2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练二十四微专题4导数与函数零点

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(1)当a＝－4时，求f(x)的单调区间与极值；
(2)当a≥1时，证明：f(x)只有一个零点．
解：(1)当a＝－4时，f(x)＝－2x2＋ln x＋3x，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝－4x＋ eq \f(1,x) ＋3＝ eq \f(－4x2＋3x＋1,x) ＝ eq \f(－（4x＋1）（x－1）,x) .
令f′(x)>0，得00时，φ(x)min＝φ(1)＝e.
又当x→0＋时，φ(x)→＋∞，当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，
所以当3m>e，即m> eq \f(e,3) 时，方程 eq \f(ex,x) ＝3m在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，即F(x)有两个极值点，所以实数m的取值范围为( eq \f(e,3) ，＋∞).
3．(2024·洛阳一模)已知函数f(x)＝ln x－ eq \f(1,2) ax2(a∈R).
(1)若f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)在区间[1，e]上的零点个数．
解：(1)由已知得f′(x)＝ eq \f(1,x) －ax＝ eq \f(1－ax2,x) (x>0).
①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，没有极值，不符合题意．
②当a>0时，令f′(x)>0，得00，得1≤x< eq \r(e) ；令g′(x)1，且f(x)存在三个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意知g(x)＝ eq \f(f（x）,x) ＋ex＝ eq \f(ax,x) (x≠0)，
则g′(x)＝ eq \f(ax（x ln a－1）,x2) (x≠0).
当00，令g′(x)＝0，解得x＝ eq \f(1,ln a) .
当x> eq \f(1,ln a) 时，g′(x)>0；
当x< eq \f(1,ln a) ，且x≠0时，g′(x)0时，p(x)＝ eq \f(1＋2ln x,x) ，于是p′(x)＝ eq \f(1－2ln x,x2) ，
所以当x∈(0， eq \r(e) )时，p′(x)>0，p(x)单调递增；
当x∈( eq \r(e) ，＋∞)时，p′(x)1，所以ln a>0，所以当0