人教A版高中数学(必修第二册)同步分层练习第7章 复数 章末综合提升（2份，原卷版+解析版）

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《第七章 复数》章末综合提升 练案一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.i是虚数单位，复数eq \f(7－i,3＋i)＝(　　)A.2＋i B.2－iC.－2＋i D.－2－i【答案】　B【解析】　eq \f(7－i,3＋i)＝eq \f(（7－i）（3－i）,（3＋i）（3－i）)＝eq \f(20－10i,10)＝2－i.2.已知复数z＝eq \f(－i3,（－1＋2i）2)(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于(　　)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】　C【解析】　因为z＝eq \f(i,－3－4i)＝eq \f(i（－3＋4i）,（－3－4i）（－3＋4i）)＝eq \f(－4－3i,25)＝－eq \f(4,25)－eq \f(3,25)i，所以z在复平面内所对应的点在第三象限.故选C.3.在复平面上，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)A.3＋i B.3－iC.1－3i D.－1＋3i【答案】　D【解析】在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.故选D.4.设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是eq \o(z,\s\up6(－))，则eq \f(2－\o(z,\s\up6(－)),z)等于(　　)A.－1－2i B.－2＋iC.－1＋2i D.1＋2i【答案】　C【解析】　由题意可得eq \f(2－\o(z,\s\up6(－)),z)＝eq \f(2－（－1＋i）,－1－i)＝eq \f(（3－i）（－1＋i）,（－1－i）（－1＋i）)＝－1＋2i.故选C.5.当z＝－eq \f(1－i,\r(2))时，z100＋z50＋1的值等于(　　)A.1 B.－1 C.i D.－i【答案】　D【解析】z2＝eq \f(1－i2,2)＝－i，则z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i＋1＝－i.6.已知复数z＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，则eq \o(z,\s\up6(－))＋|z|＝(　　)A.－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i B.－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)iC.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i D.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i【答案】　D【解析】　因为z＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，所以eq \o(z,\s\up6(－))＋|z|＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i.7.复数2＋i与复数eq \f(1,3＋i)在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于(　　)A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)【答案】　B【解析】　∵eq \f(1,3＋i)＝eq \f(3－i,（3＋i）（3－i）)＝eq \f(3,10)－eq \f(i,10)，∴它在复平面上的对应点为Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)，－\f(1,10)))，而复数2＋i在复平面上的对应点是A(2，1)，显然AO＝eq \r(5)，BO＝eq \f(\r(10),10)，AB＝eq \f(\r(410),10).由余弦定理得cos ∠AOB＝eq \f(AO2＋BO2－AB2,2AO·BO)＝eq \f(\r(2),2)，∴∠AOB＝eq \f(π,4).故选B.8.定义复数的一种运算z1*z2＝eq \f(|z1|＋|z2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*eq \o(z,\s\up6(－))的最小值为(　　)A.eq \f(9,2) B.eq \f(3\r(2),2) C.eq \f(3,2) D.eq \f(9,4)【答案】　B【解析】　z*eq \o(z,\s\up6(－))＝eq \f(|z|＋|\o(z,\s\up6(－))|,2)＝eq \f(2\r(a2＋b2),2)＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(（a＋b）2－2ab).又∵ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,4)，∴－ab≥－eq \f(9,4)，z*eq \o(z,\s\up6(－))≥eq \r(9－2×\f(9,4))＝eq \r(\f(9,2))＝eq \f(3\r(2),2).二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论错误的是(　　)A.z对应的点在第一象限B.z一定不为纯虚数C.eq \o(z,\s\up6(－))对应的点在实轴的下方D.z一定为实数【答案】　ABD【解析】　∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，∴z对应的点在实轴的上方.又∵z与eq \o(z,\s\up6(－))对应的点关于实轴对称.∴C项正确，其余都不正确.10.已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值为(　　)A.0 B. 1 C.－1 D.2【答案】　BC【解析】　因为复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，所以a2＋4＝4＋1，解得a＝±1，故选BC.11.下面关于复数z＝eq \f(2,－1＋i)的四个说法中，正确的有(　　)A.|z|＝2 B.z2＝2iC.z的共轭复数为1＋i D.z的虚部为－1【答案】　BD【解析】　∵z＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝－1－i，∴|z|＝eq \r(2)，A不正确；z2＝(－1－i)2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C不正确；z的虚部为－1，D正确.12.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　)A.若|z1－z2|＝0，则eq \x\to(z)1＝eq \x\to(z)2B.若z1＝eq \x\to(z)2，则eq \x\to(z)1＝z2C.若|z1|＝|z2|，则z1·eq \x\to(z)1＝z2·eq \x\to(z)2D.若|z1|＝|z2|，则zeq \o\al(2,1)＝zeq \o\al(2,2)【答案】　ABC【解析】　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以eq \x\to(z)1＝eq \x\to(z)2；对于B若z1＝eq \x\to(z)2，则z1和z2互为共轭复数，所以eq \x\to(z)1＝z2；对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，则eq \r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1))＝eq \r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))，z1·eq \x\to(z)1＝aeq \o\al(2,1)＋beq \o\al(2,1)，z2·eq \x\to(z)2＝aeq \o\al(2,2)＋beq \o\al(2,2)，所以z1·eq \x\to(z)1＝z2·eq \x\to(z)2；对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而zeq \o\al(2,1)＝1，zeq \o\al(2,2)＝－1，所以zeq \o\al(2,1)＝zeq \o\al(2,2)不正确.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.【答案】　－2【解析】　由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0，1－2a≠0，解得a＝－2.14.若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________.【答案】　2eq \r(5)【解析】　由z1＝1－i，z2＝3－5i知Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，由两点间的距离公式得d＝eq \r(3－12＋－5＋12)＝2eq \r(5).15.设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq \r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________.【答案】　3【解析】　∵|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(3)，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.16.已知复数z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i，则z1·z2的实部最大值为________，虚部最大值为________.(本题第一空2分，第二空3分)【答案】　eq \f(3,2)　eq \r(2)【解析】　z1·z2＝(cos θ－i)·(sin θ＋i)＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ)实部cos θsin θ＋1＝1＋eq \f(1,2)sin 2θ≤eq \f(3,2)，最大值为eq \f(3,2)，虚部cos θ－sin θ＝eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤eq \r(2)，最大值为eq \r(2).四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋eq \f(1,z)＜0，求z.【解析】设z＝x＋yi (x，y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.则z2＋2z＋eq \f(1,z)＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋eq \f(1,x＋yi)＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.∵y≠0，z2＋2z＋eq \f(1,z)0，,4a＋1>0，))解得－1