2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1函数的图象与性质

这是一份2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1函数的图象与性质，共17页。
(2)利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
命题角度❶ 函数图象的识别
(1)(2024·全国甲卷)函数y＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为( B )
【解析】 令y＝f(x)，由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)·sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f(1)＝－1＋(e－ eq \f(1,e) )·sin 1>－1＋(e－ eq \f(1,e) )sin eq \f(π,6) ＝－1＋ eq \f(e,2) － eq \f(1,2e) >0，排除D.
(2)如图是函数H(x)图象的一部分，设函数f(x)＝sin x，g(x)＝ eq \f(1,x) ，则H(x)可以表示为( C )
A.f(x)·g(x)
B． eq \f(f（x）,g（x）)
C．f(x)＋g(x)
D．f(x)－g(x)
【解析】 易知f(x)＝sin x与g(x)＝ eq \f(1,x) 均为奇函数，由题图可知，H(x)也为奇函数，故排除A，B；对于D，当x→0＋时，sin x→0， eq \f(1,x) →＋∞，所以当x→0＋时，f(x)－g(x)＝sin x－ eq \f(1,x) 0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，故排除C；
对于D，f(x)＝ eq \f(5cs x,x2＋1) ，定义域为R，f(－x)＝ eq \f(5cs （－x）,x2＋1) ＝ eq \f(5cs x,x2＋1) ＝f(x)，所以f(x)＝ eq \f(5cs x,x2＋1) 是偶函数，符合题意，故选D.
方法二：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝ eq \f(5（ex－e－x）,x2＋2) 是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sin x是奇函数，所以f(x)＝ eq \f(5sin x,x2＋1) 是奇函数，故排除B；因为x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝ eq \f(5（ex＋e－x）,x2＋2) >0恒成立，不符合题意，故排除C.故选D.
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有 eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2) ＜0，若f(1)＝0，则不等式xf(x)＜0的解集为__________________．
解析：已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)＝－f(－x)，且f(0)＝0，又对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有 eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2) ＜0，不妨设x1＜x2＜0，则x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，则函数f(x)的大致图象如图所示，根据函数图象可得不等式xf(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
答案： (－∞，－1)∪(1，＋∞)
小题考法2 函数的性质
[核心提炼]
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数＝偶函数).
2．函数的周期性
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数y＝f(x)的周期为|b－a|.
3．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(a＋b,2) 对称．
命题角度❶ 奇偶性、周期性与对称性
(1)(多选)(2024·新乡三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(－x)，且f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)，若f( eq \f(5,2) )＝1，则( BCD )
A．f(2 024)＝1
B．f(x)的图象关于直线x＝－3对称
C．f(x)是周期函数
D． eq \i\su(k＝1,2 025, ) (－1)kkf(k－ eq \f(1,2) )＝2 025
【解析】 由f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)，得f(x＋1)＋f(x＋3)＝f(－2)，
则f(x－1)＝f(x＋3)，即f(x)＝f(x＋4)，因此f(x)是周期为4的周期函数，C正确；
在f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)中，令x＝－1，得f(－2)＋f(0)＝f(－2)，
则f(0)＝0，因此f(2 024)＝f(0)＝0，A错误；
由f(x＋6)＝f(－x)，得f(－x)＝f[(x－12)＋6]＝f(x－6)，因此f(x)的图象关于直线x＝－3对称，B正确；
由f(x＋6)＝f(－x)，得f(x)的图象关于直线x＝3对称，
因此直线x＝－3＋4n及x＝3＋4n(n∈Z)均为f(x)图象的对称轴，
则f(－2)＝f(8)＝f(0)＝0，f( eq \f(7,2) )＝f( eq \f(5,2) )＝1，在f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)中，令x＝ eq \f(3,2) ，得f( eq \f(3,2) －1)＋f( eq \f(3,2) ＋1)＝f(－2)＝0，
即f( eq \f(1,2) )＝－f( eq \f(5,2) )＝－1，
则f( eq \f(1,2) )＝f( eq \f(9,2) )＝f( eq \f(3,2) )＝－1，
故 eq \i\su(k＝1,2 025, ) (－1)kkf(k－ eq \f(1,2) )＝－f( eq \f(1,2) )＋2f( eq \f(3,2) )－3f( eq \f(5,2) )＋4f( eq \f(7,2) )－…－2 025f( eq \f(4 049,2) )＝(1－2－3＋4)＋…＋(2 021－2 022－2 023＋2 024)＋2 025＝2 025，D正确．
(2)(2024·武汉模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝4，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝________．
【解析】 因为g(x＋1)是偶函数，且g(x＋1)＝xf(x＋1)，其中y＝x为奇函数，所以y＝f(x＋1)必为奇函数，则f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即有f(－x)＝－f(x＋2)，
又因为f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期为4.
由函数g(x＋1)是偶函数，
可得g(－x＋1)＝xf(x＋1)，
所以g(－0.5)＝g(－1.5＋1)＝1.5 f(2.5)＝1.5 f(－2.5)＝1.5f(－2.5＋4×2)＝1.5f(5.5)＝6.
【答案】 6
函数的奇偶性、周期性及对称性
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|).
(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解．
(3)对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题背景，利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题．
命题角度❷ 函数的单调性及其应用
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2－2ax－a，x＜0，,ex＋ln （x＋1），x≥0)) 在R上单调递增，则a的取值范围是( B )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
【解析】 因为函数f(x)在R上单调递增，且当x2.
由函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减可知f(ln 10)>f(3)>f(3 eq \s\up6(\f(5,4)) )，即b＞a＞c.
【答案】 b＞a＞c
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使抽象函数转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解．
(4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
1．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( D )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
解析：函数y＝2x在R上为增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝(x－ eq \f(a,2) )2－ eq \f(a2,4) 在区间(0，1)上单调递减，因此 eq \f(a,2) ≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞).
2．已知函数f(x)＝a－ eq \f(2,ex＋1) (a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为( A )
A.(－1，1) B．(－2，2)
C．(－3，3) D．(－4，4)
解析：方法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－ eq \f(2,e－x＋1) ＝－a＋ eq \f(2,ex＋1) ，得2a＝ eq \f(2,ex＋1) ＋ eq \f(2,e－x＋1) ＝2，所以a＝1，所以f(x)＝1－ eq \f(2,ex＋1) ，因为ex＋1>1，所以0< eq \f(1,ex＋1) 3(x－1)－7＋2(x－2)－3＝5x－17，所以f(5)>8；
……
发现1，2及当x≥3且x∈N*时，f(x)大于的数字构成斐波那契数列(去掉第1项)1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，
所以f(10)>89，A错误；f(20)>f(16)>1 597>1 000，B正确；f(x)没有上界，所以C，D错误．
小题考法3 函数与方程
[核心提炼]
1．函数的零点与方程解的联系
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标，所以方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
2．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－(x－1)2＋a有两个交点，则a的取值范围是________．
【解析】 令x3－3x＝－(x－1)2＋a，则a＝x3－3x＋(x－1)2，设h(x)＝x3－3x＋(x－1)2，则h′(x)＝3x2－3＋2(x－1)＝(3x＋5)(x－1)，因为x>0，所以3x＋5>0，当01，010p010 eq \s\up6(\f(Lp3,20)) ，所以10eq \s\up8( eq \f(Lp2,20) － eq \f(Lp3,20) )>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；因为 eq \f(100p2,p1) ＝ eq \f(100p010\s\up6(\f(Lp2,20)),p010\s\up6(\f(Lp1,20))) ＝10eq \s\up8( eq \f(Lp2,20) － eq \f(Lp1,20) )＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.
11．(多选)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(－1)＝f(3)＝2，则下列结论中一定正确的是( AB )
A．f(－2)＞－2
B．f(x)有3个零点
C．f(2)＜－2
D．f(f(5))＞f(f(－ eq \f(1,2) ))
解析：由题意得，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(0)＝0，由f(－1)＝f(3)＝2，得f(1)＝f(－3)＝－2.
对于A，因为f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(－2)＞f(－3)＝－2，故A正确；
对于B，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－2，f(3)＝2，故在(0，＋∞)上有且只有一个x0∈(1，3)，使f(x0)＝0，同理f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝2，f(－3)＝－2，故在(－∞，0)上有且只有一个x1∈(－3，－1)，使f(x1)＝0，又f(0)＝0，所以f(x) 有3个零点，故B正确；
对于C，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＞f(1)＝－2，故C错误；
对于D，f(5)＞f(3)＝2，f(－ eq \f(1,2) )＞f(－1)＝2，易知 f(5)与f(－ eq \f(1,2) )无法比较大小，故D不一定正确．故选AB.
12．若函数y＝ eq \r(ax2－x＋2) 的定义域为[－2，1]，则实数a的值为________．
解析：y＝ eq \r(ax2－x＋2) 的定义域满足ax2－x＋2≥0，解集为[－2，1]，故a＜0且 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＝（－2）＋1，,\f(2,a)＝（－2）×1，)) 解得a＝－1.
答案：－1
13．已知函数f(x)＝5－x－3x3，若f(a－1)＋f(2a)≥10，则实数a的取值范围为________．
解析：令g(x)＝x＋3x3，因为g(－x)＝－x－3x3＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，由函数y＝x，y＝3x3都是增函数，可得g(x)＝x＋3x3为增函数，f(x)＝5－x－3x3＝5－g(x)，则不等式f(a－1)＋f(2a)≥10，即为5－g(a－1)＋5－g(2a)≥10，即－g(a－1)≥g(2a)，即g(1－a)≥g(2a)，所以1－a≥2a，解得a≤ eq \f(1,3) ，所以实数a的取值范围为(－∞， eq \f(1,3) ].
答案：(－∞， eq \f(1,3) ]
14．(2024·广州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，2]上单调递减，f(x＋2)为偶函数，若f(x)＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
解析：由f(x＋2)为偶函数可知，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是奇函数，所以f(x)是周期函数，周期为8.
作出函数f(x)在[0，12]上的大致图象趋势如图所示，作出直线y＝m，由图可知，若f(x)的图象与直线y＝m在[0，12]上有4个交点，则f(2)