数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用练习题

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1．（23-24高二下·山西忻州·月考）在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
得直线与平面所成角的正弦值为．故选：B
2．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设两平面的夹角为，
又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
所以．故选：D．
3．（23-24高二下·江苏南通·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【解析】根据题意，，
则，
设向量是直线的单位方向向量，，
，
则点C到直线AB的距离为.故选：A.
4．（23-24高二上·云南文山·月考）在正四棱锥中，为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，为的中点，，且，，
由于,故，则，，
，
又，
．
故异面直线所成角的余弦值为故选：D．
5．（23-24高二上·河南焦作·月考）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
设异面直线与所成的角为，
可得，
所以，异面直线与所成的角的余弦值为．故选：B.
6．（23-24高二下·江苏泰州·月考）如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以．
又因为，平面,
所以平面,平面，所以DC⊥PM．
由于,所以四边形为平行四边形，所以．
又，所以，所以．
因为，所以，
又，平面，所以平面，则面．
取中点，连接，由面，面，则面面，面面，
根据已知易知，所以为三棱柱，
设，多面体的体积为，
则
．
解得．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
则平面的一个法向量，且，
设平面的一个法向量，则即取．
所以，平面与平面夹角的余弦值为．故选：C
7．（23-24高二下·内蒙古赤峰·月考）人教版选择性必修第一册教材页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点.由，可得，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量为，
直线的方向向量为，
设直线与平面所成角为，
则，则，
即直线与平面所成角的余弦值为．故选：A．
8．（23-24高二上·广东湛江·月考）设三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，，，，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，且，，，
以SA，SB，SC为棱构造长方体，则，解得，
如图，以A为原点，AE为x轴，AG为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
可知球心O是SF的中点，则，
可得，，.
设平面ABC的法向量，则，
令，则，可得，
所以球心O到平面ABC的距离为.故选：A.
二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高二上·河北张家口·月考）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABC
【解析】由题意，
在正方体中，棱长为2，，分别是，的中点
作空间直角坐标系如下图所示，
,，
A项，，
面的一个法向量为，
∵，
∴平面，A正确；
B项，，B正确；
∵，平面的一个法向量为，
设线与平面所成角为，
，
∴C正确，D错误.故选：ABC.
10．（23-24高二上·江苏南京·月考）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）
A．存在点，使得直线与直线所成的角为
B．存在点，使得直线与直线所成的角为
C．存在点，使得三棱锥的体积为
D．存在点，使得平面
【答案】CD
【解析】在棱长为1的正方体中，建立以为坐标原点，
以所在直线分别为轴的空间直角坐标系，如图：
则，，
设，即点，且，
对于AB，，则，即，
因此不存在点，使得直线与直线所成的角为或，AB错误；
对于C，假设存在点，使得三棱锥的体积为，而，
且点到平面的距离为，则，解得，
当点为线段的靠近的三等分点，即时，三棱锥的体积为，C正确；
对于D，假设存在点，使得平面，
而，
则，解得，
当点为线段的中点，即时，使得平面，D正确.故选：CD
11．（23-24高二下·辽宁·月考）如图，棱长为的平行六面体中，，点分别是棱的中点，与平面交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．直线与直线所成角的余弦值等于
C．
D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】棱长为的平行六面体中，
以作为空间的一组基底，则，，
所以，
所以，即，
同理可得，平面，，
所以平面，故A正确；
因为
，
所以，
又，
设直线和直线所成的角为，
由，则，
即直线与直线所成角的余弦值等于，故B错误；
由，所以三棱锥为正四面体，
与平面交于点，则是点到平面的距离，
可得，又，所以故C正确；
将正四面体放置到正方体中，正四面体外接球即正方体的外接球，
易知正方体的边长为，则正方体的外接球直径为其体对角线的长.
令正四面体的外接球直径为，则，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确.故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 .
【答案】
【解析】由题意可得，
又是平面的法向量，
则点到平面的距离为，
13．（23-24高二上·广东惠州·月考）如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ．
【答案】
【解析】由题意易知，
；
如图所示，建立空间直角坐标系，则，设，
由题意可知，
不妨取，则，
易知是底面的一个法向量，
所以到底面的距离为.
14．（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为直线到平面的距离为，
所以必有面，即点到平面的距离为，
如图建立空间直角坐标系，设，又，
则，
设面的法向量为，
则，取得，
则，解得，即，
过作平面的平行平面，与正方体的截面为，
分别为线段和线段的中点，则
所以在直线上，
设，
又，则，
当时，，
当时，，
又，所以，
则的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高二下·江苏·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为1，且与的夹角都等于60°，M在棱上，，设，．
(1)试用表示出向量；
(2)求与所成的角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由知，点是的中点，
故；
（2）设与所成的角为，
依题意，，，
则由（1）可得，
故，
又，
故，即与所成的角的余弦值为.
16．（23-24高二下·广东·月考）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为的中点，且，，．
(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）连接，设点到平面的距离为，
因为，又因为平面，所以；
因为，底面是矩形，；
又面，故，所以，
又,，
所以，故，
则；
所以，即，即得.
（2）平面，面，故，又底面为矩形，
故以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴,建系如下：
则，
平面一个法向量为，设平面的法向量为，
，
可得，即，取，可得，所以.
设二面角的平面角为.
，故二面角的余弦值为.
17．（23-24高二下·广东河源·月考）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，．
(1)证明：是等边三角形；
(2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】（1）证明：由及AB，CD分别是上、下底面的直径可知，A，B，C，D四点共面．
作于点F，则，，故，
因为，所以，
故是等边三角形．
（2）以为原点，过点与平面ABCD垂直的直线为x轴，
分别以，所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
连接，
则，，，由题易知，故，
，，，
设平面BCE的法向量为，
则即，取，得，
记直线BD与平面BCE所成的角为θ，
则．
故直线BD与平面BCE所成角的正弦值为．
18．（23-24高二下·江苏南京·月考）如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．
(1)若，，求证：，，，四点共面；
(2)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为，，，
所以，所以，，，四点共面．
（2）因为，
所以点在底面的射影落在上，过点作，过点作，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，，
所以平面，又平面，
则，在中，，
又因为底面是边长为4的菱形，且，
所以，则，
设与的交点为，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，
以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
由，可求得，，
所以，，
设为平面的法向量，
由，即，取，则，，
所以，
因为，所以，
设，所以，
所以，
设直线与平面所成角的为，
所以，
因为，所以，，
所以．
19．（23-24高二上·天津河西·月考）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，，且.
(1)求证：平面PDC；
(2)求平面CPB与平面PBQ所成角的大小；
(3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，试确定点H的位置.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)H为线段PD的四等分点靠近P点
【解析】（1）四边形ABCD是正方形，
，平面PDC，平面PDC，
平面PDC，
四边形ADPQ是梯形，，平面PDC，平面PDC，
平面PDC，
平面ABQ，平面ABQ，，
平面平面DCP，
平面ABQ，平面PDC；
（2），即，，又，
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面PBC的法向量，
则，取，得，，得，
设平面PBQ的法向量，
则，取，，，得，
设二面角的大小为，由图形得为钝角，
则，
为钝角，，二面角的大小为，
平面CPB与平面PBQ所成角的大小为；
（3）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，
设，，则，，
，，
，解得，或舍去，
线段DH的长为，
又，即，
H为线段PD的四等分点靠近P点.