2025届高考数学二轮总复习专题4立体几何第1讲空间几何体的结构表面积与体积课件

这是一份2025届高考数学二轮总复习专题4立体几何第1讲空间几何体的结构表面积与体积课件，共51页。PPT课件主要包含了方法二几何法，方法三基底法，ABD等内容，欢迎下载使用。
1.空间几何体的表面积与体积公式
　球的表面积恰好是球的大圆面积的4倍
2.线面、面面平行的判定及性质定理
(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α;(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b;(3)面面平行的判定定理:a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,a∩b=P⇒α∥β;(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.
3.线面、面面垂直的判定及性质定理
(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α;(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b;(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒β⊥α;(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
4.利用空间向量证明平行、垂直设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为u=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则(1)线面平行l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a=ku⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k为常数).(3)面面平行α∥β⇔u∥v⇔u=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ为常数).(4)面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.
5.利用空间向量求空间角
(3)二面角:设二面角的两个半平面α,β的法向量分别为n1,n2,二面角的大小为θ(0≤θ≤π),则|cs θ|=|cs|　 　　公式两边都有绝对值,所以两角相等或互补利用空间向量求空间角时,一定要注意角的取值范围.对于二面角,要注意题目条件是否明确是锐角还是钝角,如果没有说明,则结合图形特点判断.若求两个不平行平面的夹角,则取直角或锐角.
6.利用空间向量求点到平面的距离如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的
链高考2.(2023全国甲,理15)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　　个公共点. 
解析 设EF的中点为O,则球O的直径为EF.因为O点也是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,所以O点到各棱的距离均等于OE,故以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点.
链高考3.(2024全国甲,理10,文11)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m.下述四个命题:①若m∥n,则n∥α或n∥β②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β,则m∥n④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n其中所有真命题的编号是(　　)A.①③B.②④C.①②③D.①③④
解析 对于①,若m∥n,若n⊄α且n⊄β,则n∥α且n∥β,若n⊂α,则n∥β,若n⊂β,则n∥α,故①正确;对于②,若n⊥m,则n与α和β不一定垂直,②错误;对于③,若n∥α且n∥β,由线面平行的性质可证明n∥m,③正确;对于④,当n∥α且n∥β,n与α,β所成的角都为0°,此时n∥m,④错误.故选A.
链高考4.(2023新高考Ⅰ,18节选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.证明:B2C2∥A2D2.
证明 (方法一)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以点C为坐标原点,CD,CB, CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如右图所示的空间直角坐标系.
设棱DD1上的点N满足DN=AA2=1,取CC1的中点M,连接A2N,MN,B2M,如图.因为DN∥AA2,且DN=AA2,故四边形AA2ND为平行四边形,所以A2N∥AD,且A2N=AD.同理可证,B2M∥BC,且B2M=BC.因为AD∥BC,且AD=BC,所以A2N∥B2M,且A2N=B2M.所以四边形A2B2MN为平行四边形.因为D2N∥C2M,D2N=C2M=1,所以四边形C2D2NM为平行四边形.所以A2B2∥MN,A2B2=MN,MN∥C2D2,MN=C2D2,故A2B2∥C2D2,A2B2=C2D2.所以四边形A2B2C2D2为平行四边形.所以B2C2∥A2D2.
链高考5.(2024天津,17)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1,N是B1C1的中点,M是DD1的中点.(1)求证D1N∥平面CB1M;(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值;(3)求点B到平面CB1M的距离.
(1)证明 如图,取B1C的中点H,连接NH,MH.∵N为B1C1的中点,H为B1C的中点,∴NH∥CC1,且NH= CC1.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1,∴CC1∥DD1,CC1=DD1,∴NH∥DD1,且NH= DD1.∵M为DD1的中点,∴D1M= DD1,∴D1M∥NH,D1M=NH.∴四边形D1NHM为平行四边形,∴D1N∥MH.又D1N⊄平面CB1M,MH⊂平面CB1M,∴D1N∥平面CB1M.
(2)解 ∵A1A⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,∴A1A⊥AB,A1A⊥AD.又AD⊥AB,∴A1A,AB,AD两两垂直.以A为原点,AB,AD,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则
考点一　空间几何体的折展问题
例1(1)已知圆台的上、下底面圆半径分别为5和10,侧面积S为300π,AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上),M为AB的中点,一只蚂蚁从点A出发,绕圆台侧面一周爬行到点M,则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(　　)A.30B.40C.50D.60
解析 ∵圆台上底面半径为5,下底面半径为10,母线长为l,所以S=πl(10+5)=15πl=300π,解得l=20,将圆锥侧面展开如图所示,且设扇形的圆心为O,线段M1A就是蚂蚁经过的最短路径.设OB=R,圆心角是α,则由题意知10π=αR,20π=α(20+R),解得α= ,R=20,
(2)(2024河北沧州模拟)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱DD1上一动点,则PB1+PC的最小值为　　 　　. 
解析 如图,将平面BB1D1D绕D1D翻折到与平面CC1D1D共面,连接B1C交DD1于点P,此时PB1+PC取得最小值B1C,又
[对点训练1](1)(多选题)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,则下列说法中正确的是(　　)A.C∈GHB.CD与EF是共面直线C.AB∥EFD.GH与EF是异面直线
解析由图可知,还原正方体后,C∈GH;CD∥EF,即CD与EF是共面直线;AB∩EF=B,即AB与EF不平行;GH与EF是异面直线,故A,B,D正确,C错误.故选ABD.
(2)(2024湖北武汉模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=8, ∠APB=∠APC=∠BPC=40°,过点A作截面,分别交侧棱PB,PC于E,F两点,则△AEF周长的最小值为　　　. 
解析 如图,沿着侧棱PA把三棱锥P-ABC展开在一个平面内,如图所示,则AA'的长度即为△AEF的周长的最小值.在△PAA'中,∠APA'=3×40°=120°,PA=A'P=8,由余弦定理得
考点二　空间几何体的表面积与体积(多考向探究预测)
考向1空间几何体的表面积例2(1)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式,常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖等,多见于亭阁式建筑,兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分如图所示,它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底面边长、下底面边长、侧棱长(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等,则该结构表面积为(　　)
(2)(2024河南信阳二模)已知一个圆柱的底面半径为2,高为3,上底面的同心圆半径为1,以这个圆面为上底面,圆柱下底面为下底面的圆台被挖去,剩余的几何体表面积等于(　　)
解析 剩余几何体的表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积,所以圆环的面积为π×(22-12)=3π.
规律方法空间几何体表面积的类型及求法
[对点训练2](1)(2024福建漳州一模)如图,石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械,通常由两个圆石做成.磨是平面的两层,两层的接合处都有纹理,粮食从上方的孔进入两层中间,沿着纹理向外运移,在滚动过程中被磨碎,形成粉末.如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成,每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍,若石磨的侧面积为64π,则圆柱底面圆的半径为(　　)A.4B.2C.8D.6
解析 设圆柱底面圆的半径为r>0,则圆柱的高为r,则石磨的侧面积为2×2πr×r=64π,解得r=4.
(2)(2024浙江湖州模拟)庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式,分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶.单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊,前后左右都有斜坡,类似如图所示的五面体FE-ABCD的形状.若四边形ABCD是矩形,AB∥EF,且AB=CD=2EF=2BC=8,EA=ED=FB=FC=3,则五面体FE-ABCD的表面积为　　　　. 
解析 如图,分别取AD,BC的中点G,H,连接GH,FH,
过点F作AB的垂线FI,垂足为I.
考向2空间几何体的体积例3极目一号是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月,“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测,最高升空至9 050米,超过珠穆朗玛峰,创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录,彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米,高19米,若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体,如图所示,则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(　　)(参考数据:9.52≈90,315×1 005≈316 600,π≈3.14)
A.9 060立方米B.9 004立方米C.8 944立方米D.8 884立方米
[对点训练3](2024辽宁丹东模拟)某校科技社利用3D打印技术制作实心模型.如图,该模型的上半部分是圆台,下半部分是半球.其中半球的体积V为144π cm3,圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度ρ为1.6 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量m约为(　 ) (1.6π≈5,m=ρV)A.3 240 gB.1 665 gC.1 035 gD.315 g
考点三　几何体的外接球与内切球
例4(1)(2022新高考Ⅱ,7)已知正三棱台的高为1,上、下底面的边长分别为3 和4 ,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)A.100πB.128πC.144πD.192π
(2)(2024广东深圳一模)已知某圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=2r1,若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切,则该圆台的体积为(　)
解析 如图,设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处,
设球O与母线AB切于点M,所以OM⊥AB,OM=OO1=OO2=2,所以△AOO1≌△AOM,所以AM=r1.同理BM=r2,所以AB=r1+r2=3r1.过A作AG⊥BO2,垂足为G,则BG=r2-r1=r1,AG=O1O2=4,所以AG2=AB2-BG2,
解 设该正三棱锥为V-ABC,点M为△ABC的中心,连接VM,CM.易知正三棱锥外接球的球心位于VM的延长线上,设为O,连接OC.设外接球的半径为R,则OV=OC=R,VM=1,所以OM=R-1, 在Rt△OMC中,有R2=(R-1)2+42,解得R= ,所以外接球的表面积为4πR2=289π.
[对点训练4](2024山东潍坊一模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直径为6,且AB⊥BC,BC=2,则该棱柱体积的最大值为(　　)A.8B.12C.16D.24