2024-2025学年江苏省南京市高二上册期末数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高二上册期末数学检测试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（ ）.
A 1B. 2.C. 3D. 5
3. 已知，记在处的切线为，则过与垂直的直线方程为（ ）.
A B. C. D.
4. 已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）.
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切
5. 数列满足，则数列的前8项和为（ ）.
A. 63B. 127C. 255D. 256
6. 已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（ ）．
A B. C. D. 4
7. 已知函数，则的最大值为（ ）.
A. 2B. C. D.
8. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（ ）.
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）.
9. 已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（ ）.
A. B.
C. D.
10. 已知数列的前项和为，下列命题正确的有（ ）.
A. 若为等差数列，则一定是等差数列
B. 若为等比数列，则一定是等比数列
C. 若，则一定是等比数列
D. 若，则一定是等比数列
11. 下列不等式恒成立的有（ ）.
A. 当时，
B. 当时，
C. （其中，为自然对数的底数）
D. 当时，
12. 已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则值可能是（ ）.
A. 1B. 3C. 4D. 5
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为_________．
14. 已知在处取得极小值，则实数的值为_________．
15. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为____________.
16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则_______．
四、解答题（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.
（1）求抛物线方程；
（2）直线与拋物线相交于两点，求的长.
18. 已知数列的前项和为，且_________.
在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和，求证.
19. 已知函数
（1）若，求函数的单调减区间；
（2）若在上单调递减，求实数的取值范围.
20. 已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切.
（1）求直线的方程；
（2）若直线与双曲线交于另一点求的面积.
21. 已知正项数列满足，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若的前项和为，求.
22. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值.
2024-2025学年江苏省南京市高二上学期期末数学检测试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围.
【详解】依题意，解得或
故选：D
2. 已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（ ）.
A. 1B. 2.C. 3D. 5
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差与首项的关系即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，
整理得，则，所以的公比.
故选：C
3. 已知，记在处的切线为，则过与垂直的直线方程为（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出与其垂直的直线方程.
【详解】由，求导得，则切线的斜率为，
因此过与垂直的直线斜率为1，方程为.
故选：A
4. 已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）.
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切
【正确答案】A
【分析】求出圆心到直线的距离的表达式，再由在圆外，求出，与的关系，进而求出 与的关系，判断出直线与圆的位置关系．
【详解】因为点在圆外，所以可得，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交．
故选：A．
5. 数列满足，则数列的前8项和为（ ）.
A. 63B. 127C. 255D. 256
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，求出数列的特征，再利用等比数列前n项和公式计算即得.
【详解】由，得，
因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，
数列的前8项和为.
故选：C
6. 已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（ ）．
A. B. C. D. 4
【正确答案】C
【分析】根据题意画出图形，由数形结合即可求点到直线距离的最大值.
【详解】依题意，所以，
因为为的中点，所以，
如图所示，过点作直线的垂线，垂足为，
连接，则圆心到直线的距离为，
因为当且仅当三点共线时等号成立，
所以，
所以的最大值为.
故选：C

7. 已知函数，则的最大值为（ ）.
A. 2B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求导，根据导函求解函数的单调性，即可求解最值.
【详解】，
由于，则，
令,即，解得，,即，解得，
因此在单调递增，在单调递减，
故，
故选：B
8. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据双曲线的定义以及三角形的面公式可以得到为直角三角形，进而由勾股定理可以求解.
【详解】由双曲线的定义可知得
因，，
设，则，
，
，
为直角三角形
，
，即，
，
故选：D
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）.
9. 已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（ ）.
A. B.
C. D.
【正确答案】AD
【分析】根据给定条件，按直角顶点为点和焦点分类求出点坐标.
【详解】椭圆的焦点，设，
由为直角三角形，则直角可能为
若为直角，则，由，得；
若为直角，则，由，得；
若为直角，则在圆上，
由，解得，
所以点坐标可能是AD.
故选：AD
10. 已知数列的前项和为，下列命题正确的有（ ）.
A. 若为等差数列，则一定是等差数列
B. 若为等比数列，则一定是等比数列
C. 若，则一定是等比数列
D. 若，则一定是等比数列
【正确答案】AC
【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解A，举反例即可求解BD，根据的关系，结合等比数列的定义即可求解C.
【详解】对于A，设等差数列的公差为，则，
则，
同理可得，
所以，所以，，仍为等差数列，故A项正确；
对于B,取数列为，1，，1，，，，不能成等比数列，故B项不正确；
对于C，由可得时，，相减可得（），
由可得，因此对任意都成立，故是等比数列，C正确，
对于D，由可得，相减可得，若，不是等比数列，故D错误．
故选：AC．
11. 下列不等式恒成立的有（ ）.
A. 当时，
B. 当时，
C. （其中，为自然对数的底数）
D. 当时，
【正确答案】ABD
【分析】分别构造，，，，即可利用导数求解单调性得解.
【详解】对于A，令，则，故在单调递增，故，故，A正确，
对于B，设，则当时在1,+∞单调递减，
当时，在0,1单调递增，故，故，B正确，
对于C，令, ，当在0,+∞单调递增，
当在单调递减，所以，故，故C错误，
对于D，令，则，
故在1,+∞单调递增，故，故，D正确，
故选：ABD
12. 已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（ ）.
A. 1B. 3C. 4D. 5
【正确答案】CD
【分析】根据抛物线的定义及圆的性质求出的最小值即可.
【详解】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1，
过点作于，设点，，，
，
当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立，
，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，AB不可能，CD可能.
故选：CD
关键点点睛：关键是能够将所求式子表示为关于某一变量的函数的形式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为_________．
【正确答案】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及圆的性质求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由在椭圆上，得，解得，，
则椭圆的焦点，，
因此，
当且仅当分别为线段的延长线与圆的交点，
所以的最大值为.
故
14. 已知在处取得极小值，则实数的值为_________．
【正确答案】1
【分析】根据给定条件，求出导数进而求出值，再验证即可.
【详解】由，求导得，由在处取得极小值，
得，解得，此时，
当时，，当且仅当时取等号，当时，，
因此是函数的极小值点，所以.
故1
15. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为____________.
【正确答案】
【分析】根据的关系即可作差求解.
【详解】由可得，
两式相减可得，
当时，，
故，
故
16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则_______．
【正确答案】
【分析】设出方程，与抛物线方程联立，可得，横坐标的积，结合已知向量等式求解，的坐标，即可由面积公式求解.
【详解】由题意可知直线有斜率且不为0,设所在直线方程为，
联立，得．
不妨设在第一象限，,，,，
则，
又，，即，
联立，解得或（舍，
则，即，进而可得
所以
解得，
故

四、解答题（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.
（1）求抛物线方程；
（2）直线与拋物线相交于两点，求的长.
【正确答案】（1）
（2）
分析】（1）根据抛物线焦半径公式即可得解；
（2）联立方程组求出交点坐标，即可得到弦长.
【小问1详解】
由题：抛物线上一点到其焦点F的距离为2，
即，
所以抛物线方程：
【小问2详解】
联立直线和得，解得，
，
18. 已知数列的前项和为，且_________.
在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和，求证.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差．若选①，根据等差中项求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得；
（2）利用裂项相消法求和得，即可求证.
【小问1详解】
由，得，得，
所以数列为等差数列，公差．
若选①，因为，所以，得，
所以，，
所以，
若选②，因为成等比数列，所以，
所以，所以，
所以，所以．
若选③，因为，所以，
所以，
【小问2详解】
，
所以，
又因为，所以．
19. 已知函数
（1）若，求函数的单调减区间；
（2）若在上单调递减，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再解不等式即得.
（2）求出导数，由在上恒成立求解即得.
【小问1详解】
当时，，求导得，
由，解得，
所以函数的单调减区间为.
【小问2详解】
由函数，求导得，
由在上单调递减，得，，
函数在上单调递减，，于是，解得，
所以实数的取值范围是.
20. 已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切.
（1）求直线的方程；
（2）若直线与双曲线交于另一点求的面积.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）已知过A−2,0，讨论直线斜率是否存在，斜率不存在时不符合题意，斜率存在时设直线的点斜式方程，由直线和圆相切得到圆心到直线的距离为半径，解出的值即可得到直线方程；
（2）若直线与双曲线有两个交点，则直线方程为，联立直线与双曲线方程得到点的纵坐标，由得到三角形的面积.
【小问1详解】
由知左顶点A−2,0，
当直线斜率不存在时与圆不想切不符合题意；
当直线斜率存在时，设即，
由与圆相切得，解得或，
所以直线的方程为或.
【小问2详解】
由知，所以渐近线斜率为，
若直线的斜率为，则与双曲线只有点一个交点，不符合题意，舍去；
若直线的方程为，与双曲线有两个交点，
联立消去并整理得，解得或，
因为，所以，
又因为，所以.
21. 已知正项数列满足，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若的前项和为，求.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）对已知等式分解因式化简可得，则数列是以3为公比，3为首项的等比数列，从而可求出其通项公式；
（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出.
【小问1详解】
由，得，
因为，所以，即，
因为，
所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
所以，
所以
，
所以.
22. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值.
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）根据给定条件，结合离心率及四边形面积列式求出，即可求出椭圆的方程.
（2）联立直线l与椭圆的方程得到，再利用切割法得到，化简得到，进而利用基本不等式求得面积的最大值.
【小问1详解】
设椭圆焦距为，则，即，则，，
由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得，
即，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
显然，设，则，
由消去得，，
则，
又，而与同号，
因此
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.