2024-2025学年北京市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线与平行，则系数（ ）
A．B．C．D．
2．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．在三棱锥中，等于（ ）
A．B．C．D．
4．若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ）
A．1B．4C．1或3D．1或4
5．已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A．B．C．6D．
7．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
8．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.若，，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中是的五等分点，则转播台应建在（ ）
A．处B．处C．处D．处
二、填空题
11．直线与圆的位置关系是 ．
12．已知圆与圆内切，则 .
13．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝ .
14．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .
15．定义：若对平面点集中的任意一点，总存在正实数，使得集合，则称为一个“开集”．给出下列集合：
①；②；
③；④．
其中为“开集”的是 ．
三、解答题
16．已知直线：．
(1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程；
(2)求证：直线恒过定点；
(3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）．
17．已知椭圆及直线．
(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长；
(3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，．点E是棱PA的中点，连接OE，OP．
(1)求证：平面PCD；
(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19．已知圆和圆，直线与圆相切于点，圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为．
（1）求直线的方程；
（2）求圆的方程．
20．椭圆的左顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程.
21．已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数.
（1）若，求集合和，以及的值；
（2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合
①求证：；
②求的最小值.
答案：
1．B
【分析】
由直线的平行关系可得，解之可得．
【详解】
解：直线与直线平行，
，解得．
故选：．
2．A
【分析】根据垂直关系确定斜率，结合圆心坐标并应用点斜式写出直线方程.
【详解】由直线与直线垂直，故所求直线斜率为1，
又经过圆的圆心，故所求直线为，
所以所求直线方程为.
故选：A
3．C
【分析】应用向量加减法法则化简.
【详解】由.
故选：C
4．A
【分析】根据斜率公式即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得，解得.
故选：A.
5．C
【分析】根据椭圆的标准方程，结合，即可求解.
【详解】由条件可知，，，，
所以，得，
故选：C
6．A
【分析】根据线面角定义找到直线与平面所成角的平面角，结合已知求其大小.
【详解】由题设知，直三棱柱底面为等腰直角三角形，且，，
若是中点，连接，则，且，
由面面，面，面面，
所以面，则直线与平面所成角为锐角，
且面，则，
由题意，在中，则，故.
故选：A
7．A
【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
8．A
【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义解出.
【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1，
设圆心到直线的距离为
则，解得：或.
由此可知，“”是“或”的充分不必要条件，
故选：A.
9．B
【分析】将点代入直线方程中得出点为圆上的动点，
结合图像分析即可求出直线的斜率的取值范围.
【详解】因为点在直线上，
所以，
即，
则表示圆心为，半径为1的圆上的点，
如图：

由图可知当直线与圆相切时，直线的斜率得到最值，
设，
由圆与直线相切，故有圆心到直线的距离为半径1，
即，
解得：，
由图分析得：直线的斜率的取值范围是.
故选：B.
10．A
【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设转播台建在处，可将表示为的形式，即，由此可确定当且时距离平方和最小，由此可确定转播台位置.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，.
设转播台建在处，
则，
当且时，最小，
转播台应建在处.
故选：A.
11．相离
【分析】确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心与直线距离，并与半径比大小，即可得答案.
【详解】由的圆心为，半径为1，
圆心到的距离，
所以直线与圆相离.
故相离
12．
【分析】利用两圆内切的定义表达式即可求得.
【详解】由圆知圆心为半径为由圆知圆心为,半径为
因两圆内切，故，即，解得：
故
13．-2
【详解】经分析知，直线经过圆C的圆心，而圆C的圆心坐标为，所以有．
14．
【详解】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
15．②④
【分析】根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案.
【详解】①表示以原点为圆心，1为半径的圆，
则在该圆上任意取点，以任意正实数为半径的圆面，
均不满足故①不是开集；
②，在平面点集中的任取一点，
设该点到直线的距离为，取，
则满足，故该集合是开集；
③，在曲线任意取点，以任意正实数为半径的圆面，
均不满足，故该集合不是开集；
④，表示以点为圆心，为半径除去圆心和圆周的圆面，
在该平面点集中的任一点，则该点到圆周上的点的最短距离为，取，
则满足，故该集合是开集．
故②④.
本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的定义是解决本题的关键．
16．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程；
（2）将直线写成，可求定点，即可证；
（3）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程.
【详解】（1）由题设，令是关于的对称点，
则，可得，故，
由题意，反射光线过和原点，
所以反射光线所在直线方程为.
（2）由直线可改写为，联立，可得，
将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证.
（3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时，
由，则，故，整理得.
17．(1)；
(2)；
(3)且.
【分析】（1）联立椭圆与直线得一元二次方程，利用求参数范围；
（2）根据题设条件求交点坐标，利用两点式求弦长；
（3）应用韦达定理求中点坐标，即可得轨迹方程.
【详解】（1）联立直线与椭圆，可得，
整理得，
由直线与椭圆有公共点，故，可得.
（2）由题设及（1），联立直线与椭圆得，则或，
而直线为，当有，当有，
所以弦长为.
（3）由（1）有，令直线与椭圆交点为，
所以，则，故中点坐标为，
由，则，
所以弦的中点的轨迹方程为，即且.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；
(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解.
【详解】（1）因为底面是菱形，所以是中点，
因为E是棱PA的中点，所以，
又因为平面PCD, 平面PCD,
所以平面PCD.
（2）选择条件①:
因为，是的中点，所以,
因为平面平面,平面平面,
平面，
所以平面，因为平面，所以，
又，所以两两垂直，
以为原点建立空间直角坐标系,
因为菱形的边长为2，
所以,
所以设
所以，
设为平面的一个法向量，
由得所以
取，所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为,
平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,
所以，所以
所以，所以，因为，所以，所以.
所以线段OP的长为.
选择条件②:
因为.在菱形中，，
因为平面平面,
所以平面,
因为平面，所以，因为,
所以两两垂直，
以为原点建立空间直角坐标系,
因为菱形的边长为2，
所以,
所以设
所以，
设为平面的一个法向量，
由得所以
取，所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为,
平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,
所以，所以
所以，所以，因为，所以，所以.
所以线段OP的长为.
19．（1）；（2）
【分析】（1）由题可求得切线的斜率，利用点斜式求直线方程即可；
(2)设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，结合勾股定理求得圆心坐标，进而求得半径，得出圆的方程.
【详解】（1）由题意知：直线过点，且斜率为 -1，
故直线的方程为
（2）根据题意设：的圆心坐标为
圆的半径， 圆心到直线的距离为
，
解得：（舍）或 ．
圆的半径 圆心
圆的方程为
20．(1)；
(2)或
【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；
（2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长，由求出，即可求得直线的方程.
【详解】（1）由题意知：，则，故椭圆的方程为；
（2）
设，又，故，又直线经过点，故的方程为，
联立椭圆方程可得，显然，，
则，
又，由，可得，
解得或，
故直线的方程为或.
21．（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①见解析；②
【分析】（1）直接根据定义求解即可；
（2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可，当，且时，可通过得证；
②结合①知，讨论若，或，得，若，且，设，，可证得的最小值是
【详解】（1）根据定义直接得X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3.
（2）①显然.
若A∪B中含有一个不在S中的元素，则，即
.
若，且，则
此时A中最小的元素，B中最小的元素，
所以C中最小的元素.
所以.
因为，
所以，即.
综上，.
②由①知.
所以
若，或，则
若，且，设，
且，，
则，
若，
因为，
所以这个数一定在
集中C中，且均不等于1.
所以
所以
当，时，
所以的最小值是
关键点点睛：本题的第三问较难，解题的关键是由①得，进而进行分情况讨论可得解.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
A
C
A
A
A
B
A