2025届高考数学二轮专题复习与测试第二部分思想结论篇1.思想方法

这是一份2025届高考数学二轮专题复习与测试第二部分思想结论篇1.思想方法，共16页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。

一 函数与方程思想
应用1 借助函数关系解决问题
在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．
如图1，将一张边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形：△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的阴影部分折成一个正四棱锥P-EFGH，使点E与点E1重合，点F与点F1重合，点G与点G1重合，点H与点H1重合，点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P-EFGH的体积的最大值为( D )
A． eq \f(32\r(10),3) B． eq \f(64\r(10),3)
C． eq \f(128\r(10),3) D． eq \f(256\r(10),3)
【解析】 根据题意，PG是侧棱，底面EFGH的对角线的一半是GC，在图1中，作点P到边DC的垂线，
设GC＝x，00，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与C交于P，Q两点，F1Q与y轴的交点为R，F1Q⊥PR，则C的离心率为( B )
A． eq \r(2) B． eq \r(3)
C．2 D． eq \r(5)
【解析】 方法一：由题意得F1(－c，0)，F2(c，0)，设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a))) ，Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))) ，R(0，y0)，因为0＝ eq \f(c＋（－c）,2) ，所以R为F1Q的中点，所以y0＝－ eq \f(b2,2a) ，即R eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(b2,2a))) .又F1Q⊥PR，所以kF1Q·kPR＝－1，即－ eq \f(b2,2ac) · eq \f(3b2,2ac) ＝－1，即 eq \r(3) b2＝2ac.因为b2＝c2－a2，所以 eq \r(3) c2－2ac－ eq \r(3) a2＝0，方程两边同时除以a2得， eq \r(3) e2－2e－ eq \r(3) ＝0，解得e＝ eq \r(3) 或e＝－ eq \f(\r(3),3) (舍去)，所以e＝ eq \r(3) ，故选B.
方法二：由题意得F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a))) ，Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))) ，R(0，y0)，因为0＝ eq \f(c＋（－c）,2) ，所以R为F1Q的中点，连接PF1(图略)，又F1Q⊥PR，所以|PF1|＝|PQ|.由对称性得|PF1|＝|F1Q|，所以|PF1|＝|PQ|＝|F1Q|，即△PF1Q为等边三角形，所以 eq \f(|PF2|,|F1F2|) ＝tan ∠PF1F2，即 eq \f(b2,2ac) ＝ eq \f(\r(3),3) ，即 eq \r(3) b2＝2ac.又b2＝c2－a2，所以 eq \r(3) c2－2ac－ eq \r(3) a2＝0，方程两边同时除以a2得， eq \r(3) e2－2e－ eq \r(3) ＝0，解得e＝ eq \r(3) 或e＝－ eq \f(\r(3),3) (舍去)，所以e＝ eq \r(3) ，故选B.
此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系，得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率．
应用5 转换方程形式解决问题
把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方法．
已知sin (α＋β)＝ eq \f(2,3) ，sin (α－β)＝ eq \f(1,5) ，则 eq \f(tan α,tan β) 的值为________．
【解析】 方法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin αcs β＋cs αsin β＝\f(2,3)，,sin αcs β－cs αsin β＝\f(1,5)，))
所以sin αcs β＝ eq \f(13,30) ，cs αsin β＝ eq \f(7,30) .
从而 eq \f(tan α,tan β) ＝ eq \f(sin αcs β,cs αsin β) ＝ eq \f(13,7) .
方法二：因为 eq \f(sin （α＋β）,sin （α－β）) ＝ eq \f(10,3) ，
且 eq \f(sin （α＋β）,sin （α－β）) ＝ eq \f(\f(sin （α＋β）,cs αcs β),\f(sin （α－β）,cs αcs β)) ＝ eq \f(tan α＋tan β,tan α－tan β) ＝ eq \f(\f(tan α,tan β)＋1,\f(tan α,tan β)－1) .
所以得到方程 eq \f(\f(tan α,tan β)＋1,\f(tan α,tan β)－1) ＝ eq \f(10,3) ，解方程得 eq \f(tan α,tan β) ＝ eq \f(13,7) .
【答案】 eq \f(13,7)
本例可运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于 eq \f(tan α,tan β) 的方程来求解，从而获得欲求的三角函数表达式的值．
二 数形结合思想
应用1 巧借函数图象解决问题
(1)已知函数y＝2x＋x，y＝ln x＋x，y＝lg x＋x的零点依次为x1，x2，x3，则( D )
A．x1