新高考数学一轮复习考点分类讲与练第76讲 随机事件与概率（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点分类讲与练第76讲 随机事件与概率（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习考点分类讲与练第76讲随机事件与概率原卷版doc、新高考数学一轮复习考点分类讲与练第76讲随机事件与概率解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2、由于是一个必然事件，再加上，故，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率
3、事件的分类
4、事件的关系与运算
5、古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)所有的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的．
6、如果1试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是eq \f(1,n)，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝eq \f(m,n)．
7、古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)．
8、相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))__，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立.
1、（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ．
【答案】0.5．
【解析】从10人中任选3人的事件个数为，
恰有1名男生2名女生的事件个数为，
则恰有1名男生2名女生的概率为．
故答案为：0.5．
2、（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
【答案】．
【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为，
故答案为：．
3、（2022•甲卷（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【答案】．
【解析】根据题意，从正方体的8个顶点中任选4个，有种取法，
若这4个点在同一个平面，有底面2个和侧面4个、对角面6个，一共有12种情况，
则这4个点在同一个平面的概率；
故答案为：．
4、（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，
其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，
故所求概率为．
故选：．
5、（2023•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【答案】；．
【解析】设盒子中共有球个，
则甲盒子中有黑球个，白球个，
乙盒子中有黑球个，白球个，
丙盒子中有黑球个，白球个，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；
将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率．
故答案为：；
6、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【解析】：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
7、（2018年高考全国Ⅱ卷理数）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，
随机选取两个不同的数，共有种方法，
因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，
故所求概率为，故选C．
8、(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A.eq \f(5,16) B.eq \f(11,32)
C.eq \f(21,32) D.eq \f(11,16)
【答案】A
【解析】重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有Ceq \\al(3,6)×Ceq \\al(3,3)＝20种．故所求概率P＝eq \f(20,64)＝eq \f(5,16)，故选A.
1、掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】： B
【解析】掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有种，点数之和为5的有4中，
所以所求概率为．
2、2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为( )

A. eq \f(1,2) B. eq \f(1,4) C. eq \f(1,8) D. eq \f(1,16)
【答案】B
【解析】 可能出现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则P＝eq \f(1,4).故选B.
3、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. eq \f(1,10) B. eq \f(1,5) C. eq \f(3,10) D. eq \f(1,20)
【答案】A
【解析】 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，4，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，4，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4，5))，共10个，其中满足勾股数的只有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4，5))，共1个，∴所求概率p＝eq \f(1,10).故选A.
4、（多选）（2023·辽宁大连·统考三模）有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是（ ）
A．E与G是互斥事件
B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C．F与G不是互斥事件
D．G与I是互斥事件
【答案】BC
【解析】对于A选项，、事件有可能同时发生，不是互斥事件；
对于B选项，与不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；
对于C选项，与可以同时发生，不是互斥事件；
对于D选项，与也可以同时发生，不是互斥事件.
故选：BC.
考向一 随机事件的概率与频率
例1、某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
【解析】 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq \f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq \f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
∴续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
变式1、某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【解析】：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900,300，－100，
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
方法总结： (1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．
(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，所以有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
考向二 古典概型的概率问题
例2、先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1) 点数之和是4的倍数的概率；
(2) 点数之和大于5且小于10的概率．
【解析】 从图中容易看出，基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1) 记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1，3)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6)，所以P(A)＝ eq \f(1,4).
(2) 记“点数之和大于5且小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个(已用虚线圈出)，所以P(B)＝ eq \f(20,36)＝ eq \f(5,9).
变式1、先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1) 点数之和出现7点的概率；
(2) 出现两个4点的概率；
(3) 点数之和能被3整除的概率．
【解析】 如图，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1) 记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)，故P(A)＝ eq \f(6,36)＝ eq \f(1,6).
(2) 记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4，4)，
故P(B)＝ eq \f(1,36).
(3) 记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共有12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)，故P(C)＝ eq \f(12,36)＝ eq \f(1,3).
变式2、 (1)(2022·济南质检)在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(7,15) D.eq \f(8,15)
【答案】 B
【解析】 一次随机取出2个球，样本点总数为Ceq \\al(2,6)＝15，至少有1个红球包含的样本点个数为Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,2)＝9，
所以至少有1个红球的概率P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
(2)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
【答案】 D
【解析】 两位男同学和两位女同学排成一列一共有Aeq \\al(4,4)＝24种方法，两位女同学相邻的排法有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝12种，
∴两位女同学相邻的概率P＝eq \f(12,24)＝eq \f(1,2).
方法总结：古典概型的概率求解步骤
(1)求出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.
(3)代入公式P(A)＝eq \f(m,n)求解．
考向三 古典概型与统计的综合
例3、从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知体重的平均值为________ kg；若要从体重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________．
【答案】：64．5 eq \f(2,3)
【解析】：由频率分布直方图可知，体重在[40,50)内的男生人数为0．005×10×100＝5，同理，体重在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]内的人数分别为35,30,20,10，所以体重的平均值为eq \f(45×5＋55×35＋65×30＋75×20＋85×10,100) ＝64．5．利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内选取的人数分别为12×eq \f(30,60)＝6,12×eq \f(20,60)＝4,12×eq \f(10,60)＝2，则两人体重不在同一组内的概率为eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,6)＋C\\al(1,4)C\\al(1,8)＋C\\al(1,2)C\\al(1,10),A\\al(2,12))＝eq \f(2,3)．
变式1、在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
(1)求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．
【解析】 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分，
所以eq \f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差s2＝eq \f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，所以标准差s＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种．恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的有：(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4种．
故所求的概率为eq \f(4,10)＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率为0.4.
变式2、在某次测验中，6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
(1) 求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2) 从前5位同学中，随机地选出2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．
【解析】 (1) 因为这6位同学的平均成绩为75分，
所以 eq \f(1,6)×(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，
解得x6＝90,
s2＝ eq \f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
所以标准差s＝7.
(2) 从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种，
恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的有(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4种，故所求的概率为 eq \f(4,10)＝0.4,
即恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率为0.4.
考向四 对立事件与互斥事件的概率
例4、下列命题：
①将一枚硬币抛掷两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；
②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；
③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；
④若事件A与B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件．
其中真命题的序号是________．
【答案】 ②④
【解析】 一枚硬币抛两次，共出现(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①是假命题；对立事件首先是互斥事件，故②是真命题；互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③是假命题；事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④是真命题．
变式1、(1) 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________；
【答案】 0.35
【解析】 “抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，则所求概率P＝1－P(A)＝0.35.
(2) 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为 eq \f(1,7)，都是白子的概率是 eq \f(12,35)，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
【答案】 eq \f(17,35)
【解析】 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝ eq \f(1,7)＋ eq \f(12,35)＝ eq \f(17,35)，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为 eq \f(17,35).
1、 (2022·湖南高三开学考试)从0，2，4，6，8中任取2个不同的数分别记作a，b，则 |a－b|≥3的概率是( )
A. eq \f(1,5) B. eq \f(3,10)
C. eq \f(2,5) D. eq \f(3,5)
【答案】 D
【解析】 从0，2，4，6，8中任取2个不同的数a，b，共有 eq \f(5×4,2)＝10(个)基本事件，取出的2个数之差的绝对值等于2有(0，2)，(2，4)，(4，6)，(6，8)共4个基本事件，所以所求概率为P＝1－ eq \f(4,10)＝ eq \f(3,5).
2、 (2022·广东茂名二模)甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为( )
A. eq \f(1,3) B. eq \f(2,5)
C. eq \f(11,30) D. eq \f(3,10)
【答案】 B
【解析】 甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10，…，29.乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10，…，30.丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9，…，29.在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29，所以三人同一天工作的概率为P＝ eq \f(12,30)＝ eq \f(2,5).
3、(多选)(2022·益阳高三月考)一个人打靶时连续射击两次，甲表示事件“至少有一次中靶”，乙表示事件“恰有一次中靶”，丙表示事件“两次都中靶”，丁表示事件“两次都不中靶”，则下列说法中正确的是( )
A. 甲与乙是互斥事件
B. 乙与丙是互斥事件
C. 乙与丁是对立事件
D. 甲与丁是对立事件
【答案】 BD
【解析】 一个人打靶时连续射击两次，其基本事件有：两次都不中靶；第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；两次都中靶．其中甲事件包含的基本事件有：第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；两次都中靶．乙事件包含的基本事件有：第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶．丙事件包含的基本事件有：两次都中靶．丁事件包含的基本事件有：两次都不中靶，所以根据互斥与对立事件的定义，甲与乙不互斥，乙与丙互斥，乙与丁互斥不对立，甲与丁为对立事件．故A，C错误，B，D正确．故选BD.
4、（多选）（2023·湖北·校联考三模）A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是（ ）
A．若A，B为互斥事件，则B．若A，B为互斥事件，则
C．若A，B是相互独立事件，D．若，则
【答案】ACD
【详解】A：由A、B是互斥事件，故，正确．
B：由知：，不正确．
C：由于A，B是相互独立事件，，
，正确．
D：，则，
，正确．
故选：ACD
5、（多选）（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则
B．若A与B互斥，则
C．若，则A与B相互独立
D．若A与B相互独立，则
【答案】BD
【详解】解：对于A，因为，，，所以，故A错误；
对于B，因为与互斥，所以，故B正确；
对于C，因为，即，所以，又因为，所以，故C错误；
对于D，因为与相互独立，所以与相互独立；因为，所以，所以，故D正确.
故选：BD
确定事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件
名称
条件
结论
符号表示
并（和）事件
A发生或B发生
事件A与事件B的
并事件（或和事件）
（或）
交（积）事件
A发生且B发生
事件A与事件B的
交事件（或积事件）
（或）
互斥事件
为不可能事件
事件A与事件B互斥
对立事件
为不可能事件
为必然事件
事件A与事件B互为
对立事件
独立事件
A是否发生不影响
B发生
事件A与事件B为
相互独立事件
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72