2024-2025学年安徽省合肥市高一上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市高一上册12月月考数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了已知集合均是的子集，若，则，不存在函数，满足，已知全集，集合，则“”是“”的，函数的部分图象大致为，已知，，，已知实数，则下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合均是的子集，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．不存在函数，满足（ ）
A．定义域相同，值域相同，但对应关系不同
B．值域相同，对应关系相同，但定义域不同
C．定义域相同，对应关系相同，但值域不同
D．定义域不同，对应关系不同，但值域相同
4．已知全集，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道宽度，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当时，公式中真数里的1可以忽略不计.按照香农公式，若将带宽变为原来的3倍，信噪比从1000提升到16000，则大约是原来的（ ）倍（其中）
A．4.1B．4.2C．4.3D．4.4
8．已知，，．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二､多项选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.
9．下列关于单调性的表述中，错误的是（ ）
A．，若，则函数在区间上单调递增
B．且，若，则函数在区间上单调递增
C．且，若，则函数在区间上单调递增
D．，若，则函数在区间上单调递增
10．已知实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．下列说法正确的是（ ）
A．若命题，，则的否定为：，
B．若不等式的解集为或，则
C．若对恒成立，则实数的取值范围为
D．定义在上的奇函数､偶函数在上单调递减，则
12．已知，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值是
C．的最小值是8D．的最小值是
三､填空题：本大题共4小题.
13．已知幂函数过点，则不等式的解集为 .
14．已知函数是函数的反函数，则过定点 .
15．已知平面直角坐标系，点在半径为2的圆上，现点从圆与轴非负半轴的交点出发按顺时针方向运动了圆周，则此时点的纵坐标为 .
16．已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为，若，则实数的取值范围是 .（）
四､解答题：本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17．已知函数为偶函数，函数为奇函数，对任意实数恒成立.
(1)计算、的值；
(2)试探究与的关系，并证明你的结论.
18．已知关于的一元二次不等式的解集中有且只有一个元素，
(1)计算的值；
(2)计算的值.
19．已知函数．
(1)若，，解关于的不等式；
(2)若，，求的取值范围．
20．已知常数，函数，
(1)若，求关于的不等式的解集；
(2)若函数至少有一个零点在内，求实数的取值范围；
21．是定义在上的函数，满足以下性质：①、，都有，②当时，．
(1)判断的单调性并加以证明；
(2)不等式恒成立，求的取值范围．
22．已知函数，
(1)试判断函数的单调性（无需证明），若在上的最小值为，求的值；
(2)证明：函数有且仅有一个零点，且.
1．A
【分析】根据交集，补集和包含关系定义即得.
【详解】因为，所以
故选.
2．B
【分析】根据诱导公式即可求解.
【详解】，
故选:B.
3．C
【分析】对于ABD，举例判断，对于C，由两函数相等的条件分析判断.
【详解】对于A，如，满足定义域相同，值域相同，但对应关系不同，所以A错误，
对于B，如，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同，所以B错误，
对于C，当两函数的定义域相同，对应关系相同时，这两函数为相同的函数，所以值域必相同，
所以不存在函数，满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同，所以C正确，
对于D，如，满足定义域不同，对应关系不同，但值域相同，所以D错误，
故选：C
4．C
【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.
【详解】由可得，解得，
所以或，
故选:.
5．C
【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.
【详解】由题可知，的定义域为，
又因为，
所以，为偶函数．
当时，，当时，，当时，.
故选：C．
6．C
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.
【详解】由条件可知，,
故选：C.
7．B
【分析】由即可求解.
【详解】解：当时，，
当时，，
则，
故大约是原来的4.2倍.
故选：B.
8．B
【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.
【详解】∵，∴，
又，∴，
∴．
故选：B．
9．AB
【分析】根据函数单调性的定义逐一判断.
【详解】对于A：仅有两个特殊函数值的大小关系，不满足两个自变量的任意性，故错误；
对于：不满足两个自变量的任意性，故B错误；
对于C：与单调递增的定义吻合，故C正确；
对于：，得，或，
则函数在区间上单调递增，故D正确，
故选:.
10．AB
【分析】利用不等式的性质判断A、C；结合指数函数，对数函数的单调性判断B、D.
【详解】对于，又，
故由不等式的同向可加性可得，故正确；
对于B：，故在R上单调递增，又，
故，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：，
故，
又，故，结合可知，错误，
故选.
11．BC
【分析】结合全称量词命题的否定，不等式的解集及函数的单调性与奇偶性依次判断即可.
【详解】解：对于A：量词任意改成存在，结论否定应是小于等于，故A不正确；
对于B：不等式解集为或，
则方程两根为，且，故，
则，故B正确；
对于C：设函数，则单调递增，
故，对恒成立，则只需，
即，故C正确；
对于D：偶函数在上单调递减，
在上单调递增，
奇函数在上单调递减，
在上单调递减，D错误.
故选：BC.
12．AC
【分析】利用基本不等式判断AC；利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用消元法与基本不等式判断D.
【详解】对于A，，所以，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
对于C，，，
当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由，得，由，得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，矛盾，故等号取不到，故错误，
故选：AC.
易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
13．
【分析】代入法求出，再利用符号法则求解不等式.
【详解】设，则，所以，
，
即，解集为.
故
14．
【分析】首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解
【详解】函数是函数的反函数，
又函数过定点所以函数过定点.
故
15．1
【分析】根据三角函数的定义可得.
【详解】由题意，点顺时针转过了角，
故，
.
故1.
16．
【分析】根据函数的类周期性作出函数的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
【详解】当时，，
则当时，，
当时，，此时，
当时，，此时，
依次类推：作出函数的图象：
的零点转化为函数与的交点的横坐标，作出函数和的图象
由图象知，当时,,，
即是函数在,内的唯一一个根，
则是函数在,内的唯一一个根，
是函数在,内的唯一一个根，
是函数在,内的唯一一个根，
是函数在,内的唯一一个根，
，
，
在,内没有根，则，
故实数的取值范围是
故．
17．(1)，
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性求函数解析式，进而可得结果；
（2）根据（1）中函数解析式分析证明.
【详解】（1）由得，
因为为偶函数，为奇函数，则，
即，解得，，
所以，.
（2）由（1）可知：，，
探究结果.
证明如下：，，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由已知，得，所以，再利用弦化切求值；
（2）先求出，再因式分解求值即可.
【详解】（1）由已知，关于的不等式的解集中有且只有一个元素，
，则.
.
（2），
，
.
19．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）先转化为关于的不等式，然后对进行分类讨论即可；
（2）先求出和，再应用待定系数法求出，最后应用不等式的性质相加即可.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以，
所以，代入可得，
即，即
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
所以当时不等式的解集为，当时不等式的解集为，当时不等式的解集为；
（2），
又因为，令，解得，
而，两式相加可得，所以，
即.
20．(1)
(2)
【分析】（1）然后根据对数的单调性进行求解即可.
（2）函数至少有一个零点在内，化简为在上有解，对和讨论即可.
【详解】（1）当时，函数
或，
即不等式的解集为.
（2）
，
即且，
故至少有一个零点在内，
即在上有解，且，
当时，，不符合题意；
当时，或，，所以，
则
综上所述，实数的取值范围是.
21．(1)单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）判断出在上为增函数，令，可得出，令，可得出，然后任取、且，可得出，利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）将已知不等式变形可得，利用（1）中的结论可得，整理可得对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）函数在上为增函数，证明如下：
令，可得，则，
令，可得，所以，，
任取、且，则，故，
所以，，即，
因此，函数在上为增函数.
（2）由可得，
所以，，整理可得对任意的恒成立，
当时，即，则有，解得，不合乎题意；
当时，则有，解得.
因此，实数的取值范围是.
22．(1)增函数，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数的性质判断单调性和求参数即可.
（2）先利用零点存在性定理确定范围，再证明即可.
【详解】（1）当时，函数是增函数，又函数在上也是增函数，
在上是增函数，（做出判断即可，无需证明）
在上的最小值为，即.
（2）定义域为，在上单调递增，
当时，，函数在上不存在零点.
当时，函数是增函数，，
即，又在上单调递增，
在内存在唯一的零点，且，
此时，故要证，
即证，
即证，
设，则在上单调递减，，
即当时，，，
设，则在上单调递增，，
即，
综上所述，函数有且仅有一个零点，且.