2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十五提升点概率统计中的交汇创新

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(1)若n＝3，求在事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；
(2)证明：P(A)＝P(B).
解：(1)解：由题设知甲、乙学校分别有4位、3位同学参加活动，
P(A)＝C eq \\al(1,4) (1－ eq \f(1,2) )3· eq \f(1,2) ·C eq \\al(0,3) (1－ eq \f(1,2) )3＋
C eq \\al(2,4) (1－ eq \f(1,2) )2( eq \f(1,2) )2·C eq \\al(1,3) (1－ eq \f(1,2) )2· eq \f(1,2) ＋
C eq \\al(3,4) (1－ eq \f(1,2) )( eq \f(1,2) )3·C eq \\al(2,3) (1－ eq \f(1,2) )( eq \f(1,2) )2＋
C eq \\al(4,4) ( eq \f(1,2) )4·C eq \\al(3,3) ( eq \f(1,2) )3＝C eq \\al(1,4) ( eq \f(1,2) )4·C eq \\al(0,3) ( eq \f(1,2) )3＋C eq \\al(2,4) ( eq \f(1,2) )4·C eq \\al(1,3) ( eq \f(1,2) )3＋C eq \\al(3,4) ( eq \f(1,2) )4·C eq \\al(2,3) ( eq \f(1,2) )3＋C eq \\al(4,4) ( eq \f(1,2) )4·C eq \\al(3,3) ( eq \f(1,2) )3＝ eq \f(35,27) ，
而甲校成功次数比乙校成功次数多一次且有5位同学成功的概率为P＝C eq \\al(3,4) ( eq \f(1,2) )4·C eq \\al(2,3) ( eq \f(1,2) )3＝ eq \f(12,27) ，
所以在事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率为 eq \f(P,P（A）) ＝ eq \f(12,35) .
(2)证明：由题设知，
P(A)＝ eq \f(C eq \\al(1,n＋1) C eq \\al(0,n) ＋C eq \\al(2,n＋1) C eq \\al(1,n) ＋C eq \\al(3,n＋1) C eq \\al(2,n) ＋…＋C eq \\al(n＋1,n＋1) C eq \\al(n,n) ,22n＋1) ，
P(B)＝ eq \f(C eq \\al(0,n＋1) C eq \\al(0,n) ＋C eq \\al(1,n＋1) C eq \\al(1,n) ＋C eq \\al(2,n＋1) C eq \\al(2,n) ＋…＋C eq \\al(n,n＋1) C eq \\al(n,n) ,22n＋1) ，
因为C eq \\al(k＋1,n＋1) C eq \\al(k,n) ＝C eq \\al(n－k,n＋1) C eq \\al(n－k,n) ，k＝0，1，2，…，n，
所以P(A)＝P(B).
2．一个袋子中有a个白球和b个黑球，从中任取1个球．若取出白球，则把它放回袋子中；若取出黑球，则该黑球不再放回，另补1个白球到袋子中．在重复n次这样的操作后，记袋子中白球的个数为xn.
(1)求x1的均值E(x1)；
(2)求证：xn＋1的均值E(xn＋1)＝(1－ eq \f(1,a＋b) )E(xn)＋1.
解：(1)解：当n＝1时，袋子中白球的个数可能是a个(即取出的是白球)，概率为 eq \f(a,a＋b) ；也可能是a＋1个(即取出的是黑球)，概率为 eq \f(b,a＋b) .
故E(x1)＝a· eq \f(a,a＋b) ＋(a＋1)· eq \f(b,a＋b) ＝ eq \f(a2＋ab＋b,a＋b) .
(2)证明：第n＋1次取球后白球的个数xn＋1分为两类：
①若第n＋1次取出来的是白球，由于白球和黑球的总个数是a＋b，这种情况发生的概率是 eq \f(E（xn）,a＋b) ，此时白球的个数变为E(xn).
②若第n＋1次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是 eq \f(a＋b－E（xn）,a＋b) ，此时白球的个数变为E(xn)＋1.
故E(xn＋1)＝ eq \f(E（xn）,a＋b) E(xn)＋ eq \f(a＋b－E（xn）,a＋b) (E(xn)＋1)＝
eq \f(（E（xn））2,a＋b) ＋(1－ eq \f(E（xn）,a＋b) )(E(xn)＋1)＝
eq \f(（E（xn））2,a＋b) ＋E(xn)－ eq \f(（E（xn））2,a＋b) ＋1－ eq \f(E（xn）,a＋b) ＝
(1－ eq \f(1,a＋b) )E(xn)＋1.
3．(2024·安康模拟)某课题实验小组共有来自三个不同班级的45名学生，这45名学生中，A，B，C三个班级的人数比为4∶3∶2.
(1)某次实验活动需从这45人中用分层随机抽样的方法随机抽取9人组成一个核心小组，再从这9人中随机抽取3人负责核心工作，记随机抽取的3人中来自B班级的人数为ξ，求ξ的分布列和均值；
(2)由于不同的实验需要的人数不同，所以为便于进行实验的配合，实验过程中有2人一组，也有多人一组(多于2人)，其中2人一组的为基础实验，其他的为研发实验，实验结束后进行实验结果交流．记发言的小组来自研发实验的概率为p(0