新高考数学一轮复习考点分类讲与练第38讲 复数（2份，原卷版+解析版）

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1、复数的有关概念
(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系
(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝eq \r(a2＋b2)．
(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则a1＝a2，b1＝b2．
(4)共轭复数：z＝a＋bi，z－＝a－bi；z与z－互为共轭复数．
2、 复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)
＝eq \f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)．
3、复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．
4、 复数的几何表示
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
1、【2022年全国甲卷】若．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以．
故选：D.
2、【2022年全国甲卷】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
故选 ：C
3、【2022年全国乙卷】设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为R，，所以，解得：．
故选：A.
4、【2022年全国乙卷】已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由,得,即
故选:
5、【2022年新高考1卷】若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】由题设有，故，故，
故选：D
6、【2022年新高考2卷】（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
故选：D.
7、（2021·全国高三专题练习（理））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.
故选：C．
8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））
已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】因为，所以，即．
故选：A．
9、（2023年全国新高考Ⅱ卷）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数（其中i为虚数单位，）在复平面内对应的点为，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．D．0
【答案】A
【解析】因为，
又因为复数在复平面内对应的点为，
所以，
解得
故选：A
2、（2022·河北张家口·高三期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
故选：A.
3、（2022·山东枣庄·高三期末）已知为虚数单位，则（ ）．
A．1B．C．ID．
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
4、（2022·山东德州·高三期末）已知复数z满足，其中为虛数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】，
则复数z在复平面内所对应的点坐标为，在第一象限.
故选：A
5、（2022·山东临沂·高三期末）已知复数，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
.
故选：C
考向一 复数的有关概念
例1、已知复数z＝eq \f(m2－7m＋6,m2－1)＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：
(1) 实数；
(2) 虚数；
(3) 纯虚数．
【解析】：(1) 当z为实数时，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－5m－6＝0，,m2－1≠0.)) 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1或m＝6，,m≠±1，))
所以m＝6，即m＝6时，z为实数．
(2) 当z为虚数时，则有m2－5m－6≠0且eq \f(m2－7m＋6,m2－1)有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1．
∴ m≠±1且m≠6．所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3) 当z为纯虚数时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－5m－6≠0，,\f(m2－7m＋6,m2－1)＝0，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠－1且m≠6，,m＝6且m≠±1.))故不存在实数m使z为纯虚数．
变式1、（1）（2022·广东潮州·高三期末）已知i为虚数单位，复数，则z的虚部为（ ）
A．0B．－1C．－iD．1
【答案】B
【解析】
.则z的虚部为－1.
故选：B.
（2）（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－B．C．－2D．2
【答案】B
【解析】
由题意设，
则，
因为是实数，所以，得，
所以，
所以，
故选：B
（3）（2022·江苏常州·高三期末）是虚数单位，已知复数满足等式，则的模________．
【答案】
【解析】
由，可得
则有，即，故有
故答案为：
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）已知复数（且），是z的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
解：对于A选项，，，所以，故正确；
对于B选项，，，，故错误；
对于C选项，，，，故正确；
对于D选项，，，，
所以当时，，当时，，故错误.
故选：AC
方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0且b≠0.
考向二 复数的运算
例2、（1）已知复数满足，其中为虚数单位，若复数的实部为，则实数（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【解析】由题可得，
则，解得或，
故选：B.
（2）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.
故选：A．
（3）已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知：
所以
故选：D
变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B
（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】因复数满足，则，
所以.
故选：C
（3）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若．设，则（ ）
A．2iB．2C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
所以.
故选：B
方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．
(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出a，b的值．
考向三 复数的几何意义
例3、(1)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq \r(3)，则eq \f(y,x)的最大值为____
【答案】eq \r(3)
【解析】∵|z－2|＝
eq \r(（x－2）2＋y2)＝eq \r(3)，
∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))eq \s\d7(max)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3).
变式1、设复数z＝lg2(m2－3m－3)＋ilg2(m－2)，m∈R对应的向量为 eq \(OZ,\s\up6(→)).
(1) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的终点Z在虚轴上，求实数m及| eq \(OZ,\s\up6(→))|的值；
(2) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的终点Z在第二象限内，求实数m的取值范围．
【解析】 (1) 由题意，得lg2(m2－3m－3)＝0，
所以m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.
因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－3m－3>0，,m－2>0，))
所以m＝4，此时z＝i， eq \(OZ,\s\up6(→))＝(0，1)，| eq \(OZ,\s\up6(→))|＝1.
(2) 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2(m2－3m－3)0，,m2－3m－3>0，,m－2>0，))
解得 eq \f(3＋\r(21),2)