2025届高考数学二轮总复习专题突破练9三角函数与解三角形解答题

这是一份2025届高考数学二轮总复习专题突破练9三角函数与解三角形解答题，共4页。
1.(13分)(2024陕西西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且,a>b>c.
(1)证明:b2=ac;
(2)若b=2,sin B=,求a+c的值.
(1)证明因为,
所以由余弦定理可得,
整理得到b2=ac.
(2)解由(1)得b2=ac=4,sinB=,
又因为a>b>c,
所以B∈0,,
则csB=.
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accsB,
即4=a2+c2-6,
由得(a+c)2=a2+c2+2ac=18,
所以a+c=3(负值舍去).
2.(13分)(2024北京,16)在△ABC中,a=7,A为钝角,sin 2B=bcs B.
(1)求∠A;
(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,求△ABC的面积.
①b=3;②cs B=;③csin A=.
注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.
解(1)∵sin2B=bcsB,
∴2sinB·csB=bcsB.
又A为钝角,
∴B∈0,,∴csB≠0,
∴2sinB=b,
∴.
由正弦定理得,则,
∴sinA=,∴A=.
(2)若选①.
由(1)知A=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA,即49=9+c2-2×3×c×cs,即c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),
∴S△ABC=bcsinA=×3×5×.
若选②.
由csB=,得sinB=.
又2sinB=b,∴b=3.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA,
即49=9+c2-2×3×c×cs,
即c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),
∴S△ABC=bcsinA=×3×5×.
若选③.
由csinA=,得c=,∴c=5.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA,
即49=b2+25-2×b×5×cs,即b2+5b-24=0,解得b=3或b=-8(舍去),∴S△ABC=bcsinA=×3×5×.
3.(13分)(2024河北衡水一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,若D为AC边上一点,满足AB⊥BD,BD=2,且a2=-S+abcs C.
(1)求∠ABC;
(2)求的取值范围.
解(1)∵a2=-S+abcsC,
∴a2=-absinC+abcsC,
即a=-bsinC+bcsC,
由正弦定理得,sinA=-sin∠ABCsinC+sin∠ABCcsC,
∴sin(∠ABC+C)=-sin∠ABCsinC+sin∠ABCcsC,
∴cs∠ABCsinC=-sin∠ABCsinC.
∵sinC≠0,
∴tan∠ABC=-.
由0