2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练二微专题2平面向量与解三角形

这是一份2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练二微专题2平面向量与解三角形，共7页。
1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cs B－b cs A＝c，且C＝ eq \f(π,5) ，则B＝( C )
A． eq \f(π,10) B． eq \f(π,5)
C． eq \f(3π,10) D． eq \f(2π,5)
解析：因为a cs B－b cs A＝c，所以由正弦定理得sin A cs B－sin B cs A＝sin C＝sin (A＋B)，则2sin B cs A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cs A＝0，所以A＝ eq \f(π,2) .所以B＝π－A－C＝π－ eq \f(π,2) － eq \f(π,5) ＝ eq \f(3π,10) .故选C.
2．(2024·广东二模)在平行四边形ABCD中，点E满足 eq \(AE,\s\up10(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up10(→)) ，则 eq \(BE,\s\up10(→)) ＝( B )
A． eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up10(→)) － eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up10(→)) B．－ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up10(→))
C． eq \(AB,\s\up10(→)) － eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up10(→)) D．－ eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up10(→))
解析：因为四边形ABCD为平行四边形，则有 eq \(AE,\s\up10(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up10(→)) ＝ eq \f(1,4) ( eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(AD,\s\up10(→)) )，所以 eq \(BE,\s\up10(→)) ＝ eq \(AE,\s\up10(→)) － eq \(AB,\s\up10(→)) ＝ eq \f(1,4) ( eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(AD,\s\up10(→)) )－ eq \(AB,\s\up10(→)) ＝
－ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up10(→)) .
3．已知在非直角三角形ABC中，AB＝ eq \r(5) ，AC＝2，且sin 2A－2cs 2A＝2，则△ABC的面积为( C )
A．1 B． eq \r(5)
C．2 D．3
解析：由sin 2A－2cs 2A＝2，可得sin 2A＝2(1＋cs 2A)，得2sin A cs A＝2×2cs2A，因为△ABC不是直角三角形，所以csA≠0，可得sin A＝2cs A，则tan A＝2，所以A为锐角，sin A＝ eq \f(2\r(5),5) .又AB＝ eq \r(5) ，AC＝2，所以S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·AC·sin A＝ eq \f(1,2) × eq \r(5) ×2× eq \f(2\r(5),5) ＝2.故选C.
4．在△ABC中，AB＝2，BC＝ eq \r(10) ，cs A＝ eq \f(1,4) ，则AB边上的高为( D )
A．3 B． eq \f(3,4)
C． eq \f(3\r(15),2) D． eq \f(3\r(15),4)
解析：设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AB边上的高为h.因为c＝2，a＝ eq \r(10) ，cs A＝ eq \f(1,4) ，所以10＝4＋b2－2×2b× eq \f(1,4) ，所以b2－b－6＝0，解得b＝3(负值舍去).又由cs A＝ eq \f(1,4) ，得sin A＝ eq \f(\r(15),4) ，所以S△ABC＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) ch，即 eq \f(1,2) ×3×2× eq \f(\r(15),4) ＝ eq \f(1,2) ×2h，所以h＝ eq \f(3\r(15),4) .故选D.
5．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) ＝2，且(b－2a)⊥b，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝( B )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(\r(3),2) D．1
解析：由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0.所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝ eq \f(1,2) ，所以|b|＝ eq \f(\r(2),2) ，故选B.
6．如图所示，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内(包括边界)的一个动点， eq \(AP,\s\up10(→)) ＝λ eq \(AF,\s\up10(→)) ＋μ eq \(AB,\s\up10(→)) ，则λ＋μ的取值范围是( B )
A．[ eq \f(3,2) ，4] B．[3，4]
C．[ eq \f(3,2) ， eq \f(5,2) ] D．[ eq \f(3,4) ，2]
解析：方法一：在正六边形ABCDEF中，连接FB，取FB的中点O，以O为坐标原点，直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，令AB＝2，则A(0，－1)，B( eq \r(3) ，0)，F(－ eq \r(3) ，0)，C( eq \r(3) ，2)，E(－ eq \r(3) ，2)，D(0，3)，因此 eq \(AF,\s\up10(→)) ＝(－ eq \r(3) ，1)， eq \(AB,\s\up10(→)) ＝( eq \r(3) ，1)，则 eq \(AP,\s\up10(→)) ＝(－ eq \r(3) λ＋ eq \r(3) μ，λ＋μ)，于是得P(－ eq \r(3) λ＋ eq \r(3) μ，λ＋μ－1)，又点P是△CDE内(包括边界)的一个动点，则有2≤λ＋μ－1≤3，即3≤λ＋μ≤4，所以λ＋μ的取值范围是[3，4].故选B.
方法二：如图，连接BF，AD，AD分别交BF，CE于点M，N，设λ＋μ＝k，由 eq \(AP,\s\up10(→)) ＝λ eq \(AF,\s\up10(→)) ＋μ eq \(AB,\s\up10(→)) 得直线BF为k＝1对应的等和线，当点P在△CDE内(包括边界)时，直线CE是距离BF最近的等和线，过点D的等和线是距离BF最远的等和线，所以λ＋μ∈[ eq \f(AN,AM) ， eq \f(AD,AM) ].不妨设正六边形的边长为2，则AN＝3，AM＝1，AD＝4，故λ＋μ∈[3，4].故选B.
7．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知sin (2A＋ eq \f(π,6) )＝ eq \f(1,2) ，b＝1，△ABC的面积为 eq \f(\r(3),2) ，则 eq \f(b＋c,sin B＋sin C) ＝( B )
A． eq \f(1,2) B．2
C． eq \f(\r(3),2) D． eq \r(3)
解析：在△ABC中，因为sin (2A＋ eq \f(π,6) )＝ eq \f(1,2) ，A∈(0，π)，所以2A＋ eq \f(π,6) ∈( eq \f(π,6) ， eq \f(13π,6) )，则2A＋ eq \f(π,6) ＝ eq \f(5π,6) ，可得A＝ eq \f(π,3) .又b＝1，△ABC的面积为 eq \f(\r(3),2) ，所以 eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(\r(3),4) c＝ eq \f(\r(3),2) ，解得c＝2，由余弦定理得a2＝1＋4－2＝3，所以a＝ eq \r(3) ，由正弦定理得 eq \f(b＋c,sin B＋sin C) ＝ eq \f(a,sin A) ＝2.故选B.
8．已知在△ABC中，AH为BC边上的高，且 eq \(BH,\s\up10(→)) ＝3 eq \(HC,\s\up10(→)) ，动点P满足 eq \(AP,\s\up10(→)) · eq \(BC,\s\up10(→)) ＝－ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up10(→)) 2，则点P的轨迹一定过△ABC的( A )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
解析：设BC＝4a，AH＝b，以H为坐标原点， eq \(HC,\s\up10(→)) ， eq \(HA,\s\up10(→)) 的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
因为 eq \(BH,\s\up10(→)) ＝3 eq \(HC,\s\up10(→)) ，所以BH＝3a，HC＝a，
则H(0，0)，B(－3a，0)，C(a，0)，A(0，b)，则 eq \(BC,\s\up10(→)) ＝(4a，0).
设P(x，y)，则 eq \(AP,\s\up10(→)) ＝(x，y－b)，
因为 eq \(AP,\s\up10(→)) · eq \(BC,\s\up10(→)) ＝－ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up10(→)) 2，所以4ax＝－ eq \f(1,4) ×(4a)2，解得x＝－a，即点P的轨迹方程为x＝－a，而直线x＝－a垂直且平分线段BC，即点P的轨迹为线段BC的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过△ABC的外心，故选A.
9．(多选)已知平面向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则( AD )
A．|a|＝ eq \r(10)
B．(2a－b)⊥b
C．a与b的夹角为钝角
D．向量a在向量b上的投影向量的模为 eq \f(\r(5),5)
解析：因为a＝(1，3)，所以|a|＝ eq \r(12＋32) ＝ eq \r(10) ，所以A正确；因为b＝(－2，1)，所以(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×[1×(－2)＋3×1]－[(－2)2＋12]＝－3≠0，所以B不正确；因为a·b＝1×(－2)＋3×1＝1>0，且a与b不平行，所以a与b的夹角为锐角，所以C不正确；向量a在向量b上的投影向量的模为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a·b,|b|))) ＝ eq \f(1,\r(5)) ＝ eq \f(\r(5),5) ，所以D正确．故选AD.
10．(多选)已知△ABC是边长为2的正三角形，该三角形的重心为点G，点P为△ABC所在平面内任意一点，则下列等式成立的是( BC )
A．| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(AC,\s\up10(→)) |＝2
B． eq \(AB,\s\up10(→)) · eq \(AC,\s\up10(→)) ＝2
C． eq \(PA,\s\up10(→)) ＋ eq \(PB,\s\up10(→)) ＋ eq \(PC,\s\up10(→)) ＝3 eq \(PG,\s\up10(→))
D．| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(BC,\s\up10(→)) |＝| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(CB,\s\up10(→)) |
解析：因为| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(AC,\s\up10(→)) |＝ eq \r(（\(AB,\s\up10(→))＋\(AC,\s\up10(→))）2) ＝ eq \r(4＋4＋2×2×2×\f(1,2)) ＝2 eq \r(3) ，所以A中等式不成立；因为 eq \(AB,\s\up10(→)) · eq \(AC,\s\up10(→)) ＝| eq \(AB,\s\up10(→)) |·| eq \(AC,\s\up10(→)) |·cs eq \f(π,3) ＝2×2× eq \f(1,2) ＝2，所以B中等式成立；因为G为△ABC的重心，所以 eq \(GA,\s\up10(→)) ＋ eq \(GB,\s\up10(→)) ＋ eq \(GC,\s\up10(→)) ＝0，所以 eq \(PA,\s\up10(→)) ＋ eq \(PB,\s\up10(→)) ＋ eq \(PC,\s\up10(→)) ＝ eq \(GA,\s\up10(→)) － eq \(GP,\s\up10(→)) ＋ eq \(GB,\s\up10(→)) － eq \(GP,\s\up10(→)) ＋ eq \(GC,\s\up10(→)) － eq \(GP,\s\up10(→)) ＝－3 eq \(GP,\s\up10(→)) ＝3 eq \(PG,\s\up10(→)) ，所以C中等式成立；因为| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(BC,\s\up10(→)) |＝| eq \(AC,\s\up10(→)) |＝2，| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(CB,\s\up10(→)) |＝ eq \r(（\(AB,\s\up10(→))＋\(CB,\s\up10(→))）2) ＝ eq \r(4＋4＋2×2×2×\f(1,2)) ＝2 eq \r(3) ，所以D中等式不成立．故选BC.
11．(多选)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知 eq \f(cs B,cs C) ＝ eq \f(b,2a－c) ，S△ABC＝ eq \f(3\r(3),4) ，且b＝3，则( ABD )
A．cs B＝ eq \f(1,2) B．sin B＝ eq \f(\r(3),2)
C．a－c＝ eq \r(3) D．a＋c＝3 eq \r(2)
解析：因为 eq \f(cs B,cs C) ＝ eq \f(b,2a－c) ＝ eq \f(sin B,2sin A－sin C) ，所以sin B cs C＝2sin A cs B－sin C cs B，所以2sin A cs B＝sin B cs C＋sin C cs B＝sin (B＋C)＝sin A，因为A为△ABC的内角，所以sin A≠0，所以cs B＝ eq \f(1,2) ，所以sin B＝ eq \f(\r(3),2) ，故A，B正确；因为B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,3) ，因为S△ABC＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \f(1,2) ac× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),4) ac＝ eq \f(3\r(3),4) ，所以ac＝3，由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－9，9＝a2＋c2－ac＝(a－c)2＋ac＝(a－c)2＋3，所以a＋c＝3 eq \r(2) (负值舍去)，a－c＝± eq \r(6) ，故C错误，D正确．
12．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，BC＝2 eq \r(7) ，D为BC边上一点，且AB⊥AD，则△ABD的面积为________．
解析：由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs ∠BAC，即28＝4＋AC2＋2AC，解得AC＝4或AC＝－6(舍去)，于是cs B＝ eq \f(4＋28－16,2×2×2\r(7)) ＝ eq \f(2\r(7),7) ，又AB⊥AD，所以BD＝ eq \f(AB,cs B) ＝ eq \r(7) ，由勾股定理可得AD＝ eq \r(BD2－AB2) ＝ eq \r(3) ，于是S△ABD＝ eq \f(1,2) AB·AD＝ eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) ＝ eq \r(3) .
答案： eq \r(3)
13．(2024·广东模拟)如图所示，A，B，C，D是正弦函数y＝sin x图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则( eq \(OA,\s\up10(→)) ＋ eq \(OB,\s\up10(→)) )·( eq \(OC,\s\up10(→)) ＋ eq \(OD,\s\up10(→)) )＝__________．
解析：由题图知，A( eq \f(π,2) ，1)，B( eq \f(3π,2) ，－1)，C( eq \f(5π,2) ，1)，D( eq \f(7π,2) ，－1)，所以 eq \(OA,\s\up10(→)) ＝( eq \f(π,2) ，1)， eq \(OB,\s\up10(→)) ＝( eq \f(3π,2) ，－1)， eq \(OC,\s\up10(→)) ＝( eq \f(5π,2) ，1)， eq \(OD,\s\up10(→)) ＝( eq \f(7π,2) ，－1)，所以 eq \(OA,\s\up10(→)) ＋ eq \(OB,\s\up10(→)) ＝(2π，0)， eq \(OC,\s\up10(→)) ＋ eq \(OD,\s\up10(→)) ＝(6π，0)，所以( eq \(OA,\s\up10(→)) ＋ eq \(OB,\s\up10(→)) )·( eq \(OC,\s\up10(→)) ＋ eq \(OD,\s\up10(→)) )＝2π×6π＋0×0＝12π2.
答案：12π2
14．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古．如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75 m，则滕王阁的高度OP＝__________m.
解析：设OP＝ eq \r(3) h，由题意知∠PAO＝30°，∠PBO＝60°，∠PCO＝45°，所以OA＝ eq \f(OP,tan 30°) ＝ eq \f(\r(3)h,\f(\r(3),3)) ＝3h，OB＝ eq \f(OP,tan 60°) ＝ eq \f(\r(3)h,\r(3)) ＝h，OC＝ eq \f(OP,tan 45°) ＝ eq \r(3) h.在△OBC中，由余弦定理得3h2＝h2＋752－2×75h·cs ∠OBC.①在△OAB中，由余弦定理得9h2＝h2＋752－2×75h cs ∠OBA.②因为cs ∠OBC＋cs ∠OBA＝0，所以由①＋②得12h2＝2h2＋2×752，解得h＝15 eq \r(5) (负值舍去)，所以OP＝ eq \r(3) h＝15 eq \r(15) m.
答案：15 eq \r(15)
[小题提升练]
15．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，其外接圆半径为R，内切圆半径为r＝3，且满足a cs A＋b cs B＋c cs C＝ eq \f(R,3) ，S△ABC＝6，则( ABD )
A．a＋b＋c＝4
B．R＝6
C．sin A＋sin B＋sin C＝ eq \f(1,6)
D．sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝ eq \f(1,3)
解析：因为S△ABC＝ eq \f(1,2) (a＋b＋c)·r＝ eq \f(3,2) (a＋b＋c)＝6，所以a＋b＋c＝4，A正确；因为a cs A＋b cs B＋c cs C＝ eq \f(R,3) ，所以2R sin A cs A＋2R sin B cs B＋2R sin C cs C＝ eq \f(R,3) ，即sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝ eq \f(1,3) ，D正确；若△ABC为锐角三角形，S△ABC＝ eq \f(1,2) R2sin 2A＋ eq \f(1,2) R2sin 2B＋ eq \f(1,2) R2sin 2C＝ eq \f(1,2) R2· eq \f(1,3) ＝6，解得R＝6(负值舍去)，若△ABC为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，B正确；因为 eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C) ＝2R＝12，所以sin A＋sin B＋sin C＝ eq \f(1,3) ，C错误．故选ABD.
16．(2024·天津一模)已知平行四边形ABCD的面积为6 eq \r(3) ，∠BAD＝ eq \f(2π,3) ，且 eq \(BE,\s\up10(→)) ＝2 eq \(EC,\s\up10(→)) .若F为线段DE上的动点，且 eq \(AF,\s\up10(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \f(5,6) eq \(AD,\s\up10(→)) ，则实数λ的值为________；| eq \(AF,\s\up10(→)) |的最小值为________．
解析：作AG⊥BC交BC于点G，以G为原点建立如图所示的平面直角坐标系，连接AE.
因为 eq \(BE,\s\up10(→)) ＝2 eq \(EC,\s\up10(→)) ， eq \(AF,\s\up10(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \f(5,6) eq \(AD,\s\up10(→)) ，
所以 eq \(AF,\s\up10(→)) ＝λ( eq \(AE,\s\up10(→)) ＋ eq \(EB,\s\up10(→)) )＋ eq \f(5,6) eq \(AD,\s\up10(→)) ＝λ eq \(AE,\s\up10(→)) ＋( eq \f(5,6) － eq \f(2,3) λ) eq \(AD,\s\up10(→)) ，由D，F，E共线，得λ＋ eq \f(5,6) － eq \f(2,3) λ＝1，解得λ＝ eq \f(1,2) .
设B(－a，0)且a＞0，则A(0， eq \r(3) a)，而平行四边形ABCD的面积为6 eq \r(3) ，则BC＝ eq \f(6,a) ，故C( eq \f(6,a) －a，0)，D( eq \f(6,a) ， eq \r(3) a)，E( eq \f(4,a) －a，0)，则 eq \(AB,\s\up10(→)) ＝(－a，－ eq \r(3) a)， eq \(AD,\s\up10(→)) ＝( eq \f(6,a) ，0)，所以 eq \(AF,\s\up10(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \f(5,6) eq \(AD,\s\up10(→)) ＝( eq \f(5,a) － eq \f(a,2) ，－ eq \f(\r(3),2) a)，
则| eq \(AF,\s\up10(→)) |2＝( eq \f(5,a) － eq \f(a,2) )2＋ eq \f(3,4) a2＝ eq \f(25,a2) ＋a2－5≥2 eq \r(\f(25,a2)·a2) －5＝5，当且仅当 eq \f(25,a2) ＝a2，即a＝ eq \r(5) 时取等号，所以| eq \(AF,\s\up10(→)) |的最小值为 eq \r(5) .
答案： eq \f(1,2) eq \r(5)