2025届高考数学二轮专题复习与测试专题2平面向量与解三角形

这是一份2025届高考数学二轮专题复习与测试专题2平面向量与解三角形，共16页。
(1)已知向量a＝(x1，y1)且a≠0，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)若 eq \(OA,\s\up10(→)) ＝λ eq \(OB,\s\up10(→)) ＋μ eq \(OC,\s\up10(→)) ，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
2．数量积的性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(a·a) ＝ eq \r(x2＋y2) .
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x eq \\al(2,1) ＋y eq \\al(2,1) ) \r(x eq \\al(2,2) ＋y eq \\al(2,2) )) .
(3)a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
命题角度❶ 平面向量的基本运算
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( D )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】 方法一(向量法＋坐标法)：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝|b|2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.
方法二(坐标法)：因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.
(2)在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且 eq \(BE,\s\up10(→)) ＝2 eq \(EC,\s\up10(→)) ， eq \(CF,\s\up10(→)) ＝3 eq \(FD,\s\up10(→)) ，记 eq \(AB,\s\up10(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up10(→)) ＝b，则 eq \(EF,\s\up10(→)) ＝( A )
A.－ eq \f(3,4) a＋ eq \f(1,3) b
B． eq \f(3,4) a＋ eq \f(1,3) b
C． eq \f(3,4) a－ eq \f(1,3) b
D．－ eq \f(1,4) a＋ eq \f(1,3) b
【解析】 因为 eq \(BE,\s\up10(→)) ＝2 eq \(EC,\s\up10(→)) ， eq \(CF,\s\up10(→)) ＝3 eq \(FD,\s\up10(→)) ，所以 eq \(EF,\s\up10(→)) ＝ eq \(CF,\s\up10(→)) － eq \(CE,\s\up10(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(CD,\s\up10(→)) － eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up10(→)) ＝－ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up10(→)) ＝－ eq \f(3,4) a＋ eq \f(1,3) b.故选A.
求向量数量积的三种方法
(1)定义法：当已知向量的长度或夹角时，可利用此法求解．
(2)坐标法：当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时，可利用此法求解．
(3)若题设涉及投影向量时，也可考虑利用数量积的几何意义求解．
命题角度❷ 向量中的最值、范围问题
(1)设a，b，c为单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为( D )
A．－2
B． eq \r(2) －2
C．－1
D．1－ eq \r(2)
【解析】 方法一：因为a·b＝0，a，b是单位向量，所以|a＋b|＝ eq \r(a2＋2a·b＋b2) ＝ eq \r(2) ，所以(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2＝1－|a＋b|·|c|·cs 〈a＋b，c〉＝1－ eq \r(2) cs 〈a＋b，c〉≥1－ eq \r(2) ，当且仅当a＋b与c同向时取等号，所以(a－c)·(b－c)的最小值为1－ eq \r(2) ，故选D.
方法二：不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(cs θ，sin θ)(0≤θ0，所以sin A＝ eq \r(1－cs2A) ＝ eq \f(\r(15),4) ，所以S△ABC＝ eq \f(1,2) bc sinA＝ eq \f(1,2) ×4×2× eq \f(\r(15),4) ＝ eq \r(15) .故选C.
(2)(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin A＝4b sin B，ac＝ eq \r(5) (a2－b2－c2)，则下列结论正确的是( ACD )
A．a＝2b
B．cs A＝ eq \f(\r(5),5)
C．sin B＝ eq \f(\r(5),5)
D.△ABC为钝角三角形
【解析】 因为a sin A＝4b sin B，所以a2＝4b2，所以a＝2b，故A正确；因为ac＝ eq \r(5) (a2－b2－c2)＝ eq \r(5) ×(－2bc cs A)，且a＝2b，所以2bc＝－2 eq \r(5) bc cs A，所以cs A＝－ eq \f(\r(5),5) ，故B错误；因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin A＝ eq \r(1－cs2A) ＝ eq \f(2\r(5),5) ，又因为a＝2b，所以sinA＝2sin B，所以sin B＝ eq \f(\r(5),5) ，故C正确；由cs A＝－ eq \f(\r(5),5) 0，且a与b不平行，所以a与b的夹角为锐角，所以C不正确；向量a在向量b上的投影向量的模为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a·b,|b|))) ＝ eq \f(1,\r(5)) ＝ eq \f(\r(5),5) ，所以D正确．故选AD.
10．(多选)已知△ABC是边长为2的正三角形，该三角形的重心为点G，点P为△ABC所在平面内任意一点，则下列等式成立的是( BC )
A．| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(AC,\s\up10(→)) |＝2
B． eq \(AB,\s\up10(→)) · eq \(AC,\s\up10(→)) ＝2
C． eq \(PA,\s\up10(→)) ＋ eq \(PB,\s\up10(→)) ＋ eq \(PC,\s\up10(→)) ＝3 eq \(PG,\s\up10(→))
D．| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(BC,\s\up10(→)) |＝| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(CB,\s\up10(→)) |
解析：因为| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(AC,\s\up10(→)) |＝ eq \r(（\(AB,\s\up10(→))＋\(AC,\s\up10(→))）2) ＝
eq \r(4＋4＋2×2×2×\f(1,2)) ＝2 eq \r(3) ，所以A中等式不成立；因为 eq \(AB,\s\up10(→)) · eq \(AC,\s\up10(→)) ＝| eq \(AB,\s\up10(→)) |·| eq \(AC,\s\up10(→)) |·cs eq \f(π,3) ＝2×2× eq \f(1,2) ＝2，所以B中等式成立；因为G为△ABC的重心，所以 eq \(GA,\s\up10(→)) ＋ eq \(GB,\s\up10(→)) ＋ eq \(GC,\s\up10(→)) ＝0，所以 eq \(PA,\s\up10(→)) ＋ eq \(PB,\s\up10(→)) ＋ eq \(PC,\s\up10(→)) ＝ eq \(GA,\s\up10(→)) － eq \(GP,\s\up10(→)) ＋ eq \(GB,\s\up10(→)) － eq \(GP,\s\up10(→)) ＋ eq \(GC,\s\up10(→)) － eq \(GP,\s\up10(→)) ＝－3 eq \(GP,\s\up10(→)) ＝3 eq \(PG,\s\up10(→)) ，所以C中等式成立；因为| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(BC,\s\up10(→)) |＝| eq \(AC,\s\up10(→)) |＝2，| eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \(CB,\s\up10(→)) |＝ eq \r(（\(AB,\s\up10(→))＋\(CB,\s\up10(→))）2) ＝ eq \r(4＋4＋2×2×2×\f(1,2)) ＝2 eq \r(3) ，所以D中等式不成立．故选BC.
11．(多选)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知 eq \f(cs B,cs C) ＝ eq \f(b,2a－c) ，S△ABC＝ eq \f(3\r(3),4) ，且b＝3，则( ABD )
A．cs B＝ eq \f(1,2) B．sin B＝ eq \f(\r(3),2)
C．a－c＝ eq \r(3) D．a＋c＝3 eq \r(2)
解析：因为 eq \f(cs B,cs C) ＝ eq \f(b,2a－c) ＝ eq \f(sin B,2sin A－sin C) ，所以sin B cs C＝2sin A cs B－sin C cs B，所以2sin A cs B＝sin B cs C＋sin C cs B＝sin (B＋C)＝sin A，因为A为△ABC的内角，所以sin A≠0，所以cs B＝ eq \f(1,2) ，所以sin B＝ eq \f(\r(3),2) ，故A，B正确；因为B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,3) ，因为S△ABC＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \f(1,2) ac× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),4) ac＝ eq \f(3\r(3),4) ，所以ac＝3，由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－9，9＝a2＋c2－ac＝(a－c)2＋ac＝(a－c)2＋3，所以a＋c＝3 eq \r(2) (负值舍去)，a－c＝± eq \r(6) ，故C错误，D正确．
12．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，BC＝2 eq \r(7) ，D为BC边上一点，且AB⊥AD，则△ABD的面积为________．
解析：由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs ∠BAC，即28＝4＋AC2＋2AC，解得AC＝4或AC＝－6(舍去)，于是cs B＝ eq \f(4＋28－16,2×2×2\r(7)) ＝ eq \f(2\r(7),7) ，又AB⊥AD，所以BD＝ eq \f(AB,cs B) ＝ eq \r(7) ，由勾股定理可得AD＝ eq \r(BD2－AB2) ＝ eq \r(3) ，于是S△ABD＝ eq \f(1,2) AB·AD＝ eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) ＝ eq \r(3) .
答案： eq \r(3)
13．(2024·广东模拟)如图所示，A，B，C，D是正弦函数y＝sin x图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则( eq \(OA,\s\up10(→)) ＋ eq \(OB,\s\up10(→)) )·( eq \(OC,\s\up10(→)) ＋ eq \(OD,\s\up10(→)) )＝__________．
解析：由题图知，A( eq \f(π,2) ，1)，B( eq \f(3π,2) ，－1)，C( eq \f(5π,2) ，1)，D( eq \f(7π,2) ，－1)，所以 eq \(OA,\s\up10(→)) ＝( eq \f(π,2) ，1)， eq \(OB,\s\up10(→)) ＝( eq \f(3π,2) ，－1)， eq \(OC,\s\up10(→)) ＝( eq \f(5π,2) ，1)， eq \(OD,\s\up10(→)) ＝( eq \f(7π,2) ，－1)，所以 eq \(OA,\s\up10(→)) ＋ eq \(OB,\s\up10(→)) ＝(2π，0)， eq \(OC,\s\up10(→)) ＋ eq \(OD,\s\up10(→)) ＝(6π，0)，所以( eq \(OA,\s\up10(→)) ＋ eq \(OB,\s\up10(→)) )·( eq \(OC,\s\up10(→)) ＋ eq \(OD,\s\up10(→)) )＝2π×6π＋0×0＝12π2.
答案：12π2
14．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古．如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75 m，则滕王阁的高度OP＝__________m.
解析：设OP＝ eq \r(3) h，由题意知∠PAO＝30°，∠PBO＝60°，∠PCO＝45°，所以OA＝ eq \f(OP,tan 30°) ＝ eq \f(\r(3)h,\f(\r(3),3)) ＝3h，OB＝ eq \f(OP,tan 60°) ＝ eq \f(\r(3)h,\r(3)) ＝h，OC＝ eq \f(OP,tan 45°) ＝ eq \r(3) h.在△OBC中，由余弦定理得3h2＝h2＋752－2×75h·cs ∠OBC.①在△OAB中，由余弦定理得9h2＝h2＋752－2×75h cs ∠OBA.②因为cs ∠OBC＋cs ∠OBA＝0，所以由①＋②得12h2＝2h2＋2×752，解得h＝15 eq \r(5) (负值舍去)，所以OP＝ eq \r(3) h＝15 eq \r(15) m.
答案：15 eq \r(15)
[小题提升练]
15．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，其外接圆半径为R，内切圆半径为r＝3，且满足a cs A＋b cs B＋c cs C＝ eq \f(R,3) ，S△ABC＝6，则( ABD )
A．a＋b＋c＝4
B．R＝6
C．sin A＋sin B＋sin C＝ eq \f(1,6)
D．sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝ eq \f(1,3)
解析：因为S△ABC＝ eq \f(1,2) (a＋b＋c)·r＝ eq \f(3,2) (a＋b＋c)＝6，所以a＋b＋c＝4，A正确；因为a cs A＋b cs B＋c cs C＝ eq \f(R,3) ，所以2R sin A cs A＋2R sin B cs B＋2R sin C cs C＝ eq \f(R,3) ，即sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝ eq \f(1,3) ，D正确；若△ABC为锐角三角形，S△ABC＝ eq \f(1,2) R2sin 2A＋ eq \f(1,2) R2sin 2B＋ eq \f(1,2) R2sin 2C＝ eq \f(1,2) R2· eq \f(1,3) ＝6，解得R＝6(负值舍去)，若△ABC为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，B正确；因为 eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C) ＝2R＝12，所以sin A＋sin B＋sin C＝ eq \f(1,3) ，C错误．故选ABD.
16．(2024·天津一模)已知平行四边形ABCD的面积为6 eq \r(3) ，∠BAD＝ eq \f(2π,3) ，且 eq \(BE,\s\up10(→)) ＝2 eq \(EC,\s\up10(→)) .若F为线段DE上的动点，且 eq \(AF,\s\up10(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \f(5,6) eq \(AD,\s\up10(→)) ，则实数λ的值为________；| eq \(AF,\s\up10(→)) |的最小值为________．
解析：作AG⊥BC交BC于点G，以G为原点建立如图所示的平面直角坐标系，连接AE.
因为 eq \(BE,\s\up10(→)) ＝2 eq \(EC,\s\up10(→)) ， eq \(AF,\s\up10(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \f(5,6) eq \(AD,\s\up10(→)) ，
所以 eq \(AF,\s\up10(→)) ＝λ( eq \(AE,\s\up10(→)) ＋ eq \(EB,\s\up10(→)) )＋ eq \f(5,6) eq \(AD,\s\up10(→)) ＝λ eq \(AE,\s\up10(→)) ＋( eq \f(5,6) － eq \f(2,3) λ) eq \(AD,\s\up10(→)) ，由D，F，E共线，得λ＋ eq \f(5,6) － eq \f(2,3) λ＝1，解得λ＝ eq \f(1,2) .
设B(－a，0)且a＞0，则A(0， eq \r(3) a)，而平行四边形ABCD的面积为6 eq \r(3) ，则BC＝ eq \f(6,a) ，故C( eq \f(6,a) －a，0)，D( eq \f(6,a) ， eq \r(3) a)，E( eq \f(4,a) －a，0)，则 eq \(AB,\s\up10(→)) ＝(－a，－ eq \r(3) a)， eq \(AD,\s\up10(→)) ＝( eq \f(6,a) ，0)，所以 eq \(AF,\s\up10(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up10(→)) ＋ eq \f(5,6) eq \(AD,\s\up10(→)) ＝( eq \f(5,a) － eq \f(a,2) ，－ eq \f(\r(3),2) a)，
则| eq \(AF,\s\up10(→)) |2＝( eq \f(5,a) － eq \f(a,2) )2＋ eq \f(3,4) a2＝ eq \f(25,a2) ＋a2－5≥2 eq \r(\f(25,a2)·a2) －5＝5，当且仅当 eq \f(25,a2) ＝a2，即a＝ eq \r(5) 时取等号，所以| eq \(AF,\s\up10(→)) |的最小值为 eq \r(5) .
答案： eq \f(1,2) eq \r(5)
形化
利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断
数化
利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决