圆的最值问题总结讲义-2024届高三数学一轮专题复习

这是一份圆的最值问题总结讲义-2024届高三数学一轮专题复习，共5页。学案主要包含了“过定点的弦长”问题，“切线长”问题等内容，欢迎下载使用。

类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题
分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线：x-y+2=0的最大、最小距离.
解析：作交于，与圆交于，反向延长与圆交于点。
所以
求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线： x-y+4=0距离的最大值和最小值.
解析:方法同第一题,
3、圆上的点到直线：的距离的最小值为________________.
解析:方法同第一题,
类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题
分析：本质是两点间距离。涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
已知点P（x,y）是圆: x2＋y2-2x-4y+4＝0上一点,求P到原点的最大最小距离.
解析:连接与圆交于,延长交于.
2.已知圆C：及点，若M是圆C上任一点，求最大值和最小值.
解析:方法同第一题,
3 .已知x,y满足条件 x2＋y2-2x-4y+4＝0,求范围.
解析:方程看作是圆,表达式几何意义是圆上点与距离的范围,求
即可,与第一题答案相同.
4.已知x,y满足圆: x2＋y2-2x-4y+4＝0,求范围.
解析: 表达式几何意义是圆上点与距离的最值的平方.
5.已知x,y满足圆: x2＋y2-2x-4y+4＝0,求z=x2＋y2+2x+2y范围.
解析: 表达式几何意义是圆上点与距离的最值的平方减去2.
6.已知圆，点A（-1，0），B（1，0），点P为圆上一动点，求的最大值和最小值及对应的P点坐标.
解析:
类型三、“过定点的弦长”问题
1：已知直线和圆；
（1）时，证明与总相交。 （2）取何值时，被截得弦长最短，求此弦长。
解析:
2、已知C：（x－1）2＋(y－2)2=25，直线l：（2m＋1）x＋（m＋1）y－7m－4＝0(m∈R)．
（1）求证：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及这时直线l的方程．
解析:方法同第一题.(1)恒过点(2)垂直直径的直线是
类型四、“切线长”问题
分析:切线长问题总是转化为圆心到直线距离问题
在直线2x＋y＋3＝0上求一点P，使由P向圆C：x2＋y2－4x＝0引得的切线长长度为最小．
解析：直线与圆相离，假设切点为Q，组成直角三角形PQC，切线长，那么当最小时最小。进而计算圆心C到直线的距离
2.一束光线从点A（－1，1）出发经x轴反射到圆C：（x－2）2＋（y－3）2＝1的最短路程是________________.
解析：根据光学的对称原理，A点关于x轴的对称点是，求
3.已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB的面积的最小值
解析：四边形APBC中连接CP，两个三角形全等，
Q
P
A
x
4. 如图，已知圆和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足，
（1）求实数a，b间满足的等量关系。
（2）求线段PQ长的最小值。
（3）若以P为圆心所做的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程。
解析：（1）做出切线，
（2）
（3）
相切时半径最小，假设半径为，
类型五、利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题
（1）利用表达式的几何意义“斜率”解决问题
1.若实数x，y满足，则的最大值是
解析:
2.已知实数x、y满足，求的最大值与最小值。
解析：
3..圆C：若点在圆上，求的最大值.
解析：
（2）利用直线的“斜率，截距”几何意义解决问题
1.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是__________.
解析：
2.设集合，，
若，求实数的取值范围.
变式1、若，则实数的取值范围是__________.
变式2、若集合中只有一个元素，则实数的取值范围是__________.
变式3、若集合中有两个元素，则实数的取值范围是__________.