第12章 定义 命题 证明 章节测试（试卷）2024—2025学年苏科版（2024）数学七年级下册

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第12章 章节测试一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列语句中，属于定义的是（ ）A．两点之间，线段最短 B．三角形的内角和等于180∘C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等2．下列句子中，属于命题的是（ ）A．直线AB和CD垂直吗？B．过线段AB的中点C作AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行D．已知a2=1，求a的值3．下列命题中，属于真命题的是（ ）A．若a>b，则ac2>bc2B．若ac2>bc2，则a>bC．同位角相等D．有两个角是锐角的三角形是锐角三角形4．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（ ）A． B．C． D．5．下列命题为假命题的是（ ）A．若|a|=|b|，则a=b B．两直线平行，内错角相等C．对顶角相等 D．若a=0，则ab=06．若一个多边形每一个内角都为144∘ ，则这个多边形的边数为（ ）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE//AC的条件是（ ）（第7题）A．∠3=∠C B．∠1+∠4=180∘C．∠1=∠AFE D．∠1+∠2=180∘8．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.若∠ABE=160∘ ，∠CDF=150∘ ，则∠EPF的度数是（ ）（第8题）A．20∘ B．30∘ C．50∘ D．70∘二、填空题（每小题3分，共30分）9．正八边形的每个外角为__度.10．如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB//CD，这是根据“____________，两直线平行”.（第10题）11．把命题“同角的补角相等”改写成“如果⋯⋯ ，那么……”的形式是________________________________________________________.12．“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是____________________________________________.13．在△ABC中，∠A=60∘ ，∠B−∠C=20∘ ，则∠C=__​∘ .14．如图，∠1+∠2=180∘ ，∠3=110∘ ，则∠4的度数是________.（第14题）15．将一副三角板如图叠放，∠A=45∘ ，∠ACB=∠EDF=90∘ ，∠E=60∘ ，C，B，D三点在同一直线上，若EF//BC，则∠BFD=__​∘ .（第15题）16．如图，已知∠A=50∘ ，点B，C在∠A的两边上，点P为平面内一点，且∠PBA=40∘ ，∠PCA=30∘ ，则∠BPC=__________.（第16题）17．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为__________.（第17题）18．如图是一款长臂折叠LED 护眼灯示意图，EF与桌面MN 垂直，当发光的灯管AB 恰好与桌面MN 平行时，∠DEF=120∘ ，∠BCD=110∘ ，则∠CDE 的度数为____​∘ .（第18题）三、解答题（共66分）19．（6分）若一个多边形的每个内角都相等，并且每个外角都等于它相邻内角的14，求这个多边形的边数及内角和.20．（6分）如图，已知∠1=∠2，∠BAC=70∘ ，∠AGD=110∘ .求证：EF//AD.21．（6分）在四边形ABCD中：请你用小明、小丽、小红中任何两人所给出的事项作为条件，另一个事项作为结论，构成一个真命题，并证明你所构建的是真命题.条件：__________________________，结论：____________.证明：22．（8分）已知P=n2+n+17（n是自然数）.（1） 填表：（2） 小欣归纳总结出一个命题：n为任意自然数时，对应P的值都是质数.你认为这个命题是________（填“真命题”或“假命题”）.如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出一个反例.23．（8分）（1） 我们把如图①所示的图形称为“8字形”，求证：∠A+∠B=∠C+∠D；（2） 利用（1）中的结论，试求图②中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.24．（10分）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BD与外角∠CAM，∠ACF的平分线AD，CD相交于点D，∠ACB的平分线CE交BD于点E，AB//CD.（1） 求证：∠BEC=90∘+∠CBD；（2） ∠ADB+∠ABC是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；（3） 直接写出所有与∠ADB互余的角.25．（10分）如图，AC⊥BC，C为垂足，过A点的直线MN//BC，D为直线BC上方一点（不在直线AC 上），连接CD，∠BCD的平分线CE交MN于点E.（1） 求证：∠AEC=∠DCE；（2） 若点D在直线MN上，∠ADC=70∘ ，求∠ACE的度数；（3） 当点D在直线MN的上方时，连接AD，若∠DAC的平分线所在的直线与射线CE相交于点P，请探究∠ADC与∠APC之间的数量关系.26．（12分）如果三角形的两个内角α 与β 满足2α+β=90∘ ，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.（1） 如图①，在△ABC中，∠ACB=90∘ ，BD是△ABC的角平分线.求证：△ABD是“准直角三角形”；（2） 关于“准直角三角形”，下列说法：①在△ABC中，若∠A=100∘ ，∠B=70∘ ，∠C=10∘ ，则△ABC是“准直角三角形”；②若△ABC是“准直角三角形”，∠C>90∘ ，∠A=20∘ ，则∠B只能为50∘ ；③“准直角三角形”一定是钝角三角形.其中，正确的是__；（填写所有正确结论的序号）（3） 如图②，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC=50∘ ，若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形“，则∠APB的度数是__________________________________________________.【参考答案】第12章 章节测试一、选择题（每小题3分，共24分）1．C 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．D 8．C二、填空题（每小题3分，共30分）9．4510．内错角相等11．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等12．有两个内角互余的三角形是直角三角形13．5014．70∘ 15．1516．120∘ 17．360∘ 18．100[解析]点拨：∵EF⊥MN，∴∠MFE=90∘ .如图，过点D作DG//AB，过点E作EH//AB，∵AB//MN，∴AB//DG//EH//MN，∴∠BCD+∠CDG=180∘ ，∠GDE=∠DEH，∠HEF=∠MFE=90∘ .∵∠DEF=120∘ ，∠BCD=110∘ ，∴∠GDE=∠DEH=∠DEF−∠HEF=120∘−90∘=30∘ ，∠CDG=180∘−110∘=70∘ .∴∠CDE=∠CDG+∠GDE=100∘ .三、解答题（共66分）19．解：设这个多边形的一个外角的度数为x，根据题意，得x=14(180∘−x)，解得x=36∘ .∵360∘÷36∘=10，(10−2)×180∘=1440∘ ，∴ 这个多边形为十边形，内角和为1440∘ .20．证明：∵∠BAC=70∘ ,∠AGD=110∘ ,∴∠BAC+∠AGD=180∘ .∴AB//DG.∴∠1=∠3.又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3.∴EF//AD.21．AB//CD，∠B=∠D； AD//BC； 解：证明：如图，在四边形ABCD中，∵AB//CD，∴∠D+∠A=180∘ .又∵∠B=∠D，∴∠B+∠A=180∘ .∴AD//BC.（答案不唯一）22．（1） 解：29； 37； 47； 59（2） 假命题； 例如，当n=17时，P=172+17+17=17×19，P的值不是质数.23．（1） 证明：∵∠A+∠B+∠AOB=180∘ ,∠C+∠D+∠COD=180∘ ，∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D.（2） 解：如图，连接BE，由（1）可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=(5−2)×180∘=540∘ .24．（1） 证明：∵CE平分∠ACB，CD平分∠ACF，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACD=12∠ACF.∵∠ACB+∠ACF=180∘ ，∴∠ACE+∠ACD=12(∠ACB+∠ACF)=12×180∘=90∘ ，即∠ECD=90∘ .∴∠BEC=∠ECD+∠BDC=90∘+∠BDC.∵AB//CD，BD平分∠ABC，∴∠BDC=∠ABD=∠CBD.∴∠BEC=90∘+∠CBD.（2） 解：∠ADB+∠ABC为定值.根据题意可设∠ABD=∠CBD=α ，则∠ABC=2α .∵AB//CD，CD平分∠ACF，∴∠ABC=∠DCF=∠ACD=∠BAC=2α .∴∠MAC=180∘−∠BAC=180∘−2α .∵AD平分∠CAM，∴∠MAD=12∠MAC=90∘−α .∵∠MAD=∠ABD+∠ADB，∴∠ADB=∠MAD−∠ABD=90∘−α−α=90∘−2α .∴∠ADB+∠ABC=90∘−2α+2α=90∘ .故∠ADB+∠ABC为定值，定值为90∘ .（3） 解：与∠ADB互余的角有∠ABC，∠DCF，∠ACD，∠BAC.25．（1） 证明：∵MN//BC，∴∠AEC=∠BCE.∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE.∴∠AEC=∠DCE.（2） 解：若点D在直线MN上，如图①.∵MN//BC，AC⊥BC，∠ADC=70∘ ，∴∠FCD=∠ADC=70∘ ，∠DAC=∠ACB=90∘ .∴∠ACD=90∘−∠ADC=20∘ ，∠BCD=180∘−∠FCD=110∘ .∵CE平分∠BCD，∴∠ECD=12∠BCD=55∘ .∴∠ACE=∠ECD−∠ACD=55∘−20∘=35∘ .（3） 解：①当点D在直线AC的右边时，如图②.设∠PCB=α ，∠CAQ=β ，∵CE平分∠BCD，AQ平分∠DAC，∴∠PCD=∠PCB=α ，∠CAD=2∠CAQ=2β.∵∠ACB=90∘ ，∴∠PCA=90∘−∠PCB=90∘−α ，∠PAC=180∘−∠CAQ=180∘−β .∴∠ACD=∠PCD−∠PCA=α−(90∘−α)=2α−90∘ .∵∠APC+∠PAC+∠PCA=180∘ ，∠ADC+∠ACD+∠CAD=180∘ ，∴∠APC+180∘−β+90∘−α=180∘ ，∠ADC+2α−90∘+2β=180∘ .∴α+β=∠APC+90∘ ，2(α+β)=270∘−∠ADC.∴2(∠APC+90∘)=270∘−∠ADC.∴2∠APC+∠ADC=90∘ .②当点D在直线AC的左边时，如图③.设∠PCB=α ，∠CAP=β ，∵CE平分∠BCD，AP平分∠DAC，∴∠BCP=∠DCP=α ，∠DAC=2∠CAP=2β.∵∠ACB=90∘ ，∴∠PCA=90∘−∠PCB=90∘−α ，∠ACD=90∘−∠BCP−∠DCP=90∘−2α .∵∠APC+∠PCA+∠CAP=180∘ ，∠ADC+∠ACD+∠DAC=180∘ ，∴∠APC+90∘−α+β=180∘ ，∠ADC+90∘−2α+2β=180∘.∴α−β=∠APC−90∘ ，∠ADC−2(α−β)=90∘ .∴∠ADC−2(∠APC−90∘)=90∘ .∴2∠APC−∠ADC=90∘ .综上所述，∠ADC与∠APC之间的数量关系是2∠APC+∠ADC=90∘ 或2∠APC−∠ADC=90∘ .26．（1） 证明：∵ 在△ABC中，∠ACB=90∘ ,∴∠ABC+∠A=90∘ .∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC=2∠ABD.∴2∠ABD+∠A=90∘ .∴△ABD是“准直角三角形”.（2） ①③[解析]点拨：①∵ 在△ABC中，∠B=70∘ ，∠C=10∘ ，∴2∠C+∠B=90∘ .∴△ABC是“准直角三角形”.∴①正确；②∵∠C>90∘ ，∴2∠C+∠A≠90∘ ，2∠C+∠B≠90∘ ，2∠A+∠C≠90∘ ，2∠B+∠C≠90∘ .∵△ABC是“准直角三角形”，∴2∠A+∠B=90∘ 或2∠B+∠A=90∘ .∵∠A=20∘ ，∴∠B=50∘ 或∠B=35∘ .∴②错误；③设“准直角三角形”的三个内角分别为α ，β 和γ ，且α 与β 满足2α+β=90∘ ，则α+β=90∘−α .∴γ=180∘−(α+β)=180∘−(90∘−α)=90∘+α .∴γ 一定是钝角.∴ “准直角三角形”一定是钝角三角形.∴③正确.（3） 10∘ 或40∘ 或110∘ 或20∘[解析]点拨：如图，当点P1在点B左侧，△ABP1是“准直角三角形”，且2∠BAP1+∠AP1B=90∘ 时，∵∠BAP1+∠AP1B=∠ABC=50∘ ，∴∠BAP1+50∘=90∘ .∴∠BAP1=40∘ .∴∠AP1B=∠ABC−∠BAP1=10∘ ；当点P2在点B左侧，△ABP2是“准直角三角形”，且2∠AP2B+∠BAP2=90∘ 时，∵∠AP2B+∠BAP2=∠ABC=50∘ ，∴∠AP2B+50∘=90∘ .∴∠AP2B=40∘ ；当点P3在点B右侧，△ABP3是“准直角三角形”，且2∠BAP3+∠ABP3=90∘ 时，∵∠ABP3=50∘ ，∴2∠BAP3+50∘=90∘ .∴∠BAP3=20∘ .∴∠AP3B=180∘−∠ABP3−∠BAP3=180∘−50∘−20∘=110∘；当点P4在点B右侧，△ABP4是“准直角三角形”，且2∠AP4B+∠ABP4=90∘ 时，∵∠ABP4=50∘ ，∴2∠AP4B+50∘=90∘ .∴∠AP4B=20∘ .综上所述，∠APB的度数为10∘ 或40∘ 或110∘ 或20∘ .n的值0123456P的值171923