河北省沧州市沧衡名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标.
【详解】抛物线的标准形式为.则焦点坐标为：.
故选：A.
2. 已知直线与.若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值.
【详解】由于，所以，
此时两直线方程分别为，
不重合，符合题意，所以.
故选：B
3. 已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出实半轴长，进而求出渐近线的方程.
【详解】由双曲线的焦距为，得，解得，
所以曲线的渐近线方程为.
故选：A
4. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出.
【详解】在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点，
.
故选：D
5. 已知向量，若共面，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量共面定理求解.
【详解】由题意知共面，则存在不全为的实数使得，
即，
所以解得：
故选：A.
6. 已知点在直线上，点在直线上，点的坐标为，且，，三点不共线，则周长的最小值为（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用对称将三角形周长转化为四点共线问题，求出两点之间距离即可.
【详解】依题意，点关于直线的对称点，关于直线的对称点，
则， 的周长，
当且仅当点分别是直线与直线及直线的交点时取等号，
所以周长的最小值为.
故选：C
7. 已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点. 若，则（ ）
A. 6B. 3C. 32D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义计算即得.
【详解】抛物线的焦点为，直线的方程为，
由消去得，显然，
设，则，，
所以.
故选：B
8. 当变动时，动直线与定圆相切，则圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】变形给定的直线方程，求出定点到动直线的距离（定值）得圆的圆心及半径，进而求出圆面积.
【详解】直线，即，，
当变动时，点到直线的距离为常数，
因此动直线与圆(x-12)2+y2=14相切，
由动直线与定圆相切，得圆的圆心为，半径，
所以圆的面积为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线过定点则下列结论正确的是（ ）
A. P的坐标为
B. 当时，l在y轴上的截距为
C. 若l与直线垂直，则
D. 点P在圆的外部
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线过定点问题判断A，根据截距的定义判断B，根据直线垂直公式列方程求解判断C，根据点与圆的位置关系判断D．
【详解】对于A，由题意得直线，即，
由，解得，故A正确；
对于B，当时，直线l为，令x=0，，
所以在y轴上截距为，故B正确；
对于C，由，解得，故C错误；
对于D，因为，所以点P在圆的外部，故D正确.
故选：ABD
10. 如图，已知正方体的棱长为2，点为正方体的中心，点满足，则（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 在上的投影向量为
D. 平面与平面夹角的余弦值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理判断AB；求出投影向量判断C；利用空间向量求出面面角的余弦判断D.
【详解】以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
对于A，由，得平面，A正确；
对于B，，得EO不与平面平行，B错误；
对于C，在上的投影向量为，C错误；
对于D，平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，
则，D正确.
故选：AD
11. 已知双曲线的两个焦点为，，过作圆的切线，切线与交于，两点. 若，则的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】讨论同时在双曲线的左支上和点在双曲线的两支上两种情况，求出之间的关系，结合离心率的计算公式，即可得答案.
【详解】当点同时在双曲线的左支上时，设切点为，则，
.
作交于点，则，

因为为中点，则为的中点，故，,
因为，为锐角，故，
所以，，
，所以，
则，故双曲线的离心率.
当点在双曲线的两支上时，仍有，，

因为，为锐角，故，
所以，，
，所以，
则，故双曲线的离心率.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质结合三角函数是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用方程表示圆的充要条件，列式求解即得.
【详解】依题意，，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
13. 已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率可得的值，根据通径可得的值，求出后可得椭圆的标准方程.
【详解】由题设有，故，解得，故，故
故椭圆的标准方程为：，
故答案为：.
14. 已知，，是球上三点，球心的坐标为，是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算求出的相关量，并求出其面积，再利用空间求出球心到平面的距离即可求解.
【详解】依题意，，则，
则，的面积为，，则球的半径,
设平面ABC的法向量为，则，令，得，
则点到平面ABC的距离，球面上的点到平面距离最大值为，
所以三棱锥的体积的最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆，直线过点.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
（2）若与圆相交于，两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求的方程.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
分析】（1）按直线截距相等且不等零和截距均等于零两种情况分类讨论求解直线方程即可；
（2）由题意可得圆心到直线的距离为，设线的方程为，利用点到直线的距离即可求解.
【小问1详解】
若直线的截距相等且不为零，则设直线方程为.
由于直线过点，代入可得：，解得：，即得直线；
若直线的截距相等且等于零，则假设直线方程为，
由于直线过点，代入可得：，解得：，即得直线.
综上所述：的方程为或；
【小问2详解】
由，可得圆心，半径为，
（为圆的圆心）为直角三角形，可得且，
所以可得圆心到直线的距离为，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆心，显然不符合题意，
设直线的方程为，即，
所以，解得，
所以的方程为或.
16. 已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得.
（2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值.
【小问1详解】
设，则，而，
则，
由，得，整理得，
所以点的轨迹方程是.
【小问2详解】
点，由（1）知，
所以当时，取得最小值.
17. 已知双曲线的实轴长为，且过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求；
（3）若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上.
【答案】（1）
（2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解.
（2）由（1）得，进而得直线的方程为，设，联立双曲线方程，利用韦达定理即可求解.
（3）利用点差法即可证明.
【小问1详解】
根据题意可得，则，
将点的坐标代入，得，解得，
故双曲线的方程为；
【小问2详解】
由（1）得，则，
则直线的方程为，设，
由，得，
，，
所以；
【小问3详解】
设，
则，两式相减得，
设，则，所以，
即，所以，即，
所以在直线上.
18. 如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点在线段上运动.
（1）证明：.
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
（3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见详解；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）以为正交基底建立空间直角坐标系，由数量积可证；
（2）求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算可得；
（3）设，求出平面法向量，根据线面角的向量夹角公式，将用表示，利用换元和二次函数性质求解可得.
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，
所以，又为正方形，所以两两垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，
则，
所以
【小问2详解】
解：由（1）可得，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为
【小问3详解】
解：设.因为，所以，
则
由（1）可得.
设平面的法向量为，
则取
设直线与平面所成角为，则
.令，则，
所以
当，即时，取得最大值，最大值为1；
当，即时，取得最小值，最小值为.
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
19. 若将任意平面向量绕起点逆时针方向旋转角，得到向量，则称点绕点逆时针方向旋转角得到点.在平面直角坐标系中，已知曲线是椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知，是椭圆长轴上的两个顶点，，为椭圆上异于，的两点，且关于轴对称，若直线与直线交于点，证明：点在某定曲线上，并求出该曲线的方程.
（3）已知，不过点的动直线与椭圆交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点的坐标.
【答案】（1）
（2）点在定曲线：，详见解析
（3）满足条件的直线，过定点，详见解析.
【解析】
【分析】（1）本小题可以考虑利用题目已知条件将原椭圆上的点的坐标转换成题目中椭圆，求出原椭圆方程，也可以利用已知条件原椭圆逆时针旋转了，则旋转后椭圆的对称轴为和，求出椭圆的长轴长和短轴长，并进一步得到椭圆的方程.
（2）可以利用和点的坐标作为参数写出直线方程，用参数表示点的坐标，利用点和点在椭圆上消去参数；
（3）设出直线的方程，与椭圆联立，利用题目给出的关系求出直线过的定点.
【详解】（1）解：（方法一）设为椭圆上任意一点，则即斜椭圆上一点，
则，
化简得，故椭圆的方程为．
（方法二）由得或
由得或
所以椭圆的长轴长为，得，
椭圆的短轴长为，得，
故椭圆的方程为
（2）证明：根据椭圆的对称性，不妨令．设，则.
，由P，M，T三点共线，得；
，由Q，N，T三点共线，得
两式相乘可得
因，所以，所以，
故点在某定曲线上，该定曲线的方程为
（3）解：当直线的斜率为0时，设直线的方程为，
则，且，即，
所以，不符合题意．
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为.
由消去得，
则.
直线HA与HB的斜率分别为，
于是
，
整理得，解得或
当时，直线过点，不符合题意，因此.
综上，直线过定点．