新高考数学一轮复习考点分类讲与练第28讲 三角恒等变换（2）（2份，原卷版+解析版）

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知识梳理
1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．
2. 要注意对“1”的代换：
如1＝sin2α＋cs2α＝taneq \f(π,4)，还有1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2).
3. 对于sinαcsα与sinβ±csα同时存在的试题，可通过换元完成：
如设t＝sinα±csα，则sinαcsα＝±eq \f(t2－1,2).
4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq \f(α,3)是eq \f(2α,3)的半角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的倍角等．
5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).则－eq \r(a2＋b2)≤y≤eq \r(a2＋b2).
(2)y＝asin2x＋bsinxcsx＋ccs2x可先降次，整理转化为上一种形式．
(3)y＝eq \f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq \f(acsx＋b,ccsx＋d))
可转化为只有分母含sinx或csx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asin2x＋bcsx＋c可转化为关于csx的二次函数式．
(2)y＝asinx＋eq \f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋eq \f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
1、【2023年新高考1卷】 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
2、【2021年新高考1卷】若，则（ ）
A．B．C．D．
3、【2018年新课标1卷文科】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A．B．C．D．
4、【2018年新课标1卷文科】已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
1、若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝ .
2、已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,4) D．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
3、已知，，则的值为_______．
4、设为锐角，若，则的值为 ．
5、 （2022年福建诏安县模拟试卷）已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
考向一 变角的运用
例1、已知α为锐角，若cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(4,5)，求 sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))的值．
变式1、（1）（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.
变式2、（1）（2021·山东烟台市·高三二模）已知，，则的值为______．
（2）已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。
考向二 求角
例2、已知锐角α，β满足sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，求α＋β的值．
变式1、已知α，β为锐角，且sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．
变式2、若sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)，sin (β－α)＝ eq \f(\r(10),10)，且α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值为__________．
变式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
（2）（2022·河北张家口·高三期末）（多选题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。
考向三 公式的综合运用
例3、已知函数f(x)＝sin (x＋θ)＋a cs (x＋2θ)，其中a∈R，θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1) 当a＝ eq \r(2)，θ＝ eq \f(π,4)时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2) 若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
变式1、(1) 函数f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcs x的最大值为 ；
(2) 函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2 eq \r(2)sin2x的最小正周期是 ．
变式2、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称
方法总结：降幂公式是解决含有cs2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．
1、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.
2、（2022年福建连城县模拟试卷）已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
3、（2022年广东揭阳市模拟试卷）已知，则
A. B. C. D. .
4、（2022年福建上杭县模拟试卷）已知，，则（ ）
A. B. C. D. 0
5、（2022·江苏宿迁·高三期末）已知，则____________.
6、（2022·江苏通州·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.
7、（2022·江苏如东·高三期末）写出一个满足tan20°＋4csθ＝的θ＝_________.
8、（2022·江苏南京·模拟预测）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．