椭圆方程与性质讲义-2025届高三数学二轮专题复习

这是一份椭圆方程与性质讲义-2025届高三数学二轮专题复习，共11页。学案主要包含了　椭圆定义与应用等内容，欢迎下载使用。
1.椭圆定义：设F1，F2是平面上的两个定点，若平面内的点P满足PF1+PF2=______(2a>F1F2，则点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆.
2.椭圆的简单几何性质：
3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为_____.
典型例题分析
考向一 椭圆定义与应用
[例1]椭圆x29+y22=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则PF2= _，角Ｆ1PF2的大小为___________；△PF1F2的周长为 ；若延长PO交椭圆于Q，则PF1+F1Q=___________
[变式]已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，A1，2，P为椭圆C上的动点，则PA-PF1的最小值为__________
考向二 椭圆的标准方程
【例2】以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式】已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为 .
考向三 椭圆的离心率问题
【例3】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【变式1】若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为 .
【变式2】已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为 ．
考向四 椭圆的焦点三角形问题
【例4】设F1，F2为椭圆x29+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点，ΔPF1F2为直角三角形，且PF1>PF2，则PF1PF2的值为___________
【变式】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一点，O为原点，若OF1-OP⋅OF1+OP=0，且PF1=2PF2，则椭圆C的离心率为___________
考向五 椭圆有关的最值与范围问题
【例5】已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为 ．
【变式2】如图，点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围．
【变式1】已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.
椭圆方程与性质
思维导图
知识点总结
内容提要
1.椭圆定义：设F1，F2是平面上的两个定点，若平面内的点P满足PF1+PF2=2a(2a>F1F2，则点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆.
2.椭圆的简单几何性质：
3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为2b2a.
典型例题分析
考向一 椭圆定义与应用
【例1】答案：2；120∘；6+27；6
解析：椭圆中给出PF1，可由定义求PF2，由题意，a=3，b=2，c=a2-b2=7，
因为PF1+PF2=2a=6，且PF1=4，所以PF2=6-PF1=2；
要求∠F1PF2，可先求F1F2，在△PF1F2中由余弦定理推论求cs∠F1PF2，
如图，F1F2=2c=27，
所以cs∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1⋅PF2=16+4-282×4×2=-12，故∠F1PF2=120∘；
△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F2=2a+2c=6+27；
由椭圆的对称性，O是PQ中点，而O也是F1F2的中点，所以四边形PF1QF2为平行四边形，
从而QF1=PF2=2，故PF1+QF1=4+2=6.
【变式】答案：-2
解析：如图，A在椭圆外，不易直接分析PA-PF1的最小值，可考虑用椭圆定义将PF1换成PF2来看，由题意，PF1+PF2=4，所以PF1=4-PF2，故PA-PF1=PA-4-PF2=PA+PF2-4(1)，由三角形两边之和大于第三边知PA+PF2≥AF2，结合(1)得：PA-PF1=PA+PF2-4≥AF2-4(2)，当且仅当点P位于图中P0处时取等号，椭圆的半焦距c=a2-b2=4-3=1，所以F21，0，又A1，2，所以AF2=2，代入(2)知PA-PF1≥2-4=-2，故PA-PF1的最小值为-2.
考向二 椭圆的标准方程
【例2】【答案】B
【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B.
【变式】【答案】
【详解】解：圆，圆心为，半径为4，
因为线段的垂直平分线交于点，所以，
所以．
所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为．
考向三 椭圆的离心率问题
【例3】【答案】C【详解】设，易知，
则，，
又，
所以.故选：C
【变式1】【答案】【详解】由题可得，，
设为坐标原点，则,所以
,即，因为，所以，
若存在四个不同的点满足，又，
所以，即，所以，所以，所以，
【变式2】【答案】/
【详解】
如图，设的垂直平分线与交于点，
由题，，，，则，，，
，，化简得，，
由，解得，，即.
考向四 椭圆的焦点三角形问题
【例4】答案：2或72
解析：焦点三角形问题优先考虑结合椭圆的定义求解，先给出椭圆的a、b、c，由题意，a=3，b=2，c=a2-b2=5，设PF1=m，PF2=n，m>n，则m+n=2a=6(1)，△PF1F2是直角三角形，可用勾股定理稆译，但需讨论谁是直角顶点，有图1和图2两种情况，若为图1，则m2+n2=F1F22=4c2=20(2)，联立(1)(2)结合m>n可解得：m=4，n=2，所以PF1PF2=mn=2；若为图2，则n2+F1F22=m2，即n2+20=m2(3)，联立(1)(3)解得：m=143，n=43，故PF1=mPF2=72.
【变式】答案：53
解析：椭圆C的离心率e=ca=2c2a=F1F2PF1+PF2，故只需分析△PF1F2的三边比值，就可求得离心率，
题干的向量关系式可化简，先化简，OF1-OP⋅OF1+OP=0⇒OF12-OP2=0⇒OF1=OP，所以OP=12F1F2，故PF1⊥PF2，
接下来只需结合PF1=2PF2即可分析△PF1F2的三边比值，不妨设PF2=m，则PF1=2m，F1F2=PF12+PF22=5m，所以e=F1F2PF1+PF2=5mm+2m=53.
考向五 椭圆有关的最值与范围问题
【例5】【答案】【详解】∵的面积为，
∴，∴，由已知得，即，
所以，所以，又，
所以，由，解得，进而，
∴，
又，∴，∴.即的取值范围为.
【变式1】【答案】(1)(2)证明见解析，定点为.
【详解】（1）因为椭圆：的长轴为双曲线的实轴，
所以，所以椭圆：，
又因为椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
①当直线的斜率存在时，设其方程为
由得
所以，所以
，
因为，
所以，
所以
即，
化简得
所以即
所以，或，
当时，直线的方程为，
直线恒过定点，不满足题意；
当时，直线的方程为
直线恒过定点，满足题意；
所以直线恒过定点.
②当直线的斜率不存在时，设其方程为，
由得，所以，
所以，解得（舍去）或，
所以直线也过定点.综上，直线恒过定点.
【变式2】【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由题意得，的方程为，由，则，
，，由，即，即，，又在椭圆上，得，解得，所求椭圆方程；
（2）解：由椭圆方程得，则，，设，则
所以，且，
则
由于，所以，即的取值范围为.
标准方程
x2a2+y2b2=1a>b>0
焦点坐标
F1-c，0，F2c，0
焦距
F1F2=2c，且c2=a2-b2
图形
范围
-a≤x≤a，-b≤y≤b
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点坐标
左、右顶点：A1-a，0，A2a，0
上、下顶点：B10，b，B20，-b
长轴长
A1A2=2a，其中a叫做长半轴长
短轴长
离心率
标准方程
x2a2+y2b2=1a>b>0
y2a2+x2b2=1a>b>0
焦点坐标
F1-c，0，F2c，0
F10，c，F20，-c
焦距
F1F2=2c，且c2=a2-b2
图形
范围
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点坐标
左、右顶点：A1-a，0，A2a，0
上、下顶点：B10，b，B20，-b
左、右顶点：B1-b，0，B2b，0
上、下顶点：A10，a，A20，-a
长轴长
A1A2=2a，其中a叫做长半轴长
短轴长
B1B2=2b，其中b叫做短半轴长
离心率
e=ca0