2025清远清新区四校联考高二上学期12月期末模拟试题数学含解析

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满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）
1. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ）
A. B. C. －2D. 2
2. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线：与抛物线相交于A、B两点，则的长为（ ）
A 5B. 6C. 7D. 8
4. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的图象在处的切线方程为，则（ ）
A. 的单调递减区间为，单调递增区间为
B. 的单调递减区间为，单调递增区间为
C. 的单调递减区间为，单调递增区间为
D. 的单调递减区间为，单调递增区间为
7. 已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
8. 点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为（ ）
A B.
C. 或D. 或
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每题至少两项是符合题目要求的.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. （多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知点P在圆C：上，点A（4，0），B（0，2），当∠PBA最小时，记直线PB斜率为k1，当∠PBA最大时，记直线PB的斜率为k2，则（ ）
A. B.
C. 三角形PAB的面积小于D. 三角形PAB的面积大于
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 过点且垂直于直线的直线方程为
B. 过点且在x、y轴截距相等的直线方程为
C. 曲线过点最短弦长为；
D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，试用表示经过两点直线倾斜角_____．
13. 已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比__________．
14. 若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程是__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，AB的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线CE与平面所成角的正弦值.
16. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点.
（1）求线段的中点的轨迹方程；
（2）经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上.
17. 点F是抛物线焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A,B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K．
（1）求抛物线的方程；
（2）设C,D是抛物线上异于A,B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E,G,K三点共线．
18. 如图，三棱锥中，平面平面，，点分别是棱的中点，点是的重心.
（1）证明：平面；
（2）若为正三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆的方程：
（2）过点的直线（不过原点）与椭圆交于两点、，为线段的中点．求面积的最大值及此时的斜率．