等式“1” 的妙用即可求解.
【详解】由题意，，∴，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
7. 已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】令，
则，因为，所以在上单调递减，
而在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，在单调递减，且，
所以，则，所以.
故选：B.
8. 已知，若满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数的图象，设，用a表示，利用基本不等式求最值进而得取值范围.
【详解】由题，，
画出函数图象，如图所示，设，则，
，，，
，，
当且仅当，即时等号成立，故，
故选：C.
【点睛】数形结合，当时，将，，用相同参数表示，再构造，通过配凑，用基本不等式求最值，注意检验最值能否取.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，在区间上单调递增的（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由函数式依次确定在上的单调性即可.
【详解】对于A，由对钩函数性质可知函数在上单调递减，A不是；
对于B，函数在上都单调递增，则在上单调递增，B是；
对于C，当时，在上单调递增，C是；
对于D，定义域为，在上无定义，D不是.
故选：BC
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 的值域是
C. 若函数只有一个零点，则实数的取值范围为
D. 若当时，，则的最大值是4
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函数值判断A；举例说明判断B；数形结合求出函数的图象与直线只有一个交点时范围判断C；求出的最小值、的最大值判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，由得的值域不是，B错误；
对于C，函数的图象如图，
函数的零点即函数的图象与直线交点的横坐标，
由图象知，当或时，函数的图象与直线有一个交点，
因此实数取值范围为，C正确；
对于D，由，得或，由，得，
而当时，，
则，因此的最大值是4，D正确.
故选：ACD
11. 环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用换元法，则，故将表示成关于的分段函数，再利用函数的单调性即可得出.
【详解】设，则当时，.
可得，
则，
显然在上是减函数，在上是增函数，
则，且,
则有，解得，
又，故调节参数应控制在内，
结合选项可知：AB正确，CD错误；
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：________．
【答案】1
【解析】
【分析】由指数与对数的运算性质求解即可.
【详解】
故答案为：
13. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则使成立的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的关系求得满足的x的取值范围即可．
【详解】∵定义在上的偶函数在上单调递增，
，则，
∴则由，可得,
即，
故答案为：．
14. 已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】先判断函数是偶函数，对函数求导可得函数是上的增函数，再由已知条件转化为，从而可得，通过判别式即可解得实数的取值范围.
【详解】函数定义域为，
，
所以函数是奇函数；
，
因为且，
所以，函数是上的增函数.
因为，
所以.
由于是增函数，则有，
即，在恒成立，
则，即，解得：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：在解决抽象函数不等式问题时，首先确定函数的性质（如奇偶性和单调性），然后根据这些性质将抽象的不等式转化为具体的形式。通过解具体的不等式或不等式组来找到变量的取值范围，这是处理此类问题的关键步骤。在这个过程中，特别需要注意函数性质的正确应用，以及如何有效地利用这些性质来简化和求解问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集为实数集，集合；.
（1）当时，求，；
（2）若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）求得集合，进而可求得，；
（2）根据给定条件可知集合A是集合B的真子集，根据包含关系列式求解即可.
【小问1详解】
由，得，
解得，
所以，
当时，，
所以，
因为或，
所以或，
【小问2详解】
由（1）知，，
因为是的充分不必要条件，可知集合A是集合B的真子集，
所以，且等号不同时成立，
解得.
16. 已知幂函数在单调增，.
（1）求函数的解析式；
（2）如果函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）求关于的不等式解集(其中).
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，解得即可；
（2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得；
（3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【小问1详解】
由题意可得，或，
又因为在单调增，，，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，函数在区间上是增函数，
，，即的取值范围为.
【小问3详解】
不等式转化，则.
当时，解得或，即不等式的解集为或，
当时，解得或，即不等式的解集为或，
当时，解得，即不等式的解集为.
综上可得当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为.
17. 注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100.
（1）求关于的解析式；
（2）如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：）
【答案】（1）
（2）分钟
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法来求得关于的解析式；
（2）根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.
【小问1详解】
当时，设，
依题意解得，所以，
当时，，
当时，设，
将代入上式得，
所以.
综上所述，.
【小问2详解】
由解得，
由，
得，，
所以.
综上所述，，共分钟.
18. 已知函数.
（1）当时，解不等式：；
（2）当时，若对任意的，恒成立，求正数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的定义域与单调性并结合可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集；
（2）当时，对任意，，，由已知不等式结合对数函数的单调性化简可得，令，可得出，即可解得正
实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
因为函数在上为增函数，
由可得，解得，
因此，当时，不等式的解集为.
【小问2详解】
当时，对任意的，，，
若对任意的，，
可得，可得，
所以，，整理可得对任意的恒成立，
令，由题意可得，解得，
又因为，所以，，
因此，正实数的取值范围是.
19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
（1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由；
（2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．
【答案】（1）是上的有界函数；理由见解析
（2）
（3）存在，答案见解析
【解析】
【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上有界函数；
（2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案；
（3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案.
【小问1详解】
是上的有界函数，理由如下：
当时，，
当时，，
由对勾函数性质得或，
或，
或，
∴的值域为，，
∴存在，使得，
所以是上的有界函数；
【小问2详解】
由题意可知在上恒成立，
，，
即，
∴在上恒成立，
∴．
设，，，
由，得．
∵在上单调递减，在上是单调递增，
∴在上，，．
所以，实数a的取值范围是.
【小问3详解】
，
∵，，
∴在上递增，
根据复合函数的单调性可得在上递减，
∴，
∴h(x)存在上界.
①若，两边平方整理得，
即时，；此时，即，
②若，两边平方整理得，
即时，；此时，即，
综上，当时，；
当时，.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质.