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    2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练二十微专题1函数的图象与性质

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    2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练二十微专题1函数的图象与性质

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    这是一份2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练二十微专题1函数的图象与性质,共7页。
    1.已知函数f(x+1)的定义域为[1,7],则函数h(x)=f(2x)+ eq \r(9-x2) 的定义域为( C )
    A.[4,16]
    B.(-∞,1]∪[3,+∞)
    C.[1,3]
    D.[3,4]
    解析:函数f(x+1)的定义域为[1,7],则2≤x+1≤8,因此,在f(2x)中,2≤2x≤8,要使函数h(x)=f(2x)+ eq \r(9-x2) 有意义,必有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2≤2x≤8,,9-x2≥0,)) 解得1≤x≤3,所以函数h(x)的定义域为[1,3].故选C.
    2.已知函数f(x)满足f(ex-1)=2x-1,f(a)+f(b)=0,则下列等式正确的是( D )
    A.a+b=1 B.a+b= eq \f(1,e)
    C.ab=1 D.ab= eq \f(1,e)
    解析:设t=ex-1,则x=ln t+1,所以f(t)=2ln t+1,t>0.由f(a)+f(b)=0得2ln a+1+2ln b+1=0,
    即ln (ab)=-1,所以ab= eq \f(1,e) .故选D.
    3.(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)·ln eq \f(2x-1,2x+1) 为偶函数,则a=( B )
    A.-1 B.0
    C. eq \f(1,2) D.1
    解析:方法一:设g(x)=ln eq \f(2x-1,2x+1) ,易知g(x)的定义域为(-∞,- eq \f(1,2) )∪( eq \f(1,2) ,+∞),且g(-x)=ln eq \f(-2x-1,-2x+1) =ln eq \f(2x+1,2x-1) =-ln eq \f(2x-1,2x+1) =-g(x),所以g(x)为奇函数.
    若f(x)=(x+a)ln eq \f(2x-1,2x+1) 为偶函数,则y=x+a也应为奇函数,所以a=0,故选B.
    方法二:因为f(x)=(x+a)ln eq \f(2x-1,2x+1) 为偶函数,f(-1)=(a-1)ln 3,f(1)=(a+1)ln eq \f(1,3) =-(a+1)ln 3,
    所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3,解得a=0,故选B.
    4.若函数f(x)= eq \f(2,ax2+bx+c) 的部分图象如图所示,则f(5)=( A )
    A.- eq \f(1,3) B.- eq \f(2,3)
    C.- eq \f(1,6) D.- eq \f(1,12)
    解析:由题图可知y=f(x)的定义域为{x|x≠2,且x≠4},所以x=2和x=4是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,所以ax2+bx+c=a(x-2)(x-4),故f(x)= eq \f(2,a(x-2)(x-4)) ,又f(3)=1,所以 eq \f(2,a(3-2)×(3-4)) =1,解得a=-2,所以f(5)= eq \f(2,-2×(5-2)×(5-4)) =- eq \f(1,3) ,故选A.
    5.(2023·江西高三期中)已知函数f(x)= eq \f(|x|+x,2) +1,g(x)=f(x-2)+1,则不等式f(x)<g(x)的解集为( A )
    A.(-∞,1) B.(1,2)
    C.(1,+∞) D.(2,+∞)
    解析: 由题知f(x)= eq \f(|x|+x,2) +1= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1,x<0,,x+1,x≥0,))
    g(x)=f(x-2)+1= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2,x<2,,x,x≥2,))
    在同一平面直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的大致图象如图.
    由图可知f(x)<g(x)的解集为(-∞,1).故选A.
    6.(2024·潍坊二模)已知函数f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((\f(1,2))x,x≥0,,-|x2+2x|,x<0,)) 则f(x)图象上关于原点对称的点有( C )
    A.1对 B.2对
    C.3对 D.4对
    解析: 作出f(x)的图象,再作出函数y=( eq \f(1,2) )x,x≥0关于原点对称的图象如图所示.
    因为函数y=( eq \f(1,2) )x,x≥0关于原点对称的图象与y=-|x2+2x|,x<0的图象有三个交点,故f(x)图象上关于原点对称的点有3对.
    7.(2024·济南三模)已知函数f(x)的定义域为R,且yf(x)-xf(y)=xy(x-y),则下列结论一定成立的是( C )
    A.f(1)=1
    B.f(x)为偶函数
    C.f(x)有最小值
    D.f(x)在[0,1]上单调递增
    解析:由于函数f(x)的定义域为R,且yf(x)-xf(y)=xy(x-y),
    令y=1,则f(x)-xf(1)=x(x-1),
    得f(x)=x2+(f(1)-1)x,
    当x=1时,f(1)=12+(f(1)-1)恒成立,无法确定f(1)=1,A不一定成立;
    由于f(1)=1不一定成立,故f(x)=x2+(f(1)-1)x不一定为偶函数,B不一定成立;
    由于f(x)=x2+(f(1)-1)x的对称轴为x=- eq \f(1,2) (f(1)-1),与[0,1]的位置关系不确定,
    故f(x)在[0,1]上不一定单调递增,D不一定成立;由于f(x)=x2+(f(1)-1)x的图象为开口向上的抛物线,故函数f(x)必有最小值,C一定成立.
    8.(2024·茂名二模)若f(x)为R上的偶函数,且f(x)=f(4-x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,则函数g(x)=3|sin πx|-f(x)在区间[-1,5]上的所有零点的和是( A )
    A.20 B.18
    C.16 D.14
    解析:因为f(x)为R上的偶函数,则f(-x)=f(x),且f(x)=f(4-x),
    则f(-x)=f(4-x),f(x)的周期T=4,
    当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,
    则当x∈[-2,0]时,f(x)=( eq \f(1,2) )x-1,
    又函数y=3|sin πx|的周期是1,最大值为3,即可画出函数y=f(x)与y=3|sin πx|的部分图象,如图所示.
    由图知y=f(x)与y=3|sin πx|在区间[-1,5]上一共有10个交点,且这10个交点的横坐标关于直线x=2对称,所以g(x)在区间[-1,5]的所有零点的和是20.
    9.(多选)(2024·东营模拟)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点.若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数.下列函数中是一阶整点函数的有( AD )
    A.f(x)=sin 2x B.g(x)=x3
    C.h(x)=( eq \f(1,3) )x D.φ(x)=ln x
    解析:对于函数f(x)=sin 2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,故A正确;对于函数g(x)=x3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,故B错误;对于函数h(x)=( eq \f(1,3) )x,它的图象(图略)经过整点(0,1),(-1,3),…,所以它不是一阶整点函数,故C错误;对于函数φ(x)=ln x,它的图象只经过整点(1,0),所以它是一阶整点函数,故D正确.故选AD.
    10.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg eq \f(p,p0) ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
    已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( ACD )
    A.p1≥p2 B.p2>10p3
    C.p3=100p0 D.p1≤100p2
    解析:因为Lp=20×lg eq \f(p,p0) 随着p的增大而增大,且Lp1∈[60,90],Lp2∈[50,60],所以Lp1≥Lp2,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20×lg eq \f(p,p0) ,得p=p0 10 eq \s\up6(\f(Lp,20)) ,因为Lp3=40,所以p3=p0 10 eq \s\up6(\f(40,20)) =100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p0 10 eq \s\up6(\f(Lp2,20)) >10p010 eq \s\up6(\f(Lp3,20)) ,所以10eq \s\up8( eq \f(Lp2,20) - eq \f(Lp3,20) )>10,所以Lp2-Lp3>20,不可能成立,故B不正确;因为 eq \f(100p2,p1) = eq \f(100p010\s\up6(\f(Lp2,20)),p010\s\up6(\f(Lp1,20))) =10eq \s\up8( eq \f(Lp2,20) - eq \f(Lp1,20) )+2≥1,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
    11.(多选)已知f(x)为定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(-1)=f(3)=2,则下列结论中一定正确的是( AB )
    A.f(-2)>-2
    B.f(x)有3个零点
    C.f(2)<-2
    D.f(f(5))>f(f(- eq \f(1,2) ))
    解析:由题意得,f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(0)=0,由f(-1)=f(3)=2,得f(1)=f(-3)=-2.
    对于A,因为f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(-2)>f(-3)=-2,故A正确;
    对于B,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-2,f(3)=2,故在(0,+∞)上有且只有一个x0∈(1,3),使f(x0)=0,同理f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-1)=2,f(-3)=-2,故在(-∞,0)上有且只有一个x1∈(-3,-1),使f(x1)=0,又f(0)=0,所以f(x) 有3个零点,故B正确;
    对于C,因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(2)>f(1)=-2,故C错误;
    对于D,f(5)>f(3)=2,f(- eq \f(1,2) )>f(-1)=2,易知 f(5)与f(- eq \f(1,2) )无法比较大小,故D不一定正确.故选AB.
    12.若函数y= eq \r(ax2-x+2) 的定义域为[-2,1],则实数a的值为________.
    解析:y= eq \r(ax2-x+2) 的定义域满足ax2-x+2≥0,解集为[-2,1],故a<0且 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)=(-2)+1,,\f(2,a)=(-2)×1,)) 解得a=-1.
    答案:-1
    13.已知函数f(x)=5-x-3x3,若f(a-1)+f(2a)≥10,则实数a的取值范围为________.
    解析:令g(x)=x+3x3,因为g(-x)=-x-3x3=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,由函数y=x,y=3x3都是增函数,可得g(x)=x+3x3为增函数,f(x)=5-x-3x3=5-g(x),则不等式f(a-1)+f(2a)≥10,即为5-g(a-1)+5-g(2a)≥10,即-g(a-1)≥g(2a),即g(1-a)≥g(2a),所以1-a≥2a,解得a≤ eq \f(1,3) ,所以实数a的取值范围为(-∞, eq \f(1,3) ].
    答案:(-∞, eq \f(1,3) ]
    14.(2024·广州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,f(x+2)为偶函数,若f(x)=m在[0,12]上恰好有4个不同的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.
    解析:由f(x+2)为偶函数可知,函数f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)是奇函数,所以f(x)是周期函数,周期为8.
    作出函数f(x)在[0,12]上的大致图象趋势如图所示,作出直线y=m,由图可知,若f(x)的图象与直线y=m在[0,12]上有4个交点,则f(2)

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