2024-2025学年湖北省黄石市高二上册12月联考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省黄石市高二上册12月联考数学检测试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l经过点，且它的一个方向向量为，则直线l的方程为
A. B. C. D.
2.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知圆C的方程为，若点在圆外，则m的取值范围是
A. B.
C. D.
4.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点，其中平面，，则该球的表面积为
A. B. C. D.
5.若复数为虚数单位，则的最大值是
A. B. C. D.
6.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为
A. B. C. D.
7.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
8.如图所示，P是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左、右焦点，A为右顶点，圆C是的内切圆，设圆与分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 经过任意两个不同的点，的直线都可以表示为
B. 不经过原点的直线都可以用方程表示
C. 直线的倾斜角越大，则其斜率越大
D. 直线的倾斜角的取值范围是
10.如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是
A. 若平面，则最小值为1
B. 若平面，则，
C. 若，则P到平面的距离为
D. 若，时，直线DP与平面所成角为，则
11.已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，P在第一象限，Q在第四象限，则
A. 该双曲线的渐近线方程为
B. 若，则P到x轴的最大距离为
C. 若，则的周长为20
D. 点P到两条渐近线的距离之积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆及直线，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 .
13.已知抛物线的焦点为F，Q为圆上的动点，P为C上的动点，则的最小值为 .
14.已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，P是C在第一象限的图象上的点，记，，，若，则椭圆C的离心率 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知动点M到定点的距离与到定点的距离之比为
求动点M的轨迹的方程；
过点作曲线的切线l，求切线l的方程．
16.本小题15分
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，满足
求A；
若角A的平分线交边BC于点D，AD长为2，求的面积的最小值．
17.本小题15分
如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面
求证：
求平面SBC与平面SDC夹角的正弦值.
18.本小题17分
甲、乙、丙三位羽毛球爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率
请帮助甲进行第一局的决策甲乙、甲丙或乙丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大．
19.本小题17分
对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
根据上述材料回答下面问题：
已知椭圆，右焦点，点在椭圆C上，已知点G是直线上的一个动点，点G对应的极线与椭圆交于点A，
若，，，证明：极线AB恒过定点；
在的条件下，若该定点为极线AB的中点，求出此时的极线方程；
若，，，极线AB交椭圆C于A，B两点，点A在x轴上方，点P、Q分别是椭圆C的左、右顶点，直线AQ、直线BP分别交y轴于M、N两点，点O为坐标原点，求的值.
答案和解析
1.答案：C
解析：
解：因为直线l的一个方向向量为，
所以，
则直线 l的方程为 ，即，
故选：
2.答案：B
解析：
解：若方程表示椭圆，
则满足，即，
即且，此时成立，即必要性成立;
当时，满足，
但此时方程等价为，
表示的曲线为圆，不是椭圆，即充分性不成立；
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：
3.答案：D
解析：
解：由题意可得且，
解得或，
故选
4.答案：A
解析：
解：如图所示：
取BC的中点D，PA的中点E，设球的球心为O，
由于平面ABC，，，，
则，，
过点D作平面ABC，过点E作AP的垂直平分线与DO交于点O，
故点O为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的半径，
所以，
故选：
5.答案：D
解析：
解：由复数的几何意义可知，表示的点在单位圆上，
而表示该单位圆上的点到复数表示的点Z的距离，
而为坐标原点，单位圆的半径为1，
故的最大值为：
故选：
6.答案：A
解析：
解：点F为椭圆C：的左焦点，
，设椭圆C的右焦点为，易知，
点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，
，，
，
又，
，即的最大值为，
此时Q，，P共线且在线段QP上．
故选：
7.答案：B
解析：
解：由题意可知，基本事件的总数为，
甲所包含的情况有，，，，，，
乙所包含的情况有，，，，，，
丙所包含的情况有，，，，，
丁所包含的情况有，，，，，，
甲 ，乙，丙，丁，
甲丙，甲丁 ，乙丙，丙丁，
有甲丁甲丁，
事件甲与事件丁相互独立.
故选：
8.答案：D
解析：
解：设圆C与x轴相切于，
由题意可知，，，
所以，
则，
即，即，
所以点A为圆C与x轴的切点，
设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，
因为，所以，
于是，
因为是的角平分线，
所以，
所以，
即直线 的斜率为
故选：
9.答案：AD
解析：
解：对于A，经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示，故A正确；
对于B，不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程表示，故B错误；
对于C，倾斜角为的直线斜率大于倾斜角为的直线斜率，故C错误；
对于D，直线的斜率，则，即，则 故D正确.
故选：
10.答案：BC
解析：
解：连接，， BP，，以 D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，
可得，，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
令，则
则，即，
对于A，若平面，则，，
所以，
所以，，当且仅当时取到最小值，A错误;
对于B，因为平面，所以与共线.
又，，
所以，可以得到，，B正确;
对于C，若，则，则，
则P到平面的距离为，C正确;
对于D，若时，，，
则，
当时，
当时，
综上，，D错误.
故选：
11.答案：ACD
解析：
解：对选项由双曲线的方程为知，其渐近线方程为，故A正确;
对选项设，，又，
则，
即，解得，到x轴的最大距离为，故B错误;
对于C，由双曲线的定义得：
，
所以，
故的周长为，故C正确;
对于D，设，可得，由双曲线的渐近线方程为，
可得点P到两渐近线的距离之积为，故D正确.
故选：
12.答案：
解析：
解：根据题意，直线l：，可化为直线l：，
则不论a取何值，直线l恒过定点，记此定点为点P，即，
又由，得点在圆C内，
故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，
可知圆C：的圆心为，
所以，则，
故直线l的方程为：
故
13.答案：3
解析：
解：圆的圆心为，半径为2，
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为N，如图所示：
由抛物线的定义可知：，
则，
所以当M，Q，P，N共线且Q在M，P之间时，取得最小值
故
14.答案：
解析：
解：设点，则，，且，
可得，易知点、，
所以，，
则，
，
，
所以，
所以，则，可得
故
15.答案：解设，由题意得，即，
化简得，
所以动点M的轨迹的方程为；
由知化为标准方程为，圆心为，半径，
若切线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，即直线l方程为，
因为直线l与圆相切，所以，解得，
所以直线l的方程为，
若切线l的斜率不存在，则
所以直线l的方程为或
解析：本题考查与圆相关的轨迹问题，圆的切线方程，属于中档题.
设，根据题中几何关系得，再利用两点间距离公式从而可求解；
由求出圆心，半径，设出直线方程，再结合直线与圆相切从而可求解.
16.答案：解：因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，故
平分，
，
，
，
即，
，
由基本不等式可得：
，得，当且仅当时取等号，
，
即的面积的最小值为

解析：本题考查了向量平行坐标计算，正弦定理、基本不等式求最值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
由得出等式，再由正、余弦定理即可解出；
把的面积用等积法表示可得关系，再利用基本不等式得出bc的最小值，即得面积最小值．
17.答案：解：证明：因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，，所以平面SAB，又因为平面SAB，所以；
取AB中点O，为等边三角形且垂直于底面，交线为AB，则，与同理得平面ABCD，又因为，，，可设，则以O为坐标原点，过点O与BC平行的直线为y轴，分别以OB、SO所在直线为x轴和z轴，建立空间直角坐标系，
得，，，，，，；
设平面SBC的一个法向量为，则，
即，可取；
设平面SCD的一个法向量为，则，
即，可取，设平面SBC与平面SDC夹角为，则，
所以平面SBC与平面SDC夹角的正弦值为
解析：本题考查了线线垂直的判定，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.
根据线面垂直的性质可证；
建立空间直角坐标系，分别求出平面SBC与平面SDC的一个法向量，根据平面与平面所成角的向量求法可求.
18.答案：解：若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为，
②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为，
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为 ；
若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
所以甲能获得冠军的概率为，
若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为
，
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，
则甲获得冠军的概率即第问的结果，
因为，
所以甲第一局选择和乙比赛，最终获得冠军的概率最大.

解析：本题主要考查相互独立事件同时发生得概率，概率的基本性质，属于中档题.
若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，分别求出概率，再相加即可；
分别求出甲能获得冠军的概率，若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率，若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率，即第问的结果比较大小得出结果.
19.答案：解：右焦点，，，
由，，，
即，
椭圆的标准方程为
点G在直线上，
设，根据阅读材料可得极线AB为：，
则由，定点为
若定点为AB的中点，设，，
则由点差法可得，
所以极线方程为：经检验符合题意
由题意，设则极线AB为：即，
由
设，，
由韦达定理可得，，则，
直线，得，
直线，得，

解析：本题主要考查椭圆标准方程，直线过定点问题，直线与椭圆的位置关系，属于中档题.
由，过点可得椭圆标准方程，结合题中所给材料可得极线AB为：，由可得定点；
由点差法及点斜式可得极线方程；
联立椭圆与直线方程，由根与系数关系可得的值.