新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，那么( )
A.B.C.D.
2．已知，，则y的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．已知函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
4．若则( )
A.B.C.D.
5．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是.若“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约需经过（参考数据：，）( )天.
A.100天B.105天C.110天D.115天
6．函数零点所在的区间是( )
A.B.C.D.
7．函数的图像大致是( )
A.
B.
C.
D.
8．已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且，则( )
A.B.的图像关于直线对称
C.的图像关于点中心对称D.
10．已知函数，下列说法正确的是( )
A.为奇函数B.为偶函数
C.在上单调递减D.的值域为
11．已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知正实数a，b满足，则的最小值为____.
13．已知是定义在R上的连续函数，给出下列四个命题：①是奇函数；②是偶函数；③满足；④的图像关于点对称.若其中只有两个真命题，则符合题意的一组真命题的序号为____.
14．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱.
其中所有正确结论的序号是____.
四、解答题
15．已知函数
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)证明在区间上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值和最小值.
16．已知函数是定义在R上的奇函数，其中为指数函数，且的图像过定点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明的单调性；
(3)若对任意的，不等式，恒成立，求实数k的取值范围.
17．已知函数，.
(1)求函数的值域；
(2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围.
18．已知函数的图像与（且）的图像关于直线对称，且的图像过点.
(1)求函数的解析式；
(2)若成立，求x的取值范围.
19．已知集合,若对于任意,与至少有一个属于S,则称S为开心集.
(1)分别判断集合与集合是否为开心集,并说明理由;
(2)当时,若,求开心集S;
(3)若集合为开心集,且S中存在元素m,使得S中所有元素均为m的整数倍,求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：由，，
可得，，
所以集合M是由元素的奇数倍构成的，集合N是由元素的整数倍构成的，
所以，.
故选：C.
2．答案：C
解析：，
其图像是对称轴为，开口向上的抛物线，
所以当时，y有最小值，为，
当时，y有最大值，为，
则y的取值范围为.
故选：C.
3．答案：C
解析：不妨假设，由，得，
则在R上单调递减，
所以，解得.
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
4．答案：B
解析：因为，所以，
设，
因为是定义在R上的增函数，是定义在R上的减函数，
所以是定义在R上的增函数，则，
时，不一定成立，如,时，选项A错误；
成立，选项B正确；
不一定成立，如,，选项C错误；
不一定成立，如,时，选项D错误.
故选：B.
5．答案：D
解析：设经过x天“进步“的值是“退步”的值的10倍.
则，即，
故，故，
故大约经过115天.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题意可知：函数在定义域上单调递减，
且函数单调递减，连续不断，
因为，，
所以函数的唯一零点所在的区间是.
故选：B
7．答案：B
解析：因为中，所以，
所以的定义域为，排除C，
当时，，排除A，
当时，，排除D，
故只有B符合，
故选：B
8．答案：B
解析：令，
则，因为，所以在上单调递减，
而在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，在单调递减，且，
所以，则，所以.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：由是定义在R上的奇函数可知，且；
又为偶函数，可得，
令，所以，即A错误；
由可知的图像关于直线对称，即B正确；
易知关于成中心对称，又关于直线对称，
所以的图像关于点中心对称，即C正确；
显然，即；
所以，即，所以，
可得是以8为周期的周期函数，
即，即D正确.
故选：BCD
10．答案：ACD
解析：对于函数，令，解得或，
即函数的定义域为，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确，B不正确；
又由，
因为在上单调递减，且在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，所以C正确；
当时，所以，即；
当时，所以，即，
所以的值域为，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：左函数草图如下：
对A：由图可知，若有四个不同的零点，则，故A错误；
对B：因为，且,关于直线对称，所以，
故B正确；
对C：因为，所以，，
由，故C正确；
对D：因为，所以，
因为函数在上单调递减，所以，
即，故D错误.
故选：BC
12．答案：8
解析：由及，则，
当且仅当,时等号成立，故的最小值为8.
故答案为：8
13．答案：②③（或②④）
解析：若①②为真，则函数为，
此时也满足③④，故不符合题意；
若①③为真，则,，
则，
则,关于对称，④为真，不符合题意；
若①④为真，则,，
则，则，③为真，不符合题意；
若②③为真，则,，则，
则,关于对称，④为假，①为假,符合题意；
若②④为真，则，，
则,,，③为假，①为假符合题意；
若③④为真，则由可得，
又，所以，
则是奇函数，①为真，不符合题意.
综上，正确的组合为②③或②④.
故答案为：②③（或②④）.
14．答案：①②④
解析：设甲与乙的工人工作效率为,，工作年限为,，
劳累程度为,，劳动动机为,，
对于①，，，，，，
，，
则，
，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，，，，
，，
则，
，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，，
，，
，所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，，，，
，，
，所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
15．答案：(1)奇函数，证明见解析;
(2)证明见解析;
(3)最大值为，最小值为.
解析：(1)为奇函数.
证明：由已知，函数的定义域为.
则，都有，
且，
所以函数为奇函数.
(2)任取，且，则，
那么
，
因为，所以，，，
所以，
所以，
所以在上是增函数.
(3)因为为奇函数，且在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，即，
当时，取得最大值，即.
16．答案：(1);
(2)函数在R上单调递减，证明见详解;
(3)
解析：(1)设(，且)，则，所以(舍去)或，
所以，.
又为奇函数，且定义域为R，
所以，即，所以，经检验符合题意，
所以.
(2)函数在R上单调递减，证明如下：
设，则.
因为，所以，所以，
所以，即，
所以函数在R上单调递减.
(3)要使对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立.
因为为奇函数，所以恒成立.
又因为函数在R上单调递减，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立.
令，，二次函数对称轴为.
当时，成立；
当时，，所以，；
当，，无解；
综上，.
17．答案：(1)；
(2).
解析：(1)由，
设，则，
当时，取得最小值0；当时，取得最大值4，
所以函数的值域为.
(2)由，
令，则
又，能成立，
设，函数在上单调递减，在上单调递增.
又，，所以，
由不等式在上有解，得，
因此，k的取值范围是.
18．答案：(1);
(2).
解析：(1)的图像过点，则，即，
所以（负值舍去），，
由得，所以；
(2)在定义域内是减函数，
因此由得，解得.
19．答案：(1)不是开心集,是开心集,理由见解析;
(2)或;
(3)2023.
解析：(1)对于集合A,因为,,
故不是开心集;
对于集合B,
因为,,,,,,
故集合是开心集.
(2)当时,,
因为,由题意得,故,
①若,由于,
故,故,即,此时符合题意.
②若,由于,
故,故,即,此时符合题意.
综上,或
(3)由题意,,若S中存在元素m,使得S中所有元素均为m的整数倍,
则必有,故,
分别考虑和其他任意元素,
由题意可得也在中,而,
故,
特别地,,
下考虑对于,
因为,所以,
故,
特别地,,故,即,
由,且,故,即,
以此类推,.
又因为,
所以,
又因为,即,
所以,
即,故
当时,满足条件.
综上,的最小值为2023.