【西北卷】【山西卷】山西省三晋卓越联盟2024-2025学年高三上学期12月质量检测卷（25-X-213C）数学试卷+答案

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2024-2025 学年高三 12 月质量检测卷
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2 B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1.若(z -1)i = 4 - 3i ，则 z = ( )
A. -2 + 4i B. -2 - 4i C. 2 + 4i D. 2 - 4i
2.已知集合 ，则 A ∩ B = ( )
A. {1, 2} B. {-5, -3}
C. {-5, -3, 1} D. {-3, 1, 2}
的展开式中常数项为 ( )
A. -30 B.30 C. -15 D.15
4. (tan80。+ tan55。- tan80。tan55。)tan660。= ( )
A. s3 B. -、i3 C. D. -
5.已知F1 (-3, 0), F2 (3, 0)，动点 P 满足PF1 - PF2 = 4 ，动点Q 满足QF1 2 - QF2 2 = 4 ，则 PQ 的最 小值为( )
7 5 4
A. B.2 C. D.
3 3 3
6.设函数x < 2 在 上单调递增，则实数a 的取值范围( )
7.已知抛物线 C : x2 = 6y 的焦点为F, M , N 是 C 上不同的两点， O 为坐标原点， -M--→ . - = -9，则
MF + 3NFl 的最小值为 ( )
A. 6 + 6 ·3 B. 6 + 6 C.3 + 6 ·3 D.9
8.同底的两个正三棱锥P - ABC 与Q - ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，若PA = 1, QA = 2，则二面角 P - AB - Q 的余弦值为( )
C.
3 17
17
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知m, n 是两条不同的直线, α, β是两个不同的平面，m α, n β,则( )
A. m, n 不平行是α, β不平行的充分条件 B. m, n 不相交是α, β不相交的必要条件 C. m, n 垂直且相交是α, β垂直的充分条件 D. α, β平行或相交是m, n 异面的必要条件
10.已知函数f (x) 的定义域D = (-∞, 0) (0, +∞)，对任意的 x1 , x2 ∈ D ，恒有
f (x1x2 ) = xf (x1 ) + xf (x2 ) ，则下列结论正确的是( )
A. f (-1) = 0
B. f (x)是奇函数
C.若m > n > 0 ，则 n3f (m) > m3f (n)
D.若f (2) = 1 ，则 f (2n) = n . 23n-3 , n ∈ N*
11.某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检 测系统能检测出不合格零部件，但会把5% 的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合 格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工
进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为 ，则( )
A.该零部件的合格率为
B.从该代工厂加工的零部件中任取 100 个，则取到的合格品个数的均值为 96
C.从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有 1 个为合格品，则第 1 次取到合格品的概率为
25
26
D.从需要进行人工第二次检测的零部件中任取 10 件，取到5 件或 6 件合格品的概率最大
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
-
12.若向量a-, b 满足
= 2 ，且a- . (a- - b-) = 0 ，则 a- =
.
__________
-
a- + b
= 3,
-
a- - 2b
13.对于勾股定理的证明，我国历史上有多位数学家创造了利用面积出入相补证明勾股定理的不同的证法， 如后汉时期的赵爽、三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等.如图是华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，
其中 △OAB 为直角三角形，分别以OA, OB, AB 为边长作 3 个正方形，通过出入相补证明两个较小的正方 形面积之和等于大正方形面积，从而可以证明勾股定理.若OA = 3, OB = 4 ，以 AB 中点为圆心作圆，使得
三个正方形的所有顶点只有 2 个在圆外，则满足题意的一个圆的标准方程为 .
14.若对任意x1, x2 ∈ (0, +∞)，当 x1 > x2 时恒有x1lnx1 + ax2 (1+ 2lnx2 ) ≠ x1lnx2 + 2ax2 lnx1 ，则a 的取值范
围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
已知 △ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c, bcsC + ccsB = 2acs (B + C) .
（1）若 a = 6 ，求 △ABC 面积的最大值；
（2）若 2b = c ，求 tanB .
16.（本小题满分 15 分）
近年来，因使用手机过久、工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者 的年龄分布，调查了 200 名成年人的睡眠时间，得到如下列联表：
（1）完成列联表，根据小概率值α = 0.01 的独立性检验，分析能否认为“23：00 前入睡”与“是 90
90 后
非 90 后
合计
23 ：00 前入 睡
30
80
23 ：00 后入 睡
合计
100
200
后”有关联？
（2）随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到 消费者推崇，记2020 ~ 2024 年的年份代码x 依次为 1 ，2 ，3 ，4 ，5，下表为 2020 ~ 2023 年中国睡眠经 济市场规模及 2024 年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）预测，
根据上表数据求y 关于x 的回归方程.
参考公式：x2 = ，其中n = a + b + c + d . 回归方程x = + x ，
其中
参考数据：x0.01 = 6.635, = 3.8 .
17.（本小题满分 15 分）
如图，在体积为2 ·3 的三棱柱 ABC - A1B1C1 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， A1B = AB 、D 为
AC 的中点.
（1）求证：平面 ACC1A1 丄 平面 A1BD ；
（2）求直线 A1D 与平面 ABC1 所成角的正弦值. 18.（本小题满分 17 分）
已知椭圆 经过点 , C 的左、右焦点分别为 ，且 .
（1）求 C 的方程；
（2）若过点 的直线与 C 交于点M 、N ，且线段MN 的中点恰好为Q ，求直线 MN 的方程；
（3）若斜率为 k(k > 0) 且不经过点F1 的直线l 与 C 交于不同两点 A, B ，直线 AF1 , l, BF1 的斜率成等差数 列，求k 的取值范围.
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
3.8
4.2
4.5
5.0
5.3
19.（本小题满分 17 分）
若f (x) 的定义域为D ，数列 {an }, {bn }满足f (an ) = kf (bn )(k ≠ 0) ，则称 (an , bn ) 为f (x) 的“ k 倍点 列”.
（1）若 f (x ) = lnx2 , an = (2n - 5)2 , bn > 0, (an , bn ) 为f (x) 的“2 倍点列”，求{bn } 的前n 项和 Sn ；
（2）若 f (x ) = ex+τ + e-x-τ + 2sin2 , (an , bn ) 为f (x) 的“1 倍点列”且an ≠ bn ，求证：an + bn 为定
值；
若an = n - k, bn = - 2k ，判断是否存在k ，使得(an , bn ) 为f (x) = x +1 的“ lnk 倍点列”，并
证明你的结论.
2024~2025 学年高三 12 月质量检测卷 ·数学 参考答案、提示及评分细则
1.A 因为 i = 4 - 3i ，所以z = 1 + = 1- 4i - 3 = -2 - 4i ，则z = -2 + 4i .故选 A.
x-1 2 2
2x+1 …
l
2.D 因为 A = {x∣2x+1 … ( )x-1} = {〔x
),} = {x x +1… ),} = {x∣x… - 3}, B = {-5, -3, 1, 2}，所
以 A ∩ B = {-3, 1, 2} .故选 D.
的展开式中常数项为C × ()2 × (-1)4 = 30 .故选 B.
4.A 原式= (1- tan80 tan55)tan (80 + 55)- tan80 tan55 tan660 = -tan660 = tan60 = .故
选 A.
5.C P 点的轨迹是双曲线 1的右支，设Q(x, y)，由 QF1 i2 - QF2 2 = 4 可得
(x + 3)2 + y2 - (x - 3)2 - y2 = 4 ，整理得Q 点轨迹方程为x = ，所以| PQ |min = 2 - = .故选 C.
〔a… 0,
6.C 因为函数f (x)在(-∞, 2) 上单调递增，则需满足{ ,, 解得0 < a„ 1 .故选 C.
8
l 4 „ 2
2aτ + τ τ ,
( x2 ) ( x2 ) → → x2x2
7.A 设M |(x1 , , N |(x2 , ，则 OM . ON = x1x2 + = -9 ，所以
x1x2 = -18, MF + 3NF = + + 3((| + ), = + + 6… 2 + 6 = 6 + 6 ，当且仅当
即x1 = - x2 时等号成立.故选 A.
8.B 由题意可得PQ 为球 O 的直径，PA 丄 QA ，因为 PA = 1, QA = 2 ，所以 PQ = ·PA2 + QA2 = ·5 ，
作 AD 丄 PQ ，垂足为 D ，则 AD 为 △ABC 外接圆半径，且 AD = 所以在正 △ABC
中， AB = AD× ·、i3 = ，取 AB 中点E ，连接 PE, QE ，则LPEQ 就是二面角P - AB - Q 的平面
1
角.
2 2 3 10 2 2
,
PE = PA - AE = - = QE = QA - AE =
5 5
csLPEQ = = - .故选 B.
3
4 -
5
= ，所以
9.BD m, n 不平行， α, β有可能平行，故 A 错误；若α, β不相交，则m, n 不相交，故 B 正确；若m, n 垂直相交， α ,
β可能不垂直，故 C 错误；若m, n 异面，则α, β平行或相交，故 D 正确.故选 BD.
10.ABD f (x1x2 ) = xf (x1 ) + xf (x2 ) 中取x1 = x2 = 1得f (1) = 0 ，取 x1 = x2 = -1，得
= 0 ，故 A 正确；取x1 = -1, x2 = x 得f ，故 B 正确；由题意构造函数
x
f (x) = x3lg0.1
,取 m = 1. 1, n = 0. 1 ，满足m > n > 0 ，此时 f (m) < 0 < f (n)，所以
, 即n3f < m3f ，故 C 错误；取x1 = 2n , x2 = 2 ，得
= 23 f + 23n f = 23 f + 23n ，所以 = 1 ，又 所以
= n, f = n . 23n-3 ，故 正确.故选 ABD.
11.BCD 设零部件的合格率为x ，由题意可得 解得x = 0.96 = ，故 A 错误；从该
代工厂加工的零部件中任取 100 个，记取到的合格品个数为X ，则
X ~ B (100, 0.96), E (X ) = 100× 0.96 = 96 ，故 B 正确；从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一
个，至少有 1 个为合格品的概率为 所以所求概率为 ，故 C 正确；从需要进
行人工第二次检测的零部件中任取 10 件，记取到 Y 件合格品，则
k„ 4 时， > 1 ，当k = 5 时， = 1 ，当k… 6 时， 所以
P (Y = 5) 或P(Y = 6) 最大，故 D 正确.故选 BCD.
12. 由 - = 0 得 . = 2 ；由 + = 3 得2 + 2 . + 2 = 32 + 2 = 9 ；由 i - 2 = 2 得2 - 4 . + 42 = -32 + 42 = 4，所以 152 = 32, = .
2 = 32 （答案不唯一，形如 |((x - ), 2 + (y - 2)2 = r2 , „ r < 的方程都可
( 3 ) · 5 ·
以） AB 的中点C|(2 , 2, ，点 C 到三个正方形顶点的距离最大为 2 ，其次为 2 ，所以该圆的一个
标准方程为(|(x - ), 2 + (y - 2)2 = 32 .
14. [0, e) 由x1lnx1 + ax2 (1+ 2lnx2 ) ≠ x1lnx2 + 2ax2 lnx1 得x1ln - 2ax2 ln + ax2 ≠ 0 ，即
ln - 2aln + a ≠ 0 ，设 ，则t > 1 ，所以问题转化为f (t ) = tlnt - 2alnt + a 在(1, +∞) 上没 有零点. 当a = 0 时，f (t ) = tlnt 没有零点，满足题意；当a ≠ 0 时，由f (t ) ≠ 0 得 ≠ ,设
则 ，因为t > 1 ，所以 g 在 上单调递增，在(e, +∞) 上单调递减，因为 g (e) = ，所以 g (t ) ∈ (|(-∞, ，所以 > , 0 < a < e .
综上，a 的取值范围是[0, e) .
15.解：因为 A + B + C = τ ,所以bcsC + ccsB = 2acs (B + C) = -2acsA . 由正弦定理得sinBcsC + sinCcsB = -2sinAcsA ，
因为sinBcsC + sinCcsB = sin (B + C) = sinA ，且 A∈(0, τ )，
所以csA = -
（1）由 a = 6 及余弦定理得 6 = b2 + c2 - 2bccsA = b2 + c2 + bc… 3bc ， 所以bc„ 2 ，当且仅当 b= c 时取等号，
所以 △ABC 的面积bcsinA = bcsin 即 △ABC 面积的最大值为 .
（2）由 2b = c 及正弦定理得2sinB = sinC ，
因为 所以sinC = sin = sincsB - sinB ，
所以2sinB = csB - sinB ，即 sinB = csB ， 所以 tanB = .
16.解：（1）2 × 2 列联表如下：
零假设H0 ：“23：00 前入睡”与“是 90 后”无关联，
根据小概率值 α = 0.01的独立性检验，我们推断H0 不成立，即认为“ 23 : 00 前入睡”与“是 90 后”有
关联，此推断犯错误的概率不超过 0.01.
（2）由x 的取值依次为1, 2, 3, 4, 5 ，
所以 = 0.38 ，
所以 = y - x = 4.56 - 0.38× 3 = 3.42 ，
90 后
非 90 后
合计
23 : 00 前入睡
30
50
80
23 : 00 后入睡
70
50
120
合计
100
100
200
所以y 关于x 的回归方程为 = 0.38x + 3.42 .
17.（1）证明：因为 △ABC 是边长为 2 的正三角形，设点 A1 到平面 ABC 的距离为h ，
则三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积 × 22 × h = 2 ，所以h = 2 ，
因为 A1B = AB = 2 ，所以 A1B 就是点 A1 到平面 ABC 的距离，故 A1B 丄 平面 ABC .
因为 AC 平面 ABC ，所以 A1B 丄 AC ，
因为 AB = BC, D 为 AC 中点，所以BD 丄 AC ，
因为 A1B ∩ BD = B, A1B, BD 平面 A1BD ，所以 AC 丄 平面 A1BD ， 因为 AC 平面 ACC1A1 ，所以平面 ACC1A1 丄 平面 A1BD .
（2）解：以 B 为原点，直线BA 为x 轴，在平面 ABC 内过点B 与 AB 垂直的直线为y 轴，直线BA1 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B (0, 0, 0), A (2, 0, 0), A1 (0, 0, 2), C (1, , 0), D
所以B--A = (2, 0, 0), B--A = (0, 0, 2), - = (-1, , 0)，
以BC1 = BA1 + A1C1 = BA1 + AC = -1, 3, 2 .
所 --- ---→ ----→ ---→ ---→ ( )
设平面 ABC1 的法向量为 = (x, y, z ) ，
则有 得{〔l-2 0,y + 2z = 0,
取 得
设直线 A1D 与平面 ABC1 所成角为θ,
所以直线 A1D 与平面 ABC1 所成角的正弦值为 .
18.解：（1）设 c =
a2 - b2
,则 F1 (-c, 0), F2 (c, 0) ，
所以c = 1，即 a2 - b2 = 1，
a2 2b2 ，
因为点P 在 C 上，所以 1 + 1 = 1
所以 C 的方程为 + y2 = 1 .
（2）设 M (x1, y1 ), N (x2, y2 ) ，则 x ≠ x ，
两式相减得 ，即
因为线段MN 的中点为Q ，所以 x1 + x2 = 2, y1 + y2 = -1，
所以 即直线MN 的斜率为 1，
所以直线MN 的方程为 = x -1 ，即x - y -
（3）设 A(x3, y3 ), B (x4, y4 )，直线 l 的方程为y = kx + m ，
由Δ = 16k2 m2 - 4(2k2 +1)(2m2 - 2) > 0 ，
整理得2k2 +1 - m2 > 0 ，
所以x3 + x4 = -
因为直线 AF1 , l, BF1 的斜率成等差数列，所以 = 2k ， 即 = 2k ，整理得(m - k)(x3 + x4 + 2) = 0 ， 因为l 不经过点F1 ，所以 m - k ≠ 0, x3 + x4 + 2 = - + 2 = 0 ，
所以m = k + ，代入2k2 +1 - m2 > 0得k > ， 所以k 的取值范围是
19.（1）解：因为 f (x) = lnx2 , (an , bn ) 为f (x) 的“2 倍点列”， 所以f (an ) = 2f (bn ) ，即 4ln 2n - 5 = 4lnbn ，
所以 2n - 5
所以S1 = 3, S2 = 3 +1 = 4 ，
当n… 3 时，Sn = 4 + b3 + b4 +…+ bn
综上，Sn = + 8, n… 2.
（2）证明：因为 f (x ) = ex+π + e-x-π + 2sin2 = ex+π + e-x-π +1 - csx ，
所以f , (x) = ex+π - e-xπ + sinx .
设g (x) = f , (x) ，则 g, (x) = ex+π + e-x-π + csx… 2 -1 = 1 > 0 ， 所以f , (x) 单调递增，且f , (-π ) = 0 ，
所以f (x)在(-∞, -π )上单调递减，在(-π, +∞) 上单调递增，
因为(an , bn ) 为f (x) 的“1 倍点列”，则f (an ) = f (bn ) ， 不妨设an < bn , f (an ) = f (bn ) = t ，
f (-2τ - x) = e-x-τ + ex+τ +1- cs (-2τ - x) = ex+τ + e-x-τ +1- csx = f (x) ，
所以f (x) 的图象关于直线x = -τ 对称，当t > f (-τ )时， f (x) = t 有 2 个不同实根， 所以an + bn = -2τ .
解：因为an = n - k, bn = - 2k ，且 为f 的“ lnk 倍点列 ”， 可得n - k +1 = lnk ，即 lnk - k +1 = 0, k > 0 且k ≠ 1 ， 设 lnx - x +1 ，则g, = 2lnx + -1 = 2lnx -
g, (x) 在(0, +∞) 上单调递增，且g, (1) = 0 ，
所以x ∈(0, 1) 时，g, (x) < 0, x ∈(1, +∞) 时，g, (x) > 0 ， 所以g(x)在(0, 1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增，
因为g(1) = 0 ，所以 x > 0 且x ≠ 1时g(x) > 0 ， 所以不存在k ，使得(2k -1)lnk -k +1 = 0 ，
即不存在k ，使得(an , bn ) 为f (x) = x +1 的“ lnk 倍点列”.