2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1三角函数的图象与性质

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sin αsin β＋cs (α＋β)＝cs αcs β，
cs αsin β＋sin (α－β)＝sin αcs β，
tan α±tan β＝tan (α±β)·(1∓tan αtan β).
2．倍角公式变形
降幂公式：
cs2α＝ eq \f(1＋cs2α,2) ，sin2α＝ eq \f(1－cs2α,2) .
升幂公式：
cs α＝2cs2 eq \f(α,2) －1，csα＝1－2sin2 eq \f(α,2) .
配方变形：
1±sinα＝(sin eq \f(α,2) ±cs eq \f(α,2) )2.
(1)已知在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边绕原点O逆时针旋转 eq \f(π,6) 与单位圆交点的纵坐标为 eq \f(3,5) ，则cs (2α－ eq \f(2π,3) )＝( A )
A．－ eq \f(7,25) B． eq \f(7,25)
C．－ eq \f(18,25) D． eq \f(18,25)
【解析】 (1)角α的终边绕原点O逆时针旋转 eq \f(π,6) 后变为α＋ eq \f(π,6) .由三角函数的定义可知，sin (α＋ eq \f(π,6) )＝ eq \f(3,5) ，所以cs (2α－ eq \f(2π,3) )＝cs [2(α＋ eq \f(π,6) )－π]＝－cs [2(α＋ eq \f(π,6) )]＝2sin2(α＋ eq \f(π,6) )－1＝2×( eq \f(3,5) )2－1＝－ eq \f(7,25) .故选A.
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tan β＝4，tan αtan β＝ eq \r(2) ＋1，则sin (α＋β)＝________．
【解析】 由题知tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) ＝ eq \f(4,1－\r(2)－1) ＝－2 eq \r(2) ，
即sin (α＋β)＝－2 eq \r(2) cs (α＋β)，
又sin2(α＋β)＋cs2(α＋β)＝1，
可得sin2(α＋β)＝ eq \f(8,9) .由2kπ＜α＜2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋ eq \f(3π,2) ，m∈Z，得2(k＋m)π＋π＜α＋β＜2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin (α＋β)＝－ eq \f(2\r(2),3) .
【答案】 － eq \f(2\r(2),3)
(1)利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数的步骤为去负—脱周—化锐，特别要注意函数名称和符号的确定．
[注意] “奇变偶不变，符号看象限”．
(2)三角函数恒等变换的“四大策略”
①常数值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan45°等．
②项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等．
③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
④弦、切互化：一般是切化弦．
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cs(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cs (α－β)＝( A )
A．－3m B．－ eq \f(m,3)
C． eq \f(m,3) D．3m
解析：由cs (α＋β)＝m得cs α·cs β－sin αsin β＝m.①由tan αtan β＝2得 eq \f(sin αsin β,cs αcs β) ＝2，②
由①②得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs αcs β＝－m，,sin αsin β＝－2m，)) 所以cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝－3m.
2．(2024·江西二模)已知α，β∈(0， eq \f(π,2) )，cs (α－β)＝ eq \f(5,6) ，tan αtan β＝ eq \f(1,4) ，则α＋β＝( A )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,4)
C． eq \f(π,6) D． eq \f(2π,3)
解析：因为cs (α－β)＝ eq \f(5,6) ，tan αtan β＝ eq \f(1,4) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs αcs β＋sin αsin β＝\f(5,6)，,\f(sin αsin β,cs αcs β)＝\f(1,4)，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs αcs β＝\f(2,3)，,sin αsin β＝\f(1,6)，))
所以cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝ eq \f(1,2) ，又α，β∈(0， eq \f(π,2) )，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝ eq \f(π,3) .
3．(2024·江苏二模)已知非零向量a＝(cs 2α，sin (α＋ eq \f(π,4) ))，b＝(sin (α＋ eq \f(π,4) )，1)，若a∥b，则sin 2α＝( D )
A．－1 B． eq \f(\r(10),10)
C． eq \f(4,5) D． eq \f(3,5)
解析：因为a，b为非零向量，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs 2α≠0，,sin （α＋\f(π,4)）≠0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,4)＋\f(k1π,2)，,α≠－\f(π,4)＋k2π)) (k1∈Z，k2∈Z).
因为a∥b，所以sin2(α＋ eq \f(π,4) )＝cs2α，则 eq \f(1－cs （2α＋\f(π,2)）,2) ＝cs 2α，
即1＋sin 2α＝2cs 2α，
即sin2α＋cs2α＋2sinαcs α＝2cs2α－2sin2α，
又cs2α＝sin2(α＋ eq \f(π,4) )>0，
即cs2α> eq \f(1,2) ，故csα≠0，
所以两边同除以cs2α，
可得3tan2α＋2tanα－1＝0，解得tan α＝ eq \f(1,3) 或tan α＝－1(舍去)，所以sin 2α＝ eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α) ＝ eq \f(2tanα,1＋tan2α) ＝ eq \f(\f(2,3),1＋\f(1,9)) ＝ eq \f(3,5) .
小题考法2 三角函数的图象
[核心提炼]
三角函数图象的两种变换
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
命题角度❶ 三角函数的图象识别
(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝ eq \f(1,2) 与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝ eq \f(π,6) ，则f(π)＝________．
【解析】 设A(x1， eq \f(1,2) )，B(x2， eq \f(1,2) )，由|AB|＝ eq \f(π,6) ，可得x2－x1＝ eq \f(π,6) ，由sin (ωx＋φ)＝ eq \f(1,2) ，知ωx1＋φ＝ eq \f(π,6) ＋2kπ，k∈Z，ωx2＋φ＝ eq \f(5π,6) ＋2kπ，k∈Z，
所以(ωx2＋φ)－(ωx1＋φ)＝ eq \f(5π,6) － eq \f(π,6) ＝ eq \f(2π,3) ，
即ω· eq \f(π,6) ＝ eq \f(2π,3) ，故ω＝4.
因为f( eq \f(2π,3) )＝sin ( eq \f(8π,3) ＋φ)＝0，由“五点(画图)法”得， eq \f(8π,3) ＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝－ eq \f(8π,3) ＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)＝sin (4x－ eq \f(8π,3) ＋2kπ)＝sin (4x－ eq \f(2π,3) )，
所以f(π)＝sin (4π－ eq \f(2π,3) )＝－ eq \f(\r(3),2) .
【答案】 － eq \f(\r(3),2)
由“图”定“式”找“对应”的方法
对于函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ为常数)：
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得A＝ eq \f(M－m,2) ，B＝ eq \f(M＋m,2) .
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝ eq \f(2π,ω) ，可得ω＝ eq \f(2π,T) .
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．
命题角度❷ 三角函数的图象变换及应用
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－ eq \f(π,6) )的交点个数为( C )
A.3 B．4
C．6 D．8
【解析】 因为函数y＝2sin (3x－ eq \f(π,6) )的最小正周期T＝ eq \f(2π,3) ，所以函数y＝2sin (3x－ eq \f(π,6) )在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin (3x－ eq \f(π,6) )与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点．
(2)若a，b，c，d为实数，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7(a),\s\d5(b)) \(\s\up7(c),\s\d5(d)))) ＝ad－bc，定义函数f(x)＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7(sin x),\s\d5(2cs x)) \(\s\up7(\r(3)cs x),\s\d5(2cs x)))) ，现将函数f(x)的图象先向左平移 eq \f(5π,12) 个单位长度，再向上平移 eq \r(3) 个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________．
【解析】 由题意得f(x)＝2sin x cs x－2 eq \r(3) cs2x＝sin2x－ eq \r(3) (cs 2x＋1)＝2sin (2x－ eq \f(π,3) )－ eq \r(3) .
因为函数f(x)的图象先向左平移 eq \f(5π,12) 个单位长度，再向上平移 eq \r(3) 个单位长度后得到函数g(x)的图象，
所以g(x)＝2sin [2(x＋ eq \f(5π,12) )－ eq \f(π,3) ]－ eq \r(3) ＋ eq \r(3) ＝2cs 2x，
所以g(x)的解析式为g(x)＝2cs 2x(x∈R).
【答案】 2cs 2x(x∈R)
三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强，在解题时容易出现错误，破解此类问题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象．
(2)变同名：变换前后函数的名称要一样．
(3)选方法：选择变换方法要注意对于函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，向左平移φ(φ>0)个单位长度得到的是函数y＝sin [ω(x＋φ)]的图象，而不是函数y＝sin (ωx＋φ)的图象．
1．(2024·南京二模)为了得到函数y＝sin (2x＋ eq \f(π,3) )的图象，只要把函数y＝sin 2x图象上所有的点( A )
A．向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度
B．向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度
C．向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度
D．向右平移 eq \f(π,3) 个单位长度
解析：y＝sin (2x＋ eq \f(π,3) )＝sin [2(x＋ eq \f(π,6) )]，
则把函数y＝sin 2x图象上所有的点向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度即可．
2．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－ eq \f(π,4) )，下列说法中正确的有( BC )
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
解析：对于A，令f(x)＝0，则x＝ eq \f(kπ,2) ，k∈Z，又g( eq \f(kπ,2) )≠0，故A错误；
对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；
对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；
对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z，即x＝ eq \f(π,4) ＋ eq \f(kπ,2) ，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－ eq \f(π,4) ＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z，即x＝ eq \f(3π,8) ＋ eq \f(kπ,2) ，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．
小题考法3 三角函数的性质
[核心提炼]
函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
(1)单调性：由－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤ωx＋φ≤ eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由 eq \f(π,2) ＋2kπ≤ωx＋φ≤ eq \f(3π,2) ＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间．
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)可得对称轴．
(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数．
命题角度❶ 三角函数的单调性
(1)(2024·湛江二模)函数f(x)＝4sin (5x－ eq \f(π,6) )在[0， eq \f(π,5) ]上的值域为( B )
A．[－2，2]
B．[－2，4]
C．[－2 eq \r(3) ，4]
D．[－2 eq \r(3) ，2]
【解析】 因为x∈[0， eq \f(π,5) ]，所以5x－ eq \f(π,6) ∈[－ eq \f(π,6) ， eq \f(5π,6) ]，所以sin (5x－ eq \f(π,6) )∈[－ eq \f(1,2) ，1]，故f(x)＝4sin (5x－ eq \f(π,6) )在[0， eq \f(π,5) ]上的值域为[－2，4].
(2)设函数f(x)＝sin (x＋α)－cs x，α∈(0， eq \f(π,2) )，f( eq \f(π,3) )＝ eq \f(1,2) .则函数f(x)的单调递增区间为______________．
【解析】 由题意知sin ( eq \f(π,3) ＋α)－cs eq \f(π,3) ＝ eq \f(1,2) ，得sin ( eq \f(π,3) ＋α)＝1.
因为α∈(0， eq \f(π,2) )，所以 eq \f(π,3) ＋α∈( eq \f(π,3) ， eq \f(5π,6) )，
所以 eq \f(π,3) ＋α＝ eq \f(π,2) ，所以α＝ eq \f(π,6) .
所以f(x)＝sin (x＋ eq \f(π,6) )－cs x＝sin x cs eq \f(π,6) ＋cs x sin eq \f(π,6) －cs x＝sin x cs eq \f(π,6) －cs x sin eq \f(π,6) ＝sin (x－ eq \f(π,6) ).
令θ＝x－ eq \f(π,6) ，则y＝sin θ的单调递增区间为[－ eq \f(π,2) ＋2kπ， eq \f(π,2) ＋2kπ]，k∈Z，即－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤x－ eq \f(π,6) ≤ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，解得－ eq \f(π,3) ＋2kπ≤x≤ eq \f(2π,3) ＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[2kπ－ eq \f(π,3) ，2kπ＋ eq \f(2π,3) ]，k∈Z.
【答案】 [2kπ－ eq \f(π,3) ，2kπ＋ eq \f(2π,3) ]，k∈Z
求三角函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cs (ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝A sin z(或y＝A cs z)，然后由复合函数的单调性求得；
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
[注意] 求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，若ω＜0，则要先将ω转化为正数．
命题角度❷ 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
(1)(多选)若f(x)＝|sin x|＋cs x，则( AD )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间( eq \f(π,4) ， eq \f(π,2) )上单调递增
C．f(x)的最小正周期为π
D．f(x)在区间(－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) )上的最小值为1
【解析】 因为f(x)＝|sin x|＋cs x，定义域为R，所以f(－x)＝|sin (－x)|＋cs (－x)＝|sin x|＋cs x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，所以A正确；
当x∈( eq \f(π,4) ， eq \f(π,2) )时，f(x)＝|sin x|＋cs x＝sin x＋cs x＝ eq \r(2) sin (x＋ eq \f(π,4) )，因为x∈( eq \f(π,4) ， eq \f(π,2) )，所以x＋ eq \f(π,4) ∈( eq \f(π,2) ， eq \f(3π,4) )，所以函数f(x)＝ eq \r(2) sin (x＋ eq \f(π,4) )在( eq \f(π,4) ， eq \f(π,2) )上单调递减，所以B错误；
因为f(x＋π)＝|sin (x＋π)|＋cs (x＋π)＝|sin x|－cs x，f(x)＝|sin x|＋cs x，所以f(x＋π)＝f(x)不恒成立，所以C错误；
因为函数f(x)是偶函数，所以要求f(x)在区间(－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) )上的最小值，只需求f(x)在[0， eq \f(π,2) )上的最小值，当x∈[0， eq \f(π,2) )时，f(x)＝|sin x|＋cs x＝sin x＋cs x＝ eq \r(2) sin (x＋ eq \f(π,4) )，因为x∈[0， eq \f(π,2) )，所以x＋ eq \f(π,4) ∈[ eq \f(π,4) ， eq \f(3π,4) )，当x＋ eq \f(π,4) ＝ eq \f(π,4) ，即x＝0时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(0)＝1，所以D正确．故选AD.
(2)(多选)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋ eq \f(π,4) )＋b(ω>0)的最小正周期T满足 eq \f(π,2)