2024-2025学年江西省景德镇市高一上册1月期末数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省景德镇市高一上册1月期末数学质量检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列调查方式中，可用普查的是（ ）
A．调查某品牌电动车的市场占有率B．调查2023年杭州亚运会的收视率
C．调查某校高三年级的男女同学的比例D．调查一批玉米种子的发芽率
3．当且时，函数恒过定点（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
6．国家高度重视青少年心理健康问题，某校为了调查学生的心理健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查．若某班有45名学生，将每一学生从01到45编号，从下面所给的随机数表的第2行第9列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（ ）随机数表如图：
A．32B．37C．27D．07
7．地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中为震级，为地震能量．2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（ ）倍（参考数据：）
A．110B．115C．120D．125
8．已知（且且），则函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．从某市高一年级考试的学生中随机抽查2000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法不正确的是（ ）
A．总体指的是该市高一年级考试的全体学生B．样本是指2000名学生的数学成绩
C．样本容量指的是2000名学生D．个体指是指2000名学生中的每一名学生
10．下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
11．2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，“全民健身日”提升全民健身意识，让健身成为一种习惯和风俗，为倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动．下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
甲、乙步数折线统计图
A．这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数
B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数
C．这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差
D．这一星期内乙的日步数的分位数是12400
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．函数存在零点
D．不等式的解集为
三、填空题（本大题共4小题）
13．函数的定义域是 ．
14．某校有高级教师90人，中级教师150人，其他教师若干人．为了了解教师的健康状况，从中抽取60人进行体检．已知高级教师中抽取了18人，则从中级教师中抽取的人数是 ．
15．已知函数，且满足，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数的定义域为，对于任意，当时，（其中为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．计算：
(1)
(2)
18．已知函数
（1）在给出的坐标系中画出函数的图象．
（2）根据图象写出函数的单调区间和值域．
19．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值和样本成绩的四分位数；
(2)已知落在的平均成绩是65，方差是11，落在的平均成绩为75，方差是16，求两组成绩的总平均数和总方差．
20．已知函数，（，且）．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
21．芯片是现代科技发展的重要组成部分，它的出现和发展对科技领域产生了深远影响．芯片的应用非常广泛，从智能手机、电脑、平板电脑到汽车、医疗设备、航空航天等领域有着广泛的应用，为进一步激励国内科技巨头加大科技研发投入的力度．根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元，每生产1万部还需另投入10万元．若该科技公司一年内共生产该款电子产品万部并能全部销售完；平均每万部的销售收入为万元，且
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
22．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足．
(1)求；
(2)当时，判断和的大小关系．
答案
1．【正确答案】D
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【详解】由题得又因为，
所以．
故选：D
2．【正确答案】C
【分析】根据普查适合调查对象数目较少的情况来判断即可.
【详解】选项ABD调查对象的数目较多，适合采用抽查；C调查对象的数目较少，适合采用普查.
故选：C
3．【正确答案】B
【分析】由指数函数的性质即可求解.
【详解】当时，，与无关，
则函数恒过定点．
故选：B.
4．【正确答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.
【详解】因为，
所以．
故选：D
5．【正确答案】B
【分析】根据函数零点存在性定理即可求解.
【详解】由题可知，为增函数，再由，
所以，根据零点存在定理知，零点在范围内．
故选：B.
6．【正确答案】C
【分析】利用随机数表法，按照给定条件一次选取符合要求的号码即可.
【详解】从随机数表第2行第9列的数开始，每次从左向右选取两个数字，去掉超过45和重复的号码，选取的前3个数依次为32、37、27，故选取的第三个号码为27.
故选：C
7．【正确答案】D
【分析】根据题意结合对数运算分析求解.
【详解】第一次，即①，
第二次，即②，
①②得，，即由题可知，，
故选：D．
8．【正确答案】B
【分析】由对数的运算性质可得，讨论的范围，结合指数函数和对数函数的图象的单调性，即可得到答案.
【详解】由，即为，即有；
当时，，函数在上为增函数，在为增函数，选项B满足；
当时，，函数在上为减函数，在为减函数，四个图象均不满足，在同一坐标系中的图象只能是B．
故选：B
9．【正确答案】ACD
【分析】从总体，个体，样本和样本容量的定义逐项判断.
【详解】对于A：总体指的是该市高一年级考试全体学生的数学成绩，故A错误；
对于B：样本是指2000名学生的数学成绩，故B正确；
对于C：样本容量指的是2000，故C错误；
对于D：个体指是指2000名学生中的每一名学生的数学成绩，故D错误．
故选：ACD.
10．【正确答案】ABD
【分析】借助奇偶性的定义逐项判断即可得.
【详解】对于选项A：定义域，关于原点对称，，
所以为奇函数，故A正确；
对于选项B：定义域或，关于原点对称，
，
所以为奇函数，故B正确；
对于选项C：定义域，关于原点对称，，
所以为偶函数，故C错误；
对于选项D：定义域，关于原点对称，
，所以为奇函数，故D正确．
故选：ABD.
11．【正确答案】BC
【分析】根据折线图得到这一星期内甲，乙的日步数，都从小到大进行排列，得到中位数后即可判断选项A；根据平均数计算公式，计算出这一星期内甲，乙的日步数的平均数，比较大小即可判断选项B；根据图象观察甲的波动程度较大，故方差较大，从而判断选项C；把乙一星期内的步数从小到大进行排列，并计算，故第六个数为所求，即可判断选项D.
【详解】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为：
，所以中位数为12600；
由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为：
，所以中位数为12600；
故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600，A错误；
这一星期内甲的日步数的平均数为：
，
这一星期内乙的日步数的平均数为：
，
因为，故B正确；
由图知，甲的波动程度较大，故方差，标准差较大，故C正确；
乙一星期内的步数从小到大的排列为：
，故这一星期内乙的日步数的分位数是13800，故D错误．
故选：BC.
12．【正确答案】BD
【分析】计算即可得A，结合复合函数的单调性的判断方式可得B，由可得C，结合单调性可得不等式，解出可得D.
【详解】
对于A，的定义域为，
，
故A错误；
对于B，，
当时，、，且都在上单调递增，
在上单调递减，故函数在上单调递减，故B正确；
对于C，，函数没有零点，故C错误；
对于D，由前可知，不等式满足或或，
解得，故D正确.
故选：BD.
13．【正确答案】
【分析】结合对数函数定义域解不等式即可求解.
【详解】由题意结合对数函数定义域可知，解不等式得，
因此函数的定义域是.
故答案为.
14．【正确答案】30
【分析】由题意可先计算抽样比，再由抽样比求出结果．
【详解】由题意知，抽取的比例为，则中级教师抽取人.
故30
15．【正确答案】
【分析】判断的奇偶性和单调性，再结合一元二次不等式的求解方法，求解即可.
【详解】易知的定义域，关于原点对称，
又，故为奇函数，
，又均为上的增函数，
故为上的增函数，又为奇函数，故为上的增函数；
即，故．
故答案为.
16．【正确答案】
【分析】将转化为，构造函数，说明其在单调递减，又将化为，令，则，又，从而利用函数单调性即可求得答案.
【详解】因为函数的定义域为，所以，则,
又因为，，
所以，则，
令，则，又，
所以在内单调递减函数.
因为，所以可变为，
即①，
令，则①可变为②，又因为，
故②变为，又在内单调递减函数，则．
故答案为.
关键点点睛：解答本题的关键在于根据，变形为，从而构造函数，并说明其为单调减函数，由此可解决问题.
17．【正确答案】(1)1
(2)
【分析】（1）应用指数幂的运算法则运算即可；
（2）应用对数运算法则运算即可.
【详解】（1）
.
（2）
.
18．【正确答案】（1）图见解析；（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为.
（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出所求分段函数的图象；
（2）根据图象观察可知即可得出结果.
【详解】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数的图象为：

（2）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为
单调递减区间为，
函数的值域为
19．【正确答案】(1)，65，75，84
(2)71，38
【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求解；
（2）由和组的平均数和方差即可求得总平均数和总方差.
【详解】（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，
，解得．
四分位数分别为第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，
设第百分位数为，则；
设第百分位数为,则；
设第百分位数为,则；
所以该数据的四分位数分别为65，75，84.
（2）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
所以；
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为
．
20．【正确答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)存在，或
【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性即可求解.
（2）先令，并求值域，再分别对进行分类求的最大值，进而求的值.
【详解】（1）由题意可得，即函数的定义域为.
当时，
令，则，
对数函数的单调性可知函数在内单调递增.
函数图象的对称轴为直线
当，函数在上递增，在上递减．
所以，由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），（，且）.
令，由，得，
则的值域为.
（ⅰ）时，在上单调递减，
所以函数在上的最大值为，
则，，满足题意.
（ⅱ）时，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，
则，满足题意．
综上所述：的值为或.
21．【正确答案】(1)
(2)当产量为40万部时，利润最大，最大利润为550万元
【分析】（1）由，再根据条件即可求出结果；
（2）利用分段函数的最值，先求出和范围内的最值，即可求出结果.
【详解】（1）由题知，，
当时，，
当时，
所以.
（2）由（1）知当时，，开口向下，
对称轴，此时的最大值为万元，
当时，万元，
当且仅当时等号成立，又，
所以当产量为40万部时，利润最大，最大利润为550万元．
22．【正确答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式，
（2）利用作差法判断化简可得，进而判断可得出结果.
【详解】（1）由题设可知，由于为偶函数，为奇函数，
则，则，
解得，．
（2）
，
由于，
则，即．2512
6317
6323
2616
8045
6011
2432
5327
0941
1457
2042
5332
3732
2707
3607
7424
6762
4281
2191
3726
3890
0140
0523
2617
3014
2310
2118