2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十七微专题2圆锥曲线的定义方程与性质

这是一份2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十七微专题2圆锥曲线的定义方程与性质，共9页。
1．若方程 eq \f(x2,2＋m) － eq \f(y2,1－m) ＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( A )
A．－20)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点O的直线与双曲线C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|， eq \(F2A,\s\up10(→)) · eq \(F2B,\s\up10(→)) ＝2a2，则C的离心率为( B )
A． eq \r(7) B． eq \r(6)
C． eq \r(5) D．2
解析：由题及双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，故四边形AF1BF2为平行四边形，
令|F1A|＝|F2B|＝m，
则|F1B|＝|F2A|＝2m，
由双曲线定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，
故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即|F1A|＝|F2B|＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，
则 eq \(F2A,\s\up10(→)) · eq \(F2B,\s\up10(→)) ＝－ eq \(AF2,\s\up10(→)) · eq \(AF1,\s\up10(→)) ＝－4a·2a·cs ∠F1AF2＝
－8a2· eq \f(4a2＋16a2－4c2,2×2a×4a) ＝2c2－10a2＝2a2，
即c＝ eq \r(6) a，所以C的离心率为 eq \f(c,a) ＝ eq \r(6) .
7．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、灵敏度最高的单口径射电望远镜(图1).观测时它的轴截面可以看作抛物线的一部分．某学校的科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4 m，高为1 m的抛物面，则其轴截面所在的抛物线(图2)的顶点到焦点的距离为( A )
A．1 m B．2 m
C．4 m D．8 m
解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则抛物线的顶点坐标为O(0，0)，由题意可知，点(2，1)在抛物线上，所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝4y，所以焦点坐标为(0，1)，所以顶点到焦点的距离为1，故选A.
8．已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率为 eq \r(5) ，左、右焦点分别为F1，F2，F2关于C的一条渐近线对称的点为P.若|PF1|＝2，则△PF1F2的面积为( D )
A．2 B． eq \r(5)
C．3 D．4
解析：由双曲线C的离心率为 eq \r(5) 得，半焦距c＝ eq \r(5) a，所以b＝ eq \r(c2－a2) ＝2a.
方法一：易知点F2到任意一条渐近线的距离均为b，故|F2P|＝2b，所以cs ∠F1F2P＝ eq \f(b,c) ，sin ∠F1F2P＝ eq \r(1－cs2∠F1F2P) ＝ eq \f(a,c) .在△PF1F2中，由余弦定理得4＝4c2＋4b2－2×2b×2c× eq \f(b,c) ，即c2＝b2＋1，所以5a2＝4a2＋1，解得a＝1(负值已舍去).所以△PF1F2的面积为 eq \f(1,2) ×2c×2b sin∠F1F2P＝2ab＝4a2＝4.故选D.
方法二：易知F1(－c，0)，F2(c，0)，如图，不妨取渐近线y＝ eq \f(b,a) x＝2x，设P(m，n)，则F2P的中点为( eq \f(m＋c,2) ， eq \f(n,2) )，由该点在渐近线y＝2x上可得 eq \f(n,2) ＝2× eq \f(m＋c,2) ，且由直线PF2垂直于渐近线y＝2x得， eq \f(n,m－c) ＝－ eq \f(1,2) ，两式联立，解得m＝－ eq \f(3,5) c，n＝ eq \f(4,5) c.由|PF1|＝2得，(m＋c)2＋n2＝4，即 eq \f(4,25) c2＋ eq \f(16,25) c2＝4，解得c＝ eq \r(5) ，所以△PF1F2的面积为 eq \f(1,2) ×2c×n＝ eq \f(4,5) c2＝4.故选D.
9．(多选)已知椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆x2＋y2－5x－4y＋4＝0上，则该椭圆离心率的可能取值为( BCD )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,4)
C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(\r(5),5)
解析：把圆的一般方程化为标准方程可得(x－ eq \f(5,2) )2＋(y－2)2＝ eq \f(25,4) ，圆与x轴的交点为(1，0)，(4，0)，与y轴的交点为(0，2).椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的焦点在x轴上，当焦点是(1，0)，右顶点是(4，0)时，a＝4，c＝1，离心率e＝ eq \f(1,4) ；当焦点是(1，0)，上顶点是(0，2)时，b＝2，c＝1，则a＝ eq \r(5) ，离心率e＝ eq \f(\r(5),5) ；当焦点是(4，0)，上顶点是(0，2)时，b＝2，c＝4，则a＝2 eq \r(5) ，离心率e＝ eq \f(2\r(5),5) .故选BCD.
10．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则( ABD )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ eq \r(15)
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
解析：对于A，易知l：x＝－1，故l与⊙A相切，故A正确；
对于B，A(0，4)，⊙A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PA|＝4，|PQ|＝ eq \r(|PA|2－r2) ＝ eq \r(42－12) ＝ eq \r(15) ，故B正确；
对于C，当|PB|＝2时，P(1，2)，B(－1，2)或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知PA与AB不垂直，故C错误；
对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF(图略)，易知F(1，0)，由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，所以点P在线段AF的中垂线上，易求得线段AF中垂线的方程为y＝ eq \f(1,4) x＋ eq \f(15,8) ，即x＝4y－ eq \f(15,2) ，代入y2＝4x可得y2－16y＋30＝0，解得y＝
8± eq \r(34) ，易知满足条件的点P有且仅有2个，故D正确．
11．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分．已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2；到点F(2，0)的距离与到定直线x＝a(a0)是曲线C在第一象限的点，则有 eq \r(（x－2）2＋y2) (x＋2)＝4，所以y2＝ eq \f(16,（x＋2）2) －(x－2)2，
令f(x)＝ eq \f(16,（x＋2）2) －(x－2)2，
则f′(x)＝－ eq \f(32,（x＋2）3) －2(x－2)，
因为f(2)＝1，且f′(2)1，所以P(x，y)的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误；
因为点(x0，y0)在C上，所以x0>－2且 eq \r(（x0－2）2＋y eq \\al(2,0) ) ·(x0＋2)＝4，得y eq \\al(2,0) ＝ eq \f(16,（x0＋2）2) －(x0－2)2≤ eq \f(16,（x0＋2）2) ，所以y0≤|y0|≤ eq \r(\f(16,（x0＋2）2)) ＝ eq \f(4,x0＋2) ，所以D正确．
12．若定义曲线 eq \f(a2,x2) ＋ eq \f(b2,y2) ＝1(a>b>0)为椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1的“倒椭圆”．已知焦点在x轴上的椭圆C1： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为 eq \f(\r(3),2) ，则它的“倒椭圆”C2的方程为_______________．
解析：在椭圆C1中，b＝2，e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(1－\f(b2,a2)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，所以a＝4，故椭圆C1的方程为 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,4) ＝1，故它的“倒椭圆”C2的方程为 eq \f(16,x2) ＋ eq \f(4,y2) ＝1.
答案： eq \f(16,x2) ＋ eq \f(4,y2) ＝1
13．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交C于A，B两点．若D为线段AB的中点，且|OD|＝ eq \r(13) ，则||AF|－|BF||＝________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1，0)，显然当直线AB垂直于x轴时，点D与点F重合，此时|OD|＝1不满足条件，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C的方程得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝ eq \f(2（k2＋2）,k2) ，x1x2＝1，D( eq \f(k2＋2,k2) ， eq \f(2,k) )，
所以|OD|2＝13＝(1＋ eq \f(2,k2) )2＋ eq \f(4,k2) ，
解得k2＝1，x1＋x2＝6.
由抛物线的几何性质可知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
所以||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝ eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ＝4 eq \r(2) .
答案：4 eq \r(2)
14．已知点M(－5，0)，点P在曲线 eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1(x>0)上运动，点Q在曲线(x－5)2＋y2＝1上运动，则 eq \f(|PM|2,|PQ|) 的最小值是________.
解析：如图，在双曲线 eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1中，a＝3，b＝4，c＝ eq \r(a2＋b2) ＝5，圆(x－5)2＋y2＝1的圆心为C(5，0)，半径r＝1，所以双曲线 eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1的左、右焦点分别为M，C.由双曲线的定义可得|PM|＝|PC|＋2a＝|PC|＋6，|PQ|≤|PC|＋1，所以 eq \f(|PM|2,|PQ|) ≥ eq \f(（|PC|＋6）2,|PC|＋1) ＝(|PC|＋1)＋ eq \f(25,|PC|＋1) ＋10≥2 eq \r(（|PC|＋1）·\f(25,|PC|＋1)) ＋10＝20，当且仅当|PC|＝4时，等号成立，故 eq \f(|PM|2,|PQ|) 的最小值是20.
答案：20
[小题提升练]
15．(2024·衡水三模)已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M(1，1)，直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB的中点，则△AF1B的周长为________．
解析：由题意知F1(－3，0)，F2(3，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(2,1) ,a2)＋\f(y eq \\al(2,1) ,b2)＝1，,\f(x eq \\al(2,2) ,a2)＋\f(y eq \\al(2,2) ,b2)＝1，))
两式相减得 eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2) ＋ eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2) ＝0，
由题意M为AB中点，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入整理得 eq \f(y1－y2,x1－x2) ＝－ eq \f(b2,a2) .
又kAB＝kMF2＝ eq \f(1,1－3) ＝－ eq \f(1,2) ，
因此－ eq \f(b2,a2) ＝－ eq \f(1,2) ，所以a2＝2b2，c2＝b2，又2c＝6，解得a＝3 eq \r(2) (负值已舍去).
由椭圆定义知△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝12 eq \r(2) .
答案：12 eq \r(2)
16．(2024·潍坊一模)已知平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝2x，l2：y＝－2x，点P为平面内一动点，过P作DP∥l2交l1于点D，作EP∥l1交l2于点E，得到的平行四边形ODPE的面积为1，记点P的轨迹为曲线Γ.若Γ与圆x2＋y2＝t有四个交点，则实数t的取值范围是________．
解析：设点P(x0，y0)，则点P到l1的距离d＝ eq \f(|2x0－y0|,\r(5)) ，
直线PD方程为y＝－2x＋2x0＋y0，
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－2x＋2x0＋y0，,y＝2x，))
解得xD＝ eq \f(2x0＋y0,4) ，
所以|OD|＝ eq \r(5) eq \f(|2x0＋y0|,4) ，
所以S平行四边形ODPE＝|OD|d＝ eq \r(5) eq \f(|2x0＋y0|,4) × eq \f(|2x0－y0|,\r(5)) ＝1，
所以x eq \\al(2,0) － eq \f(y eq \\al(2,0) ,4) ＝±1，
所以点P的轨迹Γ为两个双曲线x2－ eq \f(y2,4) ＝1， eq \f(y2,4) －x2＝1，
因为双曲线x2－ eq \f(y2,4) ＝1的实半轴长为1，双曲线 eq \f(y2,4) －x2＝1的实半轴长为2，
若Γ与圆x2＋y2＝t有四个交点，
则1< eq \r(t)