人教A版高中数学(必修第二册)同步教学设计第7章 复数 章末综合提升教学设计

这是一份人教A版高中数学(必修第二册)同步教学设计第7章 复数 章末综合提升教学设计，共10页。
《第七章 复数 》章末综合提升 教学设计一、知识网络构建二、核心知识归纳1.复数的有关概念(1)虚数单位i；(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.2.复数集eq \a\vs4\al(复数a＋bi,（a，b∈R）)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）（当a＝0时为纯虚数）.))3.复数的几何意义(1)用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量eq \o(OZ,\s\up6(→))表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0).(2)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量eq \o(OZ,\s\up6(→)).4.共轭复数与复数的模(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \o(z,\s\up6(－))＝a－bi，z＋eq \o(z,\s\up6(－))为实数，z－eq \o(z,\s\up6(－))为纯虚数(b≠0).(2)复数z＝a＋bi的模|z|＝eq \r(a2＋b2)，且z·eq \o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝a2＋b2.5.复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))不共线，则复数z1＋z2是以eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))为两邻边的平行四边形的对角线eq \o(OZ,\s\up6(→))所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))的终点，并指向Z1的向量所对应的复数.6.复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq \f(ac＋bd＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i.三、典型例题1.有关复数的概念【例1】　已知m∈R，复数z＝eq \f(m（m＋2）,m－1)＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时：(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数.解　(1)当m2＋2m－1＝0且m－1≠0，即m＝－1±eq \r(2)时，z为实数.(2)当m2＋2m－1≠0且m－1≠0.即m≠－1±eq \r(2)且m≠1时，z为虚数.(3)当eq \f(m（m＋2）,m－1)＝0且m2＋2m－1≠0，即m＝0或－2时，z为纯虚数.【类题通法】复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R⇔b＝0；z为虚数⇔b≠0；z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.【巩固训练1】　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；(2)z为虚数.解　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，,log2（x－3）＝0，,x－3>0，))解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，,log2（x－3）≠0，,x－3>0，))解得x>eq \f(3＋\r(21),2)且x≠4.所以当x>eq \f(3＋\r(21),2)且x≠4时，z为虚数.2.　复数相等【例2】　已知复数z1＝1－i，z1·z2＋eq \x\to(z)1＝2＋2i，求复数z2.解　因为z1＝1－i，所以eq \x\to(z)1＝1＋i，所以z1·z2＝2＋2i－eq \x\to(z)1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i.设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,b－a＝1，))解得a＝0，b＝1，所以z2＝i.【类题通法】复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题.【巩固训练2】　已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－eq \f(3＋i,1＋i).(1)化简复数z；(2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值.解　(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－eq \f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝－4－3i－eq \f(4－2i,2)＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i.(2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22－12a－b＝0，,26－4a＋b＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－14.))3.复数的模及其几何意义【例3】　复数z满足|z＋3－eq \r(3)i|＝eq \r(3)，求|z|的最大值和最小值.解　|z＋3－eq \r(3)i|＝eq \r(3)表示以－3＋eq \r(3)i对应的点P为圆心，以eq \r(3)为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋eq \r(3)i|＝eq \r(12)＝2eq \r(3)，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋eq \r(3)＝3eq \r(3)，|z|min＝|OB|＝|OP|－eq \r(3)＝eq \r(3).【类题通法】1.z≠0，z为纯虚数⇔eq \o(z,\s\up6(－))＝－z.2.复数模的计算公式：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq \r(a2＋b2)，在解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用：z·eq \o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \o(z,\s\up6(－))|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)(z2≠0)等.【巩固训练3】　已知z∈C且|z|＝1，求|z2－z＋1|的最值.解　因为|z|＝1，所以z·eq \o(z,\s\up6(－))＝1，所以z2－z＋1＝z2－z＋zeq \o(z,\s\up6(－))＝z(z＋eq \o(z,\s\up6(－))－1)，所以|z2－z＋1|＝|z(z＋eq \o(z,\s\up6(－))－1)|＝|z|·|z＋eq \o(z,\s\up6(－))－1|＝|z＋eq \o(z,\s\up6(－))－1|.设z＝x＋yi(x，y∈R)，那么|z＋eq \o(z,\s\up6(－))－1|＝|2x－1|，又因为|z|＝1，所以x2＋y2＝1.所以－1≤x≤1，所以－3≤2x－1≤1，则0≤|2x－1|≤3.所以|z2－z＋1|的最小值为0，最大值为3.4.复数与其他知识的综合应用【例4】　四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z.(1)求复数z；(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值.解　(1)复平面内A，B，C对应的点坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，设D的坐标为(x，y)，由于eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))，∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，则点D对应的复数z＝3＋2i.(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，则3＋2i＋3－2i＝eq \f(p,2)，(3＋2i)·(3－2i)＝eq \f(q,2)，即p＝12，q＝26.【类题通法】复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇.【巩固训练4】　已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设eq \o(AB,\s\up6(→))对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝eq \f(1,2)x上，求θ的值.解　(1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ).由点P在直线y＝eq \f(1,2)x上，得－2sin2θ＝－eq \f(1,2)，∴sin2θ＝eq \f(1,4)，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，因此sin θ＝eq \f(1,2)，∴θ＝eq \f(π,6)或θ＝eq \f(5π,6).操作演练 素养提升1.已知eq \x\to(z)是z的共轭复数，若z·eq \x\to(z)i＋2＝2z，则z＝(　　)A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i2.已知复数z1＝2－3i，z2＝eq \f(3＋2i,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i))2)，则eq \f(z1,z2)等于(　　)A．－4＋3i B．3＋4iC．3－4i D．4－3i3.设z＝－3＋2i，则在复平面内eq \x\to(z)对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4.若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)A．－1 B．0C．1 D．25.若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.答案：1.A 2.D 3. C 4. B 5.4i五、课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 六、作业布置完成教材：第94页 复习参考题7 第1，2，3,4,5,6,7,8,9题 七、课堂记录 八、教学反思