永州市第一中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份永州市第一中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线，则直线的l倾斜角为( )
A.0B.C.D.不存在
2．数列1,-3,5,-7,…的第9项是( )
A.-19B.19C.-17D.17
3．下列可使非零向量，，构成空间的一组基底的条件是( )
A.，，两两垂直
B.
C.
D.
4．已知是等比数列，若,，则的值为( )
A.9B.-9C.D.81
5．已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则( )
A.1B.2C.3D.4
6．已知直线,从点射出的光线经直线l反射后经过点,则光线从A到B的路程为( )
A.2B.3C.5D.6
7．等差数列,的前n项和分别为和，若，则( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列选项正确的是( )
A.过点且和直线平行的直线方程是
B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C.若直线与平行，则与的距离为
D.直线的倾斜角的取值范围是
10．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，是与的等比中项，则下列说法错误的是( )
A.
B.
C.当时，n的最大值为22
D.当取得最大值时，n的值为11
11．在棱长为的正方体中，点P在正方形内含边界运动，则下列结论正确的是( ).
A.若点P在上运动，则
B.若平面，则点P在上运动
C.存在点P，使得平面PBD截该正方体的截面是五边形
D.若，则四棱锥的体积最大值为1
三、填空题
12．已知公比不为1的等比数列,且,,成等差,则________.
13．已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为____.
14．“若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为____.
四、解答题
15．已知等差数列，记为其前n项和，且,.
(1)求该等差数列的通项公式；
(2)若等比数列满足,，求数列的前n项和.
16．已知三点，记的外接圆为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，求的面积.
17．如图所示，平面四边形中，为直角，为等边三角形，现把沿着折起，使得平面与平面垂直，且点M为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.
18．已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.
（1）求C的方程.
（2）A，B是C上两个动点，D为C的上顶点，是否存在以D为顶点，为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.
19．若A是集合的非空子集，且满足，则称A为n级好集，n级好集的个数记为.其中表示集合A中元素的个数.
(1)求；
(2)已知A是一个n级好集，是否存在一个级好集B，满足：A中的元素之和中的元素之和？
(3)是否存在末位数是999的？
参考答案
1．答案：B
解析：直线与x轴垂直,其倾斜角为,故选B.
2．答案：D
解析：观察数列1,-3,5,-7,…，可得其通项公式可以为，
所以.
故选：D.
3．答案：A
解析：由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，因为非零向量，，两两垂直，
所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；
对于B，，则，共线，
由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，
所以与，共面，故B错误；
对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误；
对于D，
即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误.
故选：A.
4．答案：A
解析：等比数列的公比为q，则，又，
所以.
故选：A
5．答案：C
解析：由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，
则有.
故选：C
6．答案：C
解析：设点关于直线l的对称点为,
则有解得,
因为光线从A到B的路程即的长,而.所以光线从A到B的路程为5.
故选：C．
7．答案：D
解析：等差数列,的前n项和分别为和，，
所以
.
故选：D
8．答案：B
解析：令线段的垂直平分线与的交点为M
显然M是的中点，而O是的中点，
则，而，
因此，
则，
令与的半焦距为c，
由，得，
于是，
解得，则，
，
所以的渐近线方程为.
故选：B
9．答案：ACD
解析：对于A，因为所求直线与直线平行，
则可设所求直线方程为（），
因为所求直线过点，所以，解得，
故所求直线方程为，故A正确，
对于B，当时，直线为，
直线为，此时两直线也互相垂直，
所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，
故B错误，
对于C，因为直线与平行，
所以，解得，此时直线为，即，
所以与的距离为，故C正确，
对于D，直线的斜率为，则，
当时，的取值范围是，
当时，的取值范围为，
故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：设等差数列的公差为d（），
又是与的等比中项，所以，
即，所以，
又，所以，又，
所以，
解得,，所以，
所以，故A正确；，故B错误；，令，解得，
所以当时，n的最大值为22，故C正确；
因为，所以当取得最大值时，n的值为11或12，故D错误.
故选：BD.
11．答案：ABD
解析：A：因为平面，而平面，
所以，而，
,,平面，所以平面，
因为点P在上运动，
所以平面，因此，所以本选项结论正确；
B：连接,，因为,平面，平面，
所以平面，同理平面，
而,,平面，因此平面平面，
当平面，所以有点P在上运动，因此本选项结论正确；
C：由正方体的截面的性质可知截面不可能是五边形，
所以本选项结论不正确；
D：正方体的面积为，当点P在上时，高最长，
此时有：，而，所以，
所以的体积最大值为，本选项结论正确，
故选：ABD
12．答案：
解析：由题知:,,成等差,,又是公比不为1的等比数列,,,.故答案为.
13．答案：
解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为r，则圆柱的侧面积为，
圆锥的表面积为，
由圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等可得，
化简得，解得，
故圆锥体积.
故答案为：
14．答案：
解析：因为椭圆，所以，，即，
如图，延长、交于点N，由题意可知，
又因为，则M为的中点，且，
所以，
又因为O为的中点，则，
故点M的轨迹E为以O为原点，为半径的圆，圆的方程为，
易知点到圆心O的距离为，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．答案：(1);
(2)答案见解析.
解析：(1)在等差数列中，,，设首项为，公差为d，
所以，解得，
所以，即
(2)由(1)得，，则，
则，
在等比数列中，,，设公比为q，
则，解得，
当时，，
当时，，
综上，当时，，
当时，.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)设的一般方程为，
由题意可知，
解得，
所以，
故的标准方程为.
(2)由(1)可知，，半径.
则圆心C到直线l的距离为，
所以，
故的面积为.
17．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：(1)证明：因为平面平面且交线为，
又为直角，
平面，又平面，
，
又为等边三角形，点M为的中点，
，又，
平面，又平面，
所以平面平面；
(2)设，则.
设为点B到平面的距离，直线与平面所成角为，
由，得.
由(1)平面，平面，得
即三角形为直角三角形，
又，
，
，
，
，
直线与平面所成角的正弦值，
直线与平面所成角的余弦值.
18．答案：（1）
（2）存在，3个
解析：（1）由题设椭圆C的方程为（，，），
因为椭圆过，两点，
所以，得到，，所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）知，易知直线，的斜率均存在且不为0，
不妨设，，直线为，直线为，
由椭圆的对称性知，当时，显然有，满足题意，
当时，由，消y得到，
所以，，即，
同理可得，
所以，
设中点坐标为，则，，
所以中垂线方程为，
要使为为底边的等腰直角三角形，则直中垂线方程过点，
所以，整理得到，
令，则，，
所以t有两根，，且，，即有两个正根，
故有2个不同的值，满足，
所以由椭圆的对称性知，当时，还存在2个符合题意的三角形，
综上所述，存在以D为顶点，为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.
19．答案：(1);
(2)存在;
(3)存在.
解析：(1)元素个数为1的好集有,,；元素个数为2的好集有；
元素个数为3及3以上的4级好集不存在，故.
(2)存在.
设,，则.
则，
设是一个元集合，且最小元素，
故存在一个级好集B，满足A中的元素之和中的元素之和.
(3)所有级好集可以分为以下3类：
()不含元素；
()含元素，且不是一元集；
().
易知()类中的好集即为全体级好集，()类中的好集的个数为.
对于()类中的好集A，记，
其中.
由知，可将A对应到集合，
其中,，
是n级好集.
反之，所有n级好集均可表示为形如的形式.
()类中的好集的个数为.
类中的好集只有1个，.
,，不妨记，则在时都成立.
设，则,.
对无穷数列各项模1000取余数，
则个有序数组,,,
分属1000000个类型:，
由抽屉原理存在两个这样的数对,，
使得,均能被1000整除.
据式得.
从而能被1000整除.
以此类推，能被1000整除……
最后得到数,均能被1000整除.
,
因此，能被1000整除，，则末尾是999.
故存在.