2024-2025学年上海市静安区高三上册期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市静安区高三上册期中考试数学检测试卷（含解析），共18页。
2．（4分）不等式的解集为 ．
3．（4分）已知，则cs2x＝ ．
4．（4分）当x＞1时，函数的最小值是 ．
5．（4分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S2＝3，则Sn＝ ．
6．（4分）若A＝{x|x2＞2，x∈Z}，B＝{x|lg2|x|＜2}，则A∩B＝ ．
7．（5分）若，且，则tanα＝ ．
8．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形，则它的体积为 ．
9．（5分）已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则恰有2名男生和2名女生的概率为 ．（结果用分数表示）
10．（5分）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
11．（5分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ．
12．（5分）设，若实数a，b满足a+b＝0，且函数y＝f（x）的图像可以无限接近直线y＝1但又永远不相交，则不等式的解集为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑。
13．（4分）设i为虚数单位，若，则＝（ ）
A．2+iB．2﹣iC．1+2iD．1﹣2i
14．（4分）某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ）
A．估计数学成绩的众数为75
B．a＝0.05
C．估计数学成绩的75百分位数约为85
D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
15．（5分）已知函数的图像与直线y＝t（0＜t＜A）的相邻三个交点的横坐标分别为1，3，4，下列区间是函数y＝f（x）的严格减区间的是（ ）
A．B．C．[0，2]D．[2，5]
16．（5分）设奇函数y＝f（x）的定义域为R，且f（1）＝2，若对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），都有，则不等式f（x+2）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣2，﹣1）
C．（﹣3，﹣2）∪（﹣2，﹣1）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，﹣1）
三、解答题（本大题共5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤。
17．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+b2﹣c2＝ab，csB＝sinC．
（1）求角B；
（2）若△ABC的面积为3，求a．
18．（14分）在等差数列{an}中，a1＝2，且a2，a3+2，a8构成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝2+9，记Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn≥2024，求正整数n的最小值．
19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC＝2PA＝2，AB＝1，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点．
（1）证明：平面PEF∥平面GAC．
（2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值．
20．（18分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过点（，1）且离心率为，设直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l的斜率为1，求线段AB中点M的轨迹方程；
（3）若直线l的斜率为2，在椭圆C上是否存在定点R，使得kRA+kRB＝0（kRA，kRB分别为直线RA，RB的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点R，若不存在．请说明理由．
21．（18分）设f（x）＝mx+sinx（m∈R且m≠0）．
（1）若函数y＝f（x）是R上的严格增函数，求实数m的取值范围；
（2）已知数列{an}是等差数列（公差d≠0），设bn＝f（an），若存在数列{an}使得数列{bn}也是等差数列，试求满足条件的一个数列{an}；
（3）若m＝1，是否存在直线y＝kx+b满足：①对任意的x∈R，都有f（x）≥kx+b成立；②存在x0∈R，使得f（x0）＝kx0+b？若存在，求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1．（4分）函数的定义域为 {x|x≤5且x≠2} ．
【正确答案】{x|x≤5且x≠2}．
【分析】由题意可得关于x的不等式组求解．
解：由，解得x≤5且x≠2．
∴函数的定义域为{x|x≤5且x≠2}．
故{x|x≤5且x≠2}．
2．（4分）不等式的解集为 [﹣3，4） ．
【正确答案】[﹣3，4）．
【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可得解．
解：由得：，解得﹣3≤x＜4，
∴原不等式的解集为[﹣3，4）．
故[﹣3，4）．
3．（4分）已知，则cs2x＝ ．
【正确答案】．
【分析】由cs2x＝2cs2x﹣1求解．
解：已知，
则cs2x＝2cs2x﹣1＝＝．
故．
4．（4分）当x＞1时，函数的最小值是 5 ．
【正确答案】5．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
解：当x＞1时，＝x﹣1++1+1＝5，
当且仅当x﹣1＝，即x＝3时取等号．
故5．
5．（4分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S2＝3，则Sn＝ 4 ．
【正确答案】4．
【分析】利用等比数列的性质得a2＝S2﹣a1＝3﹣2＝1，q＝＝，Sn＝＝4﹣＝4﹣，由此能求出结果．
解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S2＝3，
∴a2＝S2﹣a1＝3﹣2＝1，
∴q＝＝，
∴Sn＝＝4﹣＝4﹣，
∴Sn＝（4﹣）＝4．
故4．
6．（4分）若A＝{x|x2＞2，x∈Z}，B＝{x|lg2|x|＜2}，则A∩B＝ {﹣2，﹣3，2，3} ．
【正确答案】{﹣2，﹣3，2，3}．
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
解：A＝{x|x2＞2，x∈Z}，B＝{x|lg2|x|＜2}＝{x|﹣4＜x＜0或0＜x＜4}，
故A∩B＝{﹣2，﹣3，2，3}．
故{﹣2，﹣3，2，3}．
7．（5分）若，且，则tanα＝ ．
【正确答案】．
【分析】由同角三角函数的关系，结合二倍角公式求解．
解：已知，
则＝，
又，
即2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，
则，
则，
即．
故．
8．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形，则它的体积为 12π ．
【正确答案】12π．
【分析】根据题干信息和圆锥的体积公式求解即可．
解：因为锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形，
所以圆锥的底面半径为＝3，
所以圆锥的体积为：π×32×＝12π．
故12π．
9．（5分）已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则恰有2名男生和2名女生的概率为 ．（结果用分数表示）
【正确答案】．
【分析】根据古典概型相关知识可解．
解：已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则有种选法，
则恰有2名男生和2名女生的选法有•，
则恰有2名男生和2名女生的概率为．
故．
10．（5分）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 80 米．
【正确答案】80．
【分析】建立平面直角坐标系，待定系数法求出抛物线方程，得到答案．
解：以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝﹣2py，
由题意得A（80，﹣40），将其代入抛物线方程得6400＝80p，
解得p＝80，故安全抛物线的焦点到其准线方程为80米．
故80
11．（5分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ．
【正确答案】．
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值．
解：在正方形中，建立如图所示坐标系，
由正方形边长为3且，
可得A（0，0），B（3，0），D（0，3），E（2，3），
设，λ∈[0，1]，则P（3﹣λ，3λ），
则，，
故＝10λ2﹣15λ+9＝，
故当时，取得最小值为．
故．
12．（5分）设，若实数a，b满足a+b＝0，且函数y＝f（x）的图像可以无限接近直线y＝1但又永远不相交，则不等式的解集为 {x|x＜﹣3或x＞3} ．
【正确答案】{x|x＜﹣3或x＞3}．
【分析】当x→∞时，y＝→0，再结合f（x）的图象无限趋近于1，可得b＝1，则a＝﹣1，不等式可解．
解：因为x→∞时，→0，
所以x→∞，→b，所以b＝1，a＝﹣1，
所以f（x）＝+1，
所以不等式可化为＝（）3，
又因为y＝是减函数，所以|x|＞3，
解得x＜﹣3或x＞3，
故{x|x＜﹣3或x＞3}．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑。
13．（4分）设i为虚数单位，若，则＝（ ）
A．2+iB．2﹣iC．1+2iD．1﹣2i
【正确答案】D
【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
解：＝，
故．
故选：D．
14．（4分）某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ）
A．估计数学成绩的众数为75
B．a＝0.05
C．估计数学成绩的75百分位数约为85
D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
【正确答案】B
【分析】根据频率分布直方图的性质，众数的概念，百分位数的概念，加权平均数的概念，即可分别求解．
解：根据题意可得（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，∴a＝0.005，∴B选项错误；
估计数学成绩的众数为＝75（分），∴A选项正确；
∵前几组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3，
∴估计数学成绩的75百分位数约为＝85（分），∴C选项正确；
∵成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为6：2＝3：1，
∴估计成绩在80分及以上的学生的平均分为＝87.5，∴D选项正确．
故选：B．
15．（5分）已知函数的图像与直线y＝t（0＜t＜A）的相邻三个交点的横坐标分别为1，3，4，下列区间是函数y＝f（x）的严格减区间的是（ ）
A．B．C．[0，2]D．[2，5]
【正确答案】A
【分析】三角函数的图象与直线y＝t（0＜t＜A）的三个相邻交点的横坐标，至少提供两个方面的信息①第一个交点与第三个交点的差是一个周期；②第二个交点与第三个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值，从这两个方面考虑求得参数ω，φ，然后求出函数f（x）单调递减区间．
解：与直线y＝t（0＜t＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，3，4，知函数的周期为T＝＝4﹣1＝3，解得ω＝，由三角函数的图象与直线y＝t（0＜t＜A）知，3与4的中点必为函数的最大值的横坐标，由五点法知×+φ＝+2π，
解得φ＝，所以f（x）＝Asin（x+），令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得3k+≤x≤3k+2，k∈Z，当k＝0时，f（x）的单调递减区间是[，2]．故选：A．
16．（5分）设奇函数y＝f（x）的定义域为R，且f（1）＝2，若对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），都有，则不等式f（x+2）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣2，﹣1）
C．（﹣3，﹣2）∪（﹣2，﹣1）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，﹣1）
【正确答案】D
【分析】令g（x）＝，由已知可得函数g（x）的奇偶性与单调性，从而将不等式转化，求解即可．
解：令g（x）＝，因为f（x）是定义域为R的奇函数，
所以g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且g（﹣x）＝＝＝＝g（x），
因为对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），都有，
即对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），都有（x1﹣x2）[g（x1）﹣g（x2）]＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
因为f（1）＝2，所以g（1）＝＝2，所以g（﹣1）＝g（1）＝2，
当x+2＞0时，不等式f（x+2）＞2x+4等价于＞2，即g（x+2）＞g（1），
所以，解得﹣2＜x＜﹣1，
当x+2＜0时，不等式f（x+2）＞2x+4等价于＜2，即g（x+2）＜g（﹣1），
所以，解得x＜﹣3，
综上，不等式f（x+2）＞2x+4的解集为（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，﹣1）．
故选：D．
三、解答题（本大题共5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤。
17．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+b2﹣c2＝ab，csB＝sinC．
（1）求角B；
（2）若△ABC的面积为3，求a．
【正确答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解；
（2）由（1）得b＝c，由三角形面积求得bc＝12，再由余弦定理即可求得a．
解：（1）由题意，a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理得，故sinC＝，
又csB＝sinC＝，且B∈（0，π），
所以；
（2）由（1）知B＝C＝，所以b＝c，A＝，
因为，所以bc＝12，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA＝36，所以a＝6．
18．（14分）在等差数列{an}中，a1＝2，且a2，a3+2，a8构成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝2+9，记Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn≥2024，求正整数n的最小值．
【正确答案】（1）an＝2n；（2）6．
【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得所求；
（2）由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的单调性，可得所求最小值．
解：（1）在等差数列{an}中，a1＝2，设公差为d，
由a2，a3+2，a8构成等比数列，可得a2a8＝（a3+2）2，
即有（2+d）（2+7d）＝（4+2d）2，解得d＝±2（﹣2舍去，由于a2＝0），
则an＝2+2（n﹣1）＝2n；
（2）bn＝2+9＝4n+9，
+...+4n）+9n＝+9n＝+9n，
由S5＝×（46﹣4）+45＝1409＜2024，S6＝×（47﹣4）+54＝5514＞2024，
且{Sn}为递增数列，
所以Sn≥2024时，正整数n的最小值为6．
19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC＝2PA＝2，AB＝1，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点．
（1）证明：平面PEF∥平面GAC．
（2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行，再利用面面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可．
解：（1）证明：连接EC，设EB与AC相交于点O，如图，
因为BC∥AD，且，AB⊥AD，
所以四边形ABCE为矩形，
所以O为EB的中点，又因为G为PB的中点，
所以OG为△PBE的中位线，即OG∥PE，
因为OG⊄平面PEF，PE⊂平面PEF，
所以OG∥平面PEF，
因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF∥AC，
因为AC∥平面PEF，EF⊂平面PEF，
所以AC∥平面PEF，
因为OG⊂平面GAC，AC⊂平面GAC，AC∩OG＝O，
所以平面PEF∥平面GAC．
（2）因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为AB⊥AD，
所以PA，AB，AD两两互相垂直，
以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
则A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
所以，，，
设平面PCD的法向量为，
则，所以，
令y＝1，可得z＝2，x＝1，
所以，
设直线GC与平面PCD所成角为θ，
则，
所以直线GC与平面PCD所成角的正弦值为．
20．（18分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过点（，1）且离心率为，设直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l的斜率为1，求线段AB中点M的轨迹方程；
（3）若直线l的斜率为2，在椭圆C上是否存在定点R，使得kRA+kRB＝0（kRA，kRB分别为直线RA，RB的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点R，若不存在．请说明理由．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）存在，或．
【分析】（1）由题列方程组求出a，b即可得解；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y1），直线AB的方程为y＝x+m，与椭圆方程联立，消去y，利用根与系数的关系得出x1+x2，根据AB中点坐标公式，求解即可得；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），R（x0，y0），根据kRA+kRB＝0，得出，用（x﹣x0）与（y﹣y0）表示直线AB与椭圆的方程，求解即可得出x0和y0的值，从而求出点R的坐标．
解：（1）由题可得：，解得：，
所以椭圆C的标准方程为：；
（2）因为直线AB的斜率为1，所以可设直线AB的方程为y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 ，化简得3x2+4mx+2m2﹣4＝0，则Δ＝16m2﹣4×3（2m2﹣4）＞0，解得：，
所以，，设弦AB中点M（x，y），
则，，
消去m，得，而，
所以点M的轨迹方程为；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），R（x0，y0），
则，
因为直线AB的斜率为2，设直线AB的方程为2（x﹣x0）﹣（y﹣y0）＝m（m≠0），其中kAB＝2，且AB不过（x0，y0），
椭圆的方程可化为x2+2y2﹣4＝0，即，
所以，
即，
所以（x﹣x0）2+2（y﹣y0）2+（x﹣x0）[2（x﹣x0）﹣（y﹣y0）]+（y﹣y0）[2（x﹣x0）﹣（y﹣y0）]＝0，
所以（+1）（x﹣x0）2+（2﹣）（y﹣y0）2+（﹣）（x﹣x0）（y﹣y0）＝0，
所以，
，解得x0＝4y0，代入，
解得：，所以，
所以存在点或，使得kRA+kRB＝0恒成立．
21．（18分）设f（x）＝mx+sinx（m∈R且m≠0）．
（1）若函数y＝f（x）是R上的严格增函数，求实数m的取值范围；
（2）已知数列{an}是等差数列（公差d≠0），设bn＝f（an），若存在数列{an}使得数列{bn}也是等差数列，试求满足条件的一个数列{an}；
（3）若m＝1，是否存在直线y＝kx+b满足：①对任意的x∈R，都有f（x）≥kx+b成立；②存在x0∈R，使得f（x0）＝kx0+b？若存在，求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）[1，+∞）；（2）an＝2nπ；（3）y＝x﹣1．
【分析】（1）根据题意可得f'（x）＝m+csx≥0对任意的x∈R都成立，故可得出答案；
（2）利用等差数列性质，结合题意，再经过化简计算得出结果；
（3）首先分析题意，按b三种不同情况进行分析，最后得出直线方程为y＝x﹣1．
解：（1）由f（x）＝mx+sinx（m∈R且m≠0）是实数集R上的严格增函数，
可得f'（x）＝m+csx≥0对任意的x∈R都成立，
而﹣1≤csx≤1，可得m≥1，
故实数m的取值范围为[1，+∞）；
（2）bn＝f（an）＝sinan+man，
由于数列{an}是等差数列（公差d≠0），
若存在数列{an}使得数列{bn}也是等差数列，
可得bn+1﹣bn＝sinan+1+man+1﹣sinan﹣man＝m（an+1﹣an）+（sinan+1﹣sinan）＝md+（sinan+1﹣sinan）为常数，
即有sinan+1﹣sinan为常数0，即有an+1﹣an＝2kπ，或an+1＝2kπ+π﹣an（舍去），
可得an＝2k（n﹣1）π+a1，k∈Z且k≠0，
则满足条件的一个数列{an}为an＝2nπ；
（3）令g（x）＝（x+sinx）﹣（kx+b）＝（1﹣k）x+sinx﹣b，
则当t∈Z，k≠1时，g（+2tπ）＝2（1﹣k）tπ+sin，
若k＞1，存在t∈Z，使得g（+2tπ）＜0，
即存在x∈R，使得f（x）＜kx+b，与题意不符；
同理，若k＜1，存在x∈R，使得f（x）＜kx+b，与题意不符．
当k＝1时，g（x）＝sinx﹣b，
当b＞﹣1时，显然存在x∈R，使得g（x）＜0，即存在x∈R，使得f（x）＜kx+b；
当b＜﹣1时，对任意的x∈R，都有g（x）＞0，
当b＝﹣1时，存在x0＝﹣，使得f（x0）＝kx0+b，且对任意的x∈R，都有g（x）≥0，
即对任意的x∈R都有f（x）≥kx+b．
综上，存在直线y＝kx+b满足题意，直线方程为y＝x﹣1。