2024-2025学年北京市高一上册12月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市高一上册12月月考数学检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．设全集为，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，下列区间中含有零点的是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．命题“，使得”是真命题
B．若，则“”是“”的充要条件
C．当时，方程恰有四个实根
D．命题“”的否定为“”
8．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）
A．B．C．D．
9．已知是函数的图像上的相异两点，若点到直线的距离相等，则点的横坐标之和的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11．不等式的解集为 ．
12．已知幂函数的图象经过点，那么 .
13．已知函数为偶函数，且定义域为，则
14．已知函数有唯一零点，则实数的值是 .
15．设函数
①当时， ；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．计算：
(1)
(2)
17．已知函数，且.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明.
(3)求不等式的解集.
18．已知函数的定义域为，其图象关于原点对称．当时，.
(1)求函数的解析式.
(2)求不等式的解集.
(3)设函数其中的定义域为集合，若，求实数的取值范围.
19．已知函数.
(1)求函数的定义域.
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.
(3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．集合由有限个实数组成，定义集合的离距如下：实数轴上，集合中的每个实数对应一个点，实数对应的点与所有这些点的距离的算术平均数记为，称函数的最小值为集合的离距，记为.例如，集合的离距是0，集合的离距是2.
(1)分别求出集合的离距；
(2)求数集的离距；
(3)已知非空数集满足，试写出一个关于的大小关系的等式或不等式，并给出证明.
1．A
【分析】利用集合的补集和交集运算求解.
【详解】解：因为全集为，，
所以，
又，
所以，
所以，
故选：A
2．D
【分析】利用函数的奇偶性，排除BC，再结合函数的单调性，排除A.可得正确结果.
【详解】对A：，所以为奇函数，
又与都是上的增函数，所以是上的增函数，故A错；
对B：，故为偶函数，故B错；
对C：的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故C错；
对D：，所以为奇函数，
又为上的增函数，所以是上的减函数，故D对.
故选：D
3．C
【分析】
由偶函数性质以及对数运算即可求解.
【详解】已知是定义在上的偶函数，当时，，则.
故选：C.
4．D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出的范围，即可解出．
【详解】因为，，，所以．
故选：D．
5．D
【分析】
利用零点存在性定理分析判断即可
【详解】因为在上单调递增，在和上单调递增，
所以在和上单调递增，
当时，，所以在上无零点，
因为，，，
所以在区间有零点，
故选：D
6．A
【分析】由解析式判断奇偶性及的符号，即可确定图象.
【详解】由且定义域为，
所以为奇函数，排除C、D；
又，排除B.
故选：A.
7．C
【分析】
对于A，对代数式配方后分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于C，令，，作出两函数的图象，结合图象分析判断，对于D，根据命题的否定的定义分析判断.
【详解】对于A，因为，所以命题“，使得”是真命题，所以A正确，
对于B，时，在上递增，所以当时，有，反之也成立，
所以若，则“”是“”的充要条件，所以B正确，
对于C，令，，的图象如图所示，
由图可知当时，两函数图象有4个交点，此时方程恰有四个实根，
当时，两函数图象有2个交点，此时方程恰有两个实根，所以C错误，
对于D，命题“”的否定为“”，所以D正确，
故选：C
8．B
【分析】设燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度达到，根据题意得到，列出方程，即可求解.
【详解】设燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度达到，
根据题意得，
所以，所以，
可得，所以，
即要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为.
故选：B.
9．D
【分析】
根据题意，得到，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】不妨设，且，
根据题意，可得，可得，
由基本不等式，可得，可得，解得，
即点的横坐标之和的取值范围是.
故选：D.
10．B
【分析】存在，使，则函数图象上存在两点关于原点对称，所以只要把的图象关于原点对称后与射线有公共点即可.
【详解】由题意可知，若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点，
当时，，将其图象关于原点对称，如图，所得图象的解析式为
，
所以只要射线与的图象有公共点即可，
图中射线与的图象相切，
由，得，
由，得，
由图象可知，
所以，即实数的取值范围为，
故选：B
关键点点睛：此题考查新定义问题，考查函数与方程的综合问题，解题的关键是问题的转化，题中新概念“优美点”，转化为函数图象上存在关于原点对称的点，再转化为射线与的图象有公共点即可，考查转化能力和数形结合的思想，属于较难题.
11．
【分析】将原不等式等价转化为，然后解该二次不等式可得出结果.
【详解】不等式等价于，解得，
因此，不等式的解集为，故答案为.
本题考查分式不等式的解法，解题的关键就是将分式不等式化为标准形式，转化为整式不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.
12．
【分析】
先将点代入函数求出，进而可得.
【详解】将点代入得，
所以.
所以.
故答案为.
13．
【分析】由函数的定义域关于原点对称可求得的值，再由函数为偶函数可求得的值，由此可求得的值.
【详解】由于函数为偶函数，且定义域为，
则，解得，
由，可得，
对任意的恒成立，可得，即，
因此，.
故答案为.
14．2
【分析】利用换元法把原函数转化为一个偶函数，因为偶函数图象的对称性，函数只有一个零点，必有，可求的值.
【详解】设，则原函数可化为：，
因为，所以为定义在上的偶函数.
原函数只有唯一零点，转化为有唯一零点，又的图象关于轴对称，
所以只有.
故
15．
【分析】
由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围.
【详解】当时，，
所以，
所以，
令，可得
当时，，
所以或，
当或时，方程在上有唯一解，
当或时，方程在上的解为或，
当时，，
所以当时，，
当时，方程在上无解，
综上，当时，函数有两个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点，
因为恰有2个零点，所以或，
所以a的取值范围是.
故；.
16．(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，结合指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；
（2）根据题意，结合对数的运算法和运算性质，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：由指数幂的运算性质，可得
.
（2）解：由对数的运算性质，可得
17．(1)
(2)在上的单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）由可求得的值；
（2）任取，且，然后计算变形，再判断符号，可得结论；
（3）由的单调性，将问题转化为，再令，可得，求出的范围，从而可求得的范围.
【详解】（1）由，得，则.
（2）在上的单调递减．证明如下：
任取，且，则
，
∵，且，
，
∴，即，
在上单调递减.
（3）由（2）可得，在上单调递减，而，
则由可得，
令，可得.
解得：或.
所以或.
不等式的解集为
18．(1)
(2)
(3)
【分析】由时，，根据为奇函数，求得，结合，即可求得函数的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，结合对数的运算法则，准确运算，即可求解；
（3）根据函数的解析式，求得函数的定义域，结合
可得，即，，即可求解.
【详解】（1）解：因为函数的定义域为，其图象关于原点对称，
当时，.
当时，，则，
因为为奇函数，所以，可得，
即，
综上可得，函数的解析式为.
（2）解：当时，，解得；
当时，，解得，
当时，不等式成立.
综上可得，不等式的解集为
（3）解：由函数的定义域，
可得，即，
又因为，所以的定义域，
又因为，所以，且
所以实数的取值范围是.
19．(1)
(2)函数为非奇非偶函数，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得出不等式组，即可求解；
（2）根据函数的定义域的不关于原点对称，即可得到结论；
（3）根据题意，转化为，根据函数的单调性，求得，得到，
法一：转化为，令，求得，即可求解；
法二：分，和，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，
解得，所以函数的定义域为.
（2）解：因为的定义域为，不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数.
（3）解：由“对，不等式恒成立”，
可得，
当时，
由在上单调递减，，
根据题意得，对
法一：可转化为，
令，由在上单调递减得，可得，
实数的取值范围为.
法二：设函数，
①当，即时，在上单调递减，
可得，解得，则；
②当，即时，在上单调递增，
可得，解得，则；
③当，即时，在先减后增，
可得，解得，所以，
综上，实数的取值范围为.
20．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）先根据题目条件理解集合离距的概念，得出，代入计算即可；
（2）根据上述公式，代入计算；
（3）例如，集合的元素个数都是偶数时，，否则.依据定义证明即可.
【详解】（1）首先，单元素数集的离距都是0；
两元素数集的离距等于大数减去小数的差的一半；
三元素数集的离距等于最大数与最小数的差的三分之一.
理由及更一般的情况如下.
一般地，记，
则的最小值就是离距.
当时，；
当时，，
当仅当时取等号，故；
当时，，
当仅当时取等号，故当时最小（等于），
故
更一般地，
由，
当或者时取等号，
知
当时取等号.
故
所以：；
（2）由（1）知：不妨设，则；
（3）例如：集合的元素个数都是偶数时，，
反证：假设.
不妨设
，
，
=
又
故，
这与事实矛盾.故假设不成立，原命题正确.