重庆市渝西中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出的取值范围即为定义域.
【详解】因为，所以或，所以函数的定义域为：，
故选：C.
【点睛】结论点睛：常见函数的定义域分析：
（1）偶次根式下被开方数大于等于零；
（2）分式分母不为零；
（3）对数式的真数大于零；
（4）中.
2. 命题“，”的否定是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.
【详解】命题“，” 为全称量词命题，
其否定为存在量词命题是“，”.
故选：B.
3. 的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】应用终边相同角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出对数复合函数的定义域，应用排除法，结合对数复合函数的性质即可得答案.
【详解】由解析式知，，即定义域为，排除A、C、D.
由，又在上递增，且时，
所以在上递减，在上递增，
故在上递增，在上递减，显然B满足.
故选：B
5. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性的判断方法即可求解.
【详解】由，解得或，
即函数的定义域为，
令，得，因为函数在上单调递增，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以根据复合函数同增异减的性质可得的单调递增区间为．
故选：C．
6. 若，，，则它们的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的单调性得出、的大小关系，再比较这三个数与零的大小关系，由此可得出这三个数的大小关系.
【详解】幂函数在上为减函数，则，即；
对数函数在上为增函数，则.
，所以，，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.
7. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】将所求式子变形为，利用“1”的代换结合基本不等式求解.
【详解】，，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为5.
故选：A.
8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等
式，即可求得答案.
【分析】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”，
故其值域为，而，则值域为；
当时，，
当时，，对称轴且开口向上，
则在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是，
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知关于的不等式的解集为，或，则（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是，或
【答案】AD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；结合根与系数关系可得的关系式，由此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案.
【详解】由关于的不等式解集为或，
知-3和2是方程的两个实根，且，故A正确；
根据根与系数的关系知：，
，
选项B：不等式化简为，解得：，
即不等式的解集是，故B不正确；
选项C：由于，故，故C不正确；
选项D：不等式化简为：，
解得：或，故D正确；
故选：AD.
10. 奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. 在上单调递增D. 值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据奇偶性求出即可判断ABC；利用基本不等式可判断D.
【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以，
因为①，所以，即②，
所以由①②解得，故B正确；
，故A错误；
在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，故C正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以的值域为，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A. 的单调递增区间为
B. a的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 函数有4个零点
【答案】CD
【解析】
【分析】作出的图象，结合图象逐一判断即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A不正确；
对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以,，故B不正确；
对于C，则题意可知：，，所以，所以,，故C正确；
对于D，令，则有，令，则有或，
当时，即，即，解得；
当时，即，所以或，解得，或或，
所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确．
故选：CD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(4)= __________
【答案】2
【解析】
【详解】分析：设幂函数f（x）=xα，把点（9，3）代入解析式求出α，即可求出函数的解析式和f（4）的值．
详解：设幂函数f（x）=xα，
∵函数f（x）的图象经过（9，3），∴9α=3，解得，
则f（x）= ，∴f（4）=2，
故答案为2．
点睛：本题考查幂函数的解析式的求法：待定系数法，属于基础题．
13. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为______.
【答案】1
【解析】
【分析】运用扇形的弧长、面积公式计算即可.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，
所以，解得，
即这个扇形圆心角弧度数为.
故答案为：1.
14. 已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】对进行分类讨论，由函数的单调性、分离参数法、存在量词命题的真假性等知识求得正确答案.
【详解】因为，
若，由于单调递减，则在R上单调递增；
若，由于单调递增，则在R上单调递减，
又，故，
因为，是假命题，
故，恒成立为真命题，
即不等式对恒成立，
当时，，即在恒成立，
设，即在恒成立．
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，
因为，因此；
当时，，
即在恒成立，
当时，函数有最小值，
即，又因为，故．综上可知：或．
故答案为：或
【点睛】方法点睛：存在量词命题是假命题，则其否定是真命题.当命题正面求解困难时，可利用命题的否定来进行求解.含参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法进行求解，分离参数时，要注意不等式的符号.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知全集，集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用补集及交集的定义运算即得；
（2）利用并集的定义可得，然后分和讨论即得.
【小问1详解】
∵全集， ，
∴或，又集合，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，又，
∴当时，，∴，
当时，则，
解得，
综上，实数的取值范围为.
16. （1）求值；
（2）设，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可，
（2）依题意有，然后代入中利用对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）
，
（2）依题意有，
所以.
17. 城市活力是城市高质量发展的关键表征，其反映了城市空间治理能力现代化的水平．城市活力由人群活动和实体环境两方面构成，通过数学建模研究表明：一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，城市活力度越高．市基于大数据测算城市活力度，发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数来近似刻画，其中正午点的城市活力度为，是工作日内活力度的最高值；点到次日早上点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值．
（1）分别求、的值；
（2）求该工作日内，市活力度不大于的总时长．
【答案】（1），
（2）小时
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出，代入函数解析式可求得实数的值，再根据题中信息得出，可得出关于的等式，即可解得的值；
（2）解不等式，即可得出结论.
【小问1详解】
由正午点的城市活力度为，知，
代入数据得，解得，
点到次日早上点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值，
故，代入数据得，解得．
【小问2详解】
由（1）知，
当时，令，解得，
当时，令，则，
，，可得，解得，
故一日内只有当时，活力度大于，
即该工作日内有个小时活力度不大于．
18. 已知.
（1）求函数的表达式；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对恒成立，求取值范围.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）换元法求出函数表达式；
（2）定义法证明出函数单调性；
（3）换元后转化为在上恒成立，由，得到不等式，求出的取值范围.
【小问1详解】
令，则，故，所以；
【小问2详解】
单调递增，理由如下：
任取且，
故，
因为，在R上单调递增，所以，
又，故，，
单调递增；
【小问3详解】
变形为
，
即，，
令，显然在上单调递增，
故，
原不等式为，，
故在上恒成立，
其中，当时等号成立，
故，解得，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题关键是将所给不等式变形为，采用换元法转化为在上恒成
立.
19. 已知函数对任意，，恒有，且当时，，.
（1）证明：函数为奇函数；
（2）求的值；
（3），时，成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过赋值法及奇偶性的定义即可证明.
（2）令得，再结合抽象函数法则化简求值即可
（3）先根据单调性的定义得在上单调递减，然后利用恒成立法则把问题转化为在上恒成立，分情况讨论二次函数的对称轴，利用函数的单调性求得最值即可求解.
【小问1详解】
因为，都有，
所以令，有，解得.
令，有，
所以，所以为奇函数.
【小问2详解】
令时，有，所以，
.
【小问3详解】
不妨设，因为时，，所以，
所以，所以在上单调递减.
因为在上单调递减，所以时，，
，时，，
即时，恒成立，
即在上恒成立，又对称轴为，
①当，即时，在上单调递增，
则，解得，此时无解；
②当，即时，，
解得，此时；
③当，即时，在上单调递减，
则，解得，此时无解；
综上实数的取值范围为