广东省清远市清新区四校联考2024-2025学年高一上学期12月期末模拟数学试题（Word版附解析）

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1．本卷总分150分，考试时长120分钟．
2．考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答，答在试题卷上无效．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据对数运算求解出，再结合幂函数的单调性比较大小.
【详解】由条件可知，，，，
则，，，
，，，所以，
，，，所以，
，，，所以，
综上可知，.
故选：C
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用交集的运算得解.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：B.
3. 已知全集，集合，，则为
A. 且B. 或
C. 或D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】先求解,在求解.
【详解】 ，
=
又 本题中的全集
或.
如图，
故选:C.
【点睛】在求集合的补集时要注意全集的范围,在数集运算中可使用数轴来分析问题.
4. 若，，则是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意切化弦得到，，进而判断角所在象限.
【详解】由，，
得，，
所以是第一象限角.
故选：A.
5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，，
于是．
故选：D.
6. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接求交集即可.
【详解】，则.
故选：D
7. 已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.
【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，
所以为定值，设，可得，
又由，可得，解得或（舍去），
所以，则方程，即，即，
则关于的方程恰有两个实数根，即，
即函数和有两个交点，
设，则，即且，可得，
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以，且，当时，，
要使得方程恰有两个实数根，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故选：C.
8. 函数的值域是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析得到函数的单调性，再根据函数的单调性得到函数的值域.
【详解】因为函数在R上是减函数，且，
所以当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故函数的值域为
故选：
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
9. 下列说法正确是（ ）
A. 与是同一函数
B. 已知，则
C. 对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
D. 函数在其定义域内是单调递减函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据同一函数定义判断A，赋值法求函数值判断B，根据函数定义判断C，根据单调区间定义判断D.
【详解】与的定义域与对应法则相同，故为同一函数，A正确；
令得，令得，所以，故B错误；
函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则的值一定不同，故C正确；
的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误.
故选：AC
10. 对于函数，若存在两个常数，，使得，则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A：根据题意结合指数幂运算分析判断；对B：根据题意整理得，分析判断；对C：根据题意整理得，分析判断，对D：根据题意结合两角和差的正切公式运算分析.
【详解】对A：若，则，
即存在两个常数，，使得使得成立，
故为“函数”，A正确；
对B：若，则，
若为定值，则，解得，且，
故存在两个常数，，
则为“函数”，B正确；
对C：若，则
∵不为定值，
即不存在两个常数，，使得，
不为为“函数”，C错误；
对D：若，则，
若，即，
可得，解得，
即存在两个常数，使得使得成立，
故为“函数”，D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题要充分理解定义，严格按照定义的要求推理、运算，注意区别我们已学的相近知识.该题型重点考查学生的思维逻辑能力.
11. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式的性质可得，即可根据选项逐一求解.
【详解】由已知可得，
对于A项，，所以，由及不等式性质得，故A成立.
对于B项，，因为，所以，
当时，，即，故B项不一定成立.
对于C项，当时，，所以；当时，成立，故C项一定成立.
对于D项，由，，得，所以，故D项一定成立.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【详解】因为且，所以，
当且仅当即时取．
即恒成立．要使2x＋y＞m恒成立，
则．
13. 已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数性质并结合临界值的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】由于函数在上单调递增，
所以需要满足：，解得，
故答案为：.
14. 函数，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】先求两函数的定义域，再求得解.
【详解】由题得函数的定义域为，函数的定义域为R,
所以的定义域为.
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法和交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
（1）求的单调区间.
（2）求值域.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；
（2）的值域为
【解析】
【分析】利用诱导公式，二倍角公式，辅助角公式可得.（1）由题可得，后利用函数在上的单调性可得答案；（2）由（1）求得的单调性可得答案.
【小问1详解】
由题，
.
因，则
则当，即时，单调递减；
，即时，单调递增.
故在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由（1），；
.
则的值域为.
16. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”；
（2）已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定于判断即可证明；
（2）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明，是方程的两个同号且不等的实数根，转化求解的最大值.
【小问1详解】
因在区间上单调递增，
又，，
所以的值域为，
所以区间是的一个“优美区间”.
【小问2详解】
设是已知函数定义域的子集，
因为的定义域为，则或，
而函数在上单调递增，
若是已知函数的“优美区间”，则，
所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根，
因为，
所以，同号，只需，
解得或，
因为，
所以当时，取得最大值.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是将转化为方程的两个同号且不等的实数根，再结合，代入计算即可.
17. 已知
（1）求的值．
（2）求的值．（结果保留根号）
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式化简得，然后利用同角关系式即得；
（2）利用两角差的正弦公式即求.
【小问1详解】
由，得，
∵，,
∴，
∴，
∴.
【小问2详解】
由（1）知，
∴.
18. 已知二次函数=ax2+bx+c.
（1）若f(﹣1)=0，试判断函数零点个数；
（2）是否存在a，b，c∈R，使同时满足以下条件
①当x=﹣1时，函数有最小值0；
②对任意x∈R，都有；
【答案】（1）详见解析；
（2）存在.
【解析】
【分析】（1）根据f(﹣1)=0，得到，再利用判别式法判断；
（2）由x=﹣1时，函数有最小值0，得到，再由对任意x∈R，都有，令求解后验证即可.
【小问1详解】
解：因为f(﹣1)=0，
所以，即，
则，
当时，函数有一个零点；
当时，函数有二个零点；
【小问2详解】
因为当x=﹣1时，函数有最小值0，
所以，即，；
又因为对任意x∈R，都有；
当时，，即，
由，解得，
此时，
则，
满足对任意x∈R，都有
故存在a，b，c∈R，使同时满足以下条件①②.
19. 已知集合，
(1)若，求；
(2)若，写出A对应的区间，并在时，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)求解二次不等式再求交集即可.
(2)由题意,分和两种情况进行讨论分析,再列出区间端点满足的关系式求解即可.
【详解】（1）由题意知：
（2）
法一：当时,,,不合题意,
当时,,
所以,,即
.
法二：当时,；当时,
由,得.
解得
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与根据集合的关系求参数的问题,需要根据题意分参数的范围进行讨论,同时根据题意列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中等题型.