2024-2025学年北京市房山区高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市房山区高二上册期中考试数学检测试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）经过点P（﹣1，0）且倾斜角为60°的直线的方程是（ ）
A．x﹣y﹣1＝0B．
C．D．
2．（4分）圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0的圆心坐标为（ ）
A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）
3．（4分）若M（1，0，1），N（2，m，3），P（2，2，n+1）三点共线，则m+n＝（ ）
A．4B．﹣2C．1D．0
4．（4分）已知直线l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（4分）已知直线y＝kx+2与圆C：x2+y2＝2交于A，B两点，且|AB|＝2，则k的值为（ ）
A．B．C．D．2
6．（4分）圆x2﹣8x+y2+12＝0与圆x2+y2﹣6y﹣7＝0的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
7．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知，＝，＝，＝，则＝（ ）
A．﹣﹣+B．﹣+C．+D．+
8．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线l是底面ABCD所在平面内的一条动直线，记直线A1C与直线l所成的角为α，则sinα的最小值是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+a）2＝2（a∈R）关于直线l：y＝x﹣1对称，过点P（2a，a）作圆C的两条切线PA和PB，切点分别为A、B，则|AB|＝（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）曲线C：x3+y3＝1．给出下列结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；
③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
11．（5分）经过点（3，a），（﹣2，0）的直线与直线x﹣2y+3＝0垂直，则a＝ ．
12．（5分）已知定点B（﹣2，1）和点C（3，2），Rt△ABC以BC为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 ．
13．（5分）由直线y＝x上一点向圆（x﹣4）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为 ．
14．（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是 ．
15．（5分）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：
（ⅰ）为同时与，垂直的向量；
（ⅱ），，三个向量构成右手系（如图1）；
（ⅲ）．
如图2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4．给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④．
其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），线段AC的中点M；
（1）求过M点和直线BC平行的直线方程；
（2）求BC边的高线所在直线方程．
17．（14分）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）与y轴相切．
（Ⅰ）直接写出圆心C的坐标及r的值；
（Ⅱ）直线l：3x﹣4y﹣1＝0与圆C交于两点A，B，求|AB|．
18．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E、F、H分别为AB、BC、D1C1的中点，直线A1D1交平面EFH于点G．
（1）证明：G为A1D1中点；
（2）求异面直线D1F与HE所成角的大小．
19．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点．
（1）求证：BC1∥平面AED1；
（2）求点A1到平面AED1的距离；
（3）直线AA1与平面AED1所成角的正弦值．
20．（15分）已知圆C经过A（2，0），B（0，4）两点，且圆C的圆心在直线x+y﹣6＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线3x+y﹣7＝0与圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，求．
21．（15分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．
答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把正确的答案涂在答题卡中相应的位置。）
1．（4分）经过点P（﹣1，0）且倾斜角为60°的直线的方程是（ ）
A．x﹣y﹣1＝0B．
C．D．
【正确答案】B
【分析】根据点斜式方程和一般式方程即可求出．
解：倾斜角为60°的直线的方程的斜率k＝tan60°＝，
∴经过点P（﹣1，0）且倾斜角为60°的直线的方程是y﹣0＝（x+1），即为x﹣y+＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了点斜式方程和一般式方程，属于基础题．
2．（4分）圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0的圆心坐标为（ ）
A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）
【正确答案】C
【分析】由方程x2+y2﹣2x+4y+3＝0可得（x﹣1）2+（y+2）2＝2，即可得到圆心的坐标．
解：由方程x2+y2﹣2x+4y+3＝0可得（x﹣1）2+（y+2）2＝2，
∴圆心坐标为（1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．
3．（4分）若M（1，0，1），N（2，m，3），P（2，2，n+1）三点共线，则m+n＝（ ）
A．4B．﹣2C．1D．0
【正确答案】A
【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可．
解：因为，，所以，
解得m＝n＝2．故m+n＝4．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：向量的运算，三点共线，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4．（4分）已知直线l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】a＝2时可以推出两条直线平行，两条直线平行时，可得a的值，判断出“a＝2”是“l1∥l2”的充要条件．
解：a＝2时，直线l1：2x﹣2y+1＝0，l2：x﹣y+2＝0，可得两条直线的斜率相同，在y轴的截距不同，所以两条直线平行，
即此时“a＝2”是“l1∥l2”的充分条件；
l1∥l2时，则＝≠，整理可得，解得a＝2，此时a＝2”是“l1∥l2”的必要条件，
综上所述：“a＝2”是“l1∥l2”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充要条件的证法，属于基础题．
5．（4分）已知直线y＝kx+2与圆C：x2+y2＝2交于A，B两点，且|AB|＝2，则k的值为（ ）
A．B．C．D．2
【正确答案】B
【分析】直接利用弦长判定圆心在直线上，利用代入法求出结果．
解：由圆C：x2+y2＝2，得C（0，0），半径r＝，
圆心C到直线l：y＝kx+2的距离d＝．
又|AB|＝2，所以12+（）2＝2，
解得：k＝±．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系的应用，属基础题．
6．（4分）圆x2﹣8x+y2+12＝0与圆x2+y2﹣6y﹣7＝0的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
【正确答案】B
【分析】根据两圆圆心距离与半径和差的关系判断即可．
解：因为圆x2﹣8x+y2+12＝0的圆心为（4，0），半径2，
圆x2+y2﹣6y﹣7＝0的圆心为（0，3），半径4，
则两圆圆心距离为，两圆半径之差为4﹣2＝2，两圆半径之和为4+2＝6，
因为2＜5＜6，所以圆x2﹣8x+y2+12＝0与圆x2+y2﹣6y﹣7＝0的位置关系是相交．
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判断，是基础题．
7．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知，＝，＝，＝，则＝（ ）
A．﹣﹣+B．﹣+C．+D．+
【正确答案】A
【分析】利用空间向量加法法则直接求解．
解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
∵，＝，＝，＝，
∴＝+
＝（+）﹣
＝（﹣+﹣）﹣
＝﹣﹣+
＝﹣﹣+．
故选：A．
【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是基础题．
8．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线l是底面ABCD所在平面内的一条动直线，记直线A1C与直线l所成的角为α，则sinα的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【分析】过点C作l的平行线，过A1作该平行线的垂线，垂足为P，则∠A1CP＝α，则sinα＝，根据|A1P|≥|A1A|可求出结果．
解：如图，过C作l的平行线，过A1作该平行线的垂线，垂足为P，
则∠A1CP＝α，∴sinα＝，
设正方体的棱长为1，则|A1C|＝，|A1P|≥|A1A|＝1，
∴sinα＝≥＝，
当且仅当P与A重合时，取得等号，
∴sinα的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查正方体结构特征、异面直线所成角的定义及正弦值求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+a）2＝2（a∈R）关于直线l：y＝x﹣1对称，过点P（2a，a）作圆C的两条切线PA和PB，切点分别为A、B，则|AB|＝（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【分析】将圆心C的坐标代入直线l的方程，求得a的值，再写出以CP为直径的圆的方程，将其与圆C的方程相减，可得弦AB所在直线的方程，然后根据弦长的计算方法，求解即可．
解：由题意知，C（2，﹣a），
因为圆C关于直线l对称，所以点C在直线l上，即﹣a＝2﹣1，解得a＝﹣1，
所以P（﹣2，﹣1），C（2，1），圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2①，
所以|CP|＝2，线段CP的中点坐标为（0，0），
故以CP为直径的圆的方程为x2+y2＝5②，
因为PA，PB是切线，所以A，B两点也在以CP为直径的圆上，
②﹣①得，弦AB所在的直线方程为2x+y﹣4＝0，
所以圆心C到直线AB的距离d＝＝，
所以|AB|＝2＝．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆与圆的公共弦所在直线方程的求法，弦长的计算公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10．（4分）曲线C：x3+y3＝1．给出下列结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；
③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③
【正确答案】C
【分析】将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y，即有﹣x3﹣y3＝1，则x3+y3＝﹣1，曲线C关于原点不对称；曲线C：x3+y3＝1过点M（x，），M到原点O（0，0）的距离：|MO|＝≥1；曲线C：x3+y3＝1经过（1，0），（0，1）两个整数点．
解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y，即有﹣x3﹣y3＝1，则x3+y3＝﹣1，
所以曲线C关于原点不对称，故①错误；
曲线C：x3+y3＝1过点M（x，），
M到原点O（0，0）的距离：|MO|＝≥1，故②正确；
曲线C：x3+y3＝1经过（1，0），（0，1）两个整数点，故③正确；
故正确的结论的序号是：②③，
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查曲线的对称性、曲线上的点到原点的距离和整点问题等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
11．（5分）经过点（3，a），（﹣2，0）的直线与直线x﹣2y+3＝0垂直，则a＝ ﹣10 ．
【正确答案】﹣10．
【分析】根据题意，由两直线垂直列出斜率的方程计算，即可得到结果．
解：因为经过点（3，a），（﹣2，0）的直线与直线x﹣2y+3＝0垂直，
则，解得a＝﹣10．
故﹣10．
【点评】本题考查了直线与直线垂直与直线斜率的关系，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）已知定点B（﹣2，1）和点C（3，2），Rt△ABC以BC为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 （x﹣）2+（y﹣）2＝（x≠﹣2且x≠3） ．
【正确答案】（x﹣）2+（y﹣）2＝（x≠﹣2且x≠3）．
【分析】设点A（x，y），根据题意利用两点间距离公式求出|BC|，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可知点A的轨迹是圆，然后写出方程即可．
解：设点A（x，y），点D为点B（﹣2，1）和点C（3，2）的中点，
则D，|BC|＝＝，
∵Rt△ABC以BC为斜边，点A为直角顶点，
∴|AD|＝＝，
∴点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分，
∴点A的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝（x≠﹣2且x≠3）．
故（x﹣）2+（y﹣）2＝（x≠﹣2且x≠3）．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，属基础题．
13．（5分）由直线y＝x上一点向圆（x﹣4）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为 ．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】要使切线长最小，必须直线y＝x上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，0）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值．
解：要使切线长最小，必须直线y＝x上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，0）到直线的距离m，
由点到直线的距离公式得m＝＝2，
由勾股定理求得切线长的最小值为＝．
故．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理的应用．
14．（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是 4 ．
【正确答案】4．
【分析】根据已知条件，作出截面图，再结合圆的周长公式和勾股定理，即可求解．
解：作出截面图，如图所示，
则OA＝，
∵截面圆的周长为4π，
∴2π•AB＝4π，解得AB＝2，
∴球的半径R＝＝．
故4．
【点评】本题考查多面体与球的关系，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题．
15．（5分）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：
（ⅰ）为同时与，垂直的向量；
（ⅱ），，三个向量构成右手系（如图1）；
（ⅲ）．
如图2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4．给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④．
其中，正确结论的序号是 ①③④ ．
【正确答案】①③④．
【分析】根据题意，结合“叉乘运算”的定义，依次分析四个结论，综合可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于①，|×|＝||||sin90°＝2×2×1＝4，||＝4，又由与、都垂直且三个向量构成右手系，则，①正确；
对于②，，而×＝，②错误；
对于③，+＝，则有|（+）×|＝|×|＝2×4×1＝8，（+）×方向与相同，
|×|＝2×4×1＝8，×与方向相同，|×|＝2×4×1＝8，且×与方向相同，
故|×+×|＝8，且×+×的方向与+即方向相同，
则有，③正确；
对于④，由于，则（×）•＝•＝4×4＝16，V＝2×2×4＝16，④正确；
故①③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，注意理解“叉乘运算”的定义以及运算性质，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），线段AC的中点M；
（1）求过M点和直线BC平行的直线方程；
（2）求BC边的高线所在直线方程．
【正确答案】（1）x﹣3y+17＝0，
（2）3x+y＝0．
【分析】（1）根据A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），求得点M的坐标，和直线直线BC的斜率，写出直线方程；
（2）根据，得到BC边的高线的斜率，写出直线方程．
解：（1）因为A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），
所以M（1，6），，
所以过M点和直线BC平行的直线方程为，
即x﹣3y+17＝0；
（2）因为，
所以BC边的高线的斜率为﹣3，
所以BC边的高线所在直线方程y﹣9＝﹣3（x+3），
即3x+y＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
17．（14分）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）与y轴相切．
（Ⅰ）直接写出圆心C的坐标及r的值；
（Ⅱ）直线l：3x﹣4y﹣1＝0与圆C交于两点A，B，求|AB|．
【正确答案】（Ⅰ）（2，0），2；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根据已知条件，结合相切的定义，直接求解；
（Ⅱ）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．
解：（Ⅰ）圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）与y轴相切，
则圆心C的坐标为（2，0），半径r＝2；
（Ⅱ）圆心C到直线l的距离d＝，
故|AB|＝．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
18．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E、F、H分别为AB、BC、D1C1的中点，直线A1D1交平面EFH于点G．
（1）证明：G为A1D1中点；
（2）求异面直线D1F与HE所成角的大小．
【正确答案】（1）证明过程见详解；
（2）．
【分析】（1）由正方体的性质及面面平行的性质可得HG∥EF，再由题意可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，由题意可得各点的坐标，分别求出D1F与HE的方向向量的坐标，进而求出这两个向量的夹角的余弦值，可得两条异面直线所成角的余弦值，再求出它们的夹角．
（1）证明：在正方体中，因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1D1交平面EFH于点G，
所以G∈平面EFH，平面A1B1C1D1∩平面EFH＝GH，平面ABCD∩平面EFHE＝EF，
所以HG∥EF，
又因为点E、F、H分别为AB、BC、D1C1的中点，
连接AC，A1C1，可得EF∥AC，且EF＝AC，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以HG∥A1C1，且GH＝A1C1，
所以G为A1D1的中点；
（2）解：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），
C1（0，2，2），可得E（2，1，0），F（1，2，0），H（0，1，2），
可得＝（1，2，﹣2），＝（2，0，﹣2），
所以•＝1×2+2×0+（﹣2）×（﹣2）＝6，||＝＝3，
||＝＝2，
所以cs＜，＞＝＝＝，
设异面直线D1F与HE所成角为θ，θ∈（0，]，
可得csθ＝，
所以θ＝．
即异面直线D1F与HE所成角为．
【点评】本题考查用空间向量的方法求异面直线所成角的大小及面面平行的性质的应用，属于中档题．
19．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点．
（1）求证：BC1∥平面AED1；
（2）求点A1到平面AED1的距离；
（3）直线AA1与平面AED1所成角的正弦值．
【正确答案】（1）证明过程见解答；
（2）；
（3）．
【分析】（1）通过证明四边形ABC1D1是平行四边形得出BC1∥AD1即可证明BC1∥平面AED1；
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面AED1的距离；
（3）利用向量法能求出直线AA1与平面AED1所成角的正弦值．
解：（1）证明：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点，
∴AB∥C1D1，且AB＝C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，
∵BC1⊄平面AED1，AD1⊂平面AED1，
∴BC1∥平面AED1；
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则A1（0，0，2），A（0，0，0），D1（2，0，2），E（0，2，1），
则＝（0，0，2），＝（2，0，2），＝（0，2，1），
设平面AED1的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（2，1，﹣2），
则点A1到平面AED1的距离为：
d＝＝；
（3）平面AED1的法向量为＝（2，1，﹣2），
设直线AA1与平面AED1所成角为θ，
则直线AA1与平面AED1所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．
【点评】本题考查线面平行的判定与性质、线面角、点到平面的距离、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（15分）已知圆C经过A（2，0），B（0，4）两点，且圆C的圆心在直线x+y﹣6＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线3x+y﹣7＝0与圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，求．
【正确答案】（1）（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10；
（2）1．
【分析】（1）求出AB的中垂线方程联立x+y﹣6＝0，即可求得圆心坐标，进而求得半径，可求得圆的方程；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线和圆的方程，可得根与系数的关系式，结合向量的数量积的坐标表示，即可求得答案．
解：（1）因为A（2，0），B（0，4），所以，
线段AB的中点坐标为（1，2），则AB的中垂线方程为，即x﹣2y+3＝0，
故圆C的圆心在直线x﹣2y+3＝0上．联立方程组，解得，
故国C圆心的坐标为（3，3），圆C的半径r＝＝，
则圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组，整理得2x2﹣6x+3＝0，Δ＝12＞0，
则x1+x2＝3，，
故＝x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣3x1+7）（﹣3x2+7）＝10x1x2﹣21（x1+x2）+49＝1．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程的求法，考查向量的数量积的计算，属中档题．
21．（15分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】（I）证明CM⊥AB．CM⊥EA．即可证明CM⊥平面AEM，利用直线与平面垂直的性质定理证明CM⊥EM．
（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M﹣xyz，求出相关点的坐标以及
平面EMC的一个法向量，设面DBC的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．
（Ⅲ）设N（x，y，z），，0≤λ≤1，利用若直线MN与平面EMC所成的角为60°，列出方程求出λ，即可得到点的位置．
（本小题共14分）
（I）证明：∵AC＝BC，M是AB的中点∴CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，CM⊥EA．∵EA∩AB＝A∴CM⊥平面AEM
∴CM⊥EM…（4分）
（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M﹣xyz，
则
设平面EMC的一个法向量，则
取所以
设平面DBC的一个法向量，则
取x1＝1，y1＝1，z1＝0，所以，
所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．…（9分）
（Ⅲ）在棱DC上存在一点N，
设N（x，y，z）且，0≤λ≤1，
，
若直线MN与平面EMC所成的角为60°，则
解得：，所以符合条件的点N存在，为棱DC的中点．…（14分）
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，二面角的平面角以及直线与平面所成角的处理方法，空间向量的数量积的应用．