2024-2025学年福建省泉州市高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省泉州市高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在直角坐标系中，在轴上截距为且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
3．两条直线，，若，则的值是（ ）
A．0B．1C．1或0D．0或
4．在斜三棱柱的底面中，，，，则线段 的长度是（ ）
A．B．3C．D．4
5．已知点，，直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．P是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（ ）
A．60°B．30°C．120°D．150°
7．如图，在四面体中，平面，，，E为AB的中点，为DB上靠近的三等分点，则直线DE与CF所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为，（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围为
B．直线恒过定点
C．圆与圆的公共弦所在直线方程为：
D．圆上有且仅有1个点到直线的距离等于1
10．下列说法命题正确的是（ ）
A．已知，，则在上的投影向量为
B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
D．若向量（，，是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B．当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，PF长度的最小值是
D．使直线AP与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________．
13．如图，已知二面角的大小为60°，，，，，，且，，则___________．
14．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数x，y满足，则的最小值为___________，的最大值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过驻或演算步骤．
15．（本小题13分）已知顶点，，．
（1）求边BC上的高所在直线的方程；
（2）若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程
16．（本小题15分）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，，．
（1）求证：；
（2）求直线AE与平面所成角的正弦值．
17．（本小题15分）已知圆过，两点，且圆心0在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆C交于A、B两点，在直线上是否存在定点D，使得直线AD、BD的倾斜角互补？若存在，求出点D的坐标：若不存在，说明理由．
18．（本小题17分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面内的射影为．
（1）求证：平面；
（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；
（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围．
19．（本小题17分）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的k倍的动点轨迹为二次曲线（在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线）常数k的大小和直线的位置等决定了曲线的形状．为了研究方便，我们设平面内三条给定的直线为，当三条直线中有相交直线时，记，，，动点到直线的距离为，且满足阅读上述材料，完成下列问题：
（1）当，时，若，且与的距离为2，点在与之间运动时，求动点的轨迹所围成的面积．
（2）若是等腰直角三角形，是直角，点在内（包括两边）运动，试探求为何值时，P的轨迹是圆？
（3）若是等腰三角形，，点在内（包括两边）任意运动，当时，问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点，使为大于1的定值．若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．
数学答案
12．13．14．；2
8．【解】由题意可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，则，，即，
设点关于直线对称的点为，则，解得，即，因为，则，所以的最小值为．故选：D．
11．【解】对于A：的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，
所以三棱锥的体积的体积不变，且，所以A正确；
对于B：以为原点，DA，DC，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，，，设，，则，，
设直线与所成角为，则，
因为，当时，可得，所以；
当时，，由，所以，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确；
对于C，由，，，，设，，，则，，．
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，，所以，
因为平面，所以，可得，
所以，
当时，等号成立，所以C错误．
对于D：因为直线AP与平面所成的角为45°，由平面，得直线AP与所成的角为45°，若点在平面和平面内，因为，，故不成立；
在平面内，点的轨迹是；在平面内，点的轨迹是；在平面时，作平面，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确；故选：ABD．
14．【解】得，令，则直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离为，解得，所以的最小值为可以看作点到直线的距离与它到A（1，0）距离比值的2倍，设过点A（1，0）的直线与圆相切于点，此时取到最大值．设直线方程为，由，，解得，结合图形可知，代入联立后的方程可得切点，代入可得的最大值为2．故；2．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解】【小问1详解】由、，且，
所以其垂直斜率满足，即，
所以边BC的高所在直线的方程为，即；
【2解】当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或．
16．【解】（1）因为四边形为矩形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以．
（2）取AD的中点O，BC的中点M，连接OE，OM，
则，由，得，且，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
由平面，得，建立如图空间直角坐标系，
，，，，，，
则，，．
设为平面的一个法向量，
则，令，得，，所以，
，
设直线AE与平面所成角为，则，
所以直线AE与平面所成角的正弦值为．
17．【解】（1）由题总得MN的中点E的坐标为，直线MN的斜率为，
因为，所以直线CE的斜率为1，
所以直线CE的方程为，即，
解方程组得，故，
所以图的半径，所以圆的方程为．
（2）由消去整理得，
可得，设，，则，（*）．
设，则，（，分别为直线AD，BD的斜率）．
因为直线AD，BD的倾斜角互补，所以，
即，即，
即，将（*）式代入得，
整理得对任意实数恒成立，故，解得，
故点的坐标为．所以在直线上存在定点满足条件．
18．【解】（1）连接，因为为等边三角形，为AC中点，则，
由题意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，
则平面，可得，
由题设知四边形为菱形，则，
因为D，E分别为，中点，则，可得，
且，，．平面，所以平面．
（2）在平面内的射影为D，所以平面，由题设知四边形为菱形，D是线段AC的中点，为正三角形，由平面，平面，可得，，
又因为为等边三角形，为AC中点，所以，则以为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，，可得，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，可得，
所以点到平面的距离为．
（3）因为，，
设，，则，
可得，，，即，可得，
由（2）知：平面的一个法向量
设平面的法向量，则，
令，则，，可得；
则，
令，则，可得，
因为，则，可得，
所以锐二面角的余弦值的取值范围为．
19．解：（注意不同建系）（1）以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，，
设，因为在，之间，所以，，，
由定义得，所以，化简得，
表示以为圆心，1为半径的圆：所以动点的轨迹围成的图形面积；
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系．
设，点（且），则，，，，代入坐标得：，
化简整理：①，
当时，方程①没有xy项，此时方程①为：．
即，此方程表示圆心为，半径为的圆，所以当时，的轨迹是圆．
（3）以为坐标原点，的角平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，，点，
先求点的轨迹方程：由，，，
因为在内部，所以，得，同理：，
当时，得，化简整理得：，②
假设存在点，满足条件，则，③
由②得：，代入③得，
要使此式为定值，则，化简得，故存在点，即点为与的角平分线的交点，即点为BC中点，此时．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
C
A
A
A
D
D
BC
ACD
ABD