高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形第2课时当堂达标检测题

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圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
练案
1.下列说法正确的是（ ）
A．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
B．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
C．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直
D．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面
【答案】B
【解析】根据圆台母线的定义知，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以A错误；
根据圆台的定义，可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，所以B正确；
由圆锥、圆台的母线都不与底面垂直，所以C错误；
由棱台的两个底面相似，其中较小的面叫做上底面，较大的面叫做下底面，所以D错误．故选B.
2.如图，绕虚线旋转一周形成的几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，题设中图形是直角梯形，
根据旋转体的定义，可得绕其长底边旋转一周后得到的几何体是圆锥与圆柱的组合体，
只有选项D适合．故选D.
3.下列命题正确的是( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
A．①②③B．②③④
C．②③⑤D．①④⑤
【答案】C
【解析】由球的概念与性质，当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错；②正确；③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确.故选C.
4.（多选题）下列关于圆柱的说法中，正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆柱
【答案】ABD
【解析】用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，
如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形，
故C选项错误，其他选项均正确，故选ABD.
5.（2021·江苏徐州市高一期中）将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥
【答案】D
【解析】从较短的底边的端点向另一底边作垂线，
两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，
所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的
是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，
如图所示．
故选D.
6.（2021·重庆一中高一月考）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱D．一个六棱柱中挖去一个圆台
【答案】C
【解析】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.故选C.
7.（2021·河北博野县实验中学高一期中）如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________．
【答案】
【解析】把圆柱的侧面沿剪开，然后展开成平面图形：矩形，在矩形中求最短距离即可．如图所示，连接，则即为蚂蚁爬行的最短距离．∵，且，
∴
∴蚂蚁爬行的最短路线的长为．
8.（2021·山东威海市高一期末）现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，从底面圆周上一点处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到点，则所用金色彩线的最短长度为______．
【答案】
【解析】如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为，
因为圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，
设，
所以，即，
所以在等腰三角形中，取中点，
则为直角三角形，且，，
所以，
所以.

9.（多选题）下列命题中正确的有（ ）
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；
B.圆柱不是旋转体；
C.半圆围绕直径旋转半周得到一个球；
D.圆台的轴截面是等腰梯形．
【答案】AD
【解析】A圆柱的纵截面是矩形，矩形的长是圆柱的高，矩形的宽是圆内的弦，轴截面的宽是过圆心的直径，故圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，故A正确；
B根据旋转体的概念可知圆柱是旋转体，故B错误；
C半圆围绕直径旋转半周得到半个球，故C错误；
D圆台的上下底面是平行且不相等的圆，且母线等长，所以其轴截面是等腰梯形，D正确.
综上所述：正确的为AD，故选AD.
10.（2021·山西灵丘县高一期中）如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当截面不过旋转轴时﹐截面图形如选项A所示．故选A．
11. （2021·湖北麻城市第二中学高一期中）如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为_______.
【答案】
【解析】圆柱的高为4，底面周长为16，,则在底面圆中
如图将圆柱的侧面沿母线展开, 其侧面展开图是矩形，且矩形的长为16，宽为4.
在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为展开图中线段的长度
.
12.（2021·河北博野县实验中学高一期中）两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是
【答案】7或17
【解析】球的半径为，设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，；
球的半径为，由，得；
由，得；
如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；
即；
如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．
即.
所以这两个平面间的距离为或．


13.（2021·重庆八中高一期中）如图，一圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处.若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于___________.
【答案】
【解析】由题意，沿圆锥的一条母线将圆锥剪开，其侧面如图所示，设小虫爬行的最短路程为，
在中，，，
由余弦定理可得，
，故，
设圆锥底面圆半径为，则，解得.
14.如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
【答案】．
【解析】作出圆台的侧面展开图，如图所示，
由轴截面中与相似，得，可求得．
设，由于的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为,扇形的半径为，
扇形所在圆的周长为．
所以的长度为所在圆周长的，所以．
所以在中，，
所以，即所求绳长的最小值为．