2024-2025学年上海市静安区高一上册12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年上海市静安区高一上册12月月考数学检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 用有理指数幂的形式表示：_______．
【正确答案】
【分析】
由根式转化为指数幂形式，利用指数幂的运算化简即可.
【详解】，
故答案为.
2. 函数的定义域为______．
【正确答案】
【分析】利用函数有意义，列出不等式求出定义域.
【详解】函数有意义，则，解得，
所以所求定义域为.
故
3. 若幂函数为偶函数，则 ________ .
【正确答案】
【分析】利用幂函数和偶函数的定义即可求解.
【详解】∵函数为幂函数，
∴，解得或，
又∵为偶函数，
∴，
故答案为.
4. 已知且，若无论为何值，函数的图象恒过一定点，则该点的坐标为______．
【正确答案】
【分析】利用对数函数图象恒过定点问题求出坐标.
【详解】由，即，得恒成立，
所以函数图象恒过定点.
故
5. 已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，______.
【正确答案】
【分析】利用奇函数的性质求的解析式，从而得解.
【详解】因为当时，，
所以当时，则，则，
又函数是定义在上的奇函数，
所以.
故答案为.
6. 函数的最大值为______.
【正确答案】
【分析】先求得题设函数的定义域，再分析得其单调性，从而得解.
【详解】对于，有，解得，
所以的定义域为，
又在上都是单调递增函数，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最大值，为.
故答案为.
7. 已知，若函数的值域为，则的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可.
【详解】由函数的值域为，得函数值域包含，
则，解得，
所以的取值范围是.
故
8. 已知，若函数的值域为，则的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解.
【详解】依题意，令，解得；令，解得；
当时，，则，
由指数函数的性质作出的大致图象，如图，

因为的值域为0,4，所以，，
则，所以，即的取值范围为.
故答案为.
9. 已知，函数在区间上有零点，则的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】利用参变分离法，将问题转化为的值域是在上的值域的子集，从而利用二次函数的性质即可得解.
【详解】因为在区间上有零点，
所以在上有解，
令，则的值域是在上的值域的子集，
因为，其图象开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
即在上的值域为，所以.
故答案为.
10. 已知是定义在上的偶函数，若，且对任意，恒成立，则不等式的解集为______．
【正确答案】
【分析】根据给定条件，求出函数在上的单调性，再结合偶函数的性质分段解不等式.
【详解】由对任意，恒成立，得函数在上单调递减，
而函数是上的偶函数，则函数在上单调递增，又，
则不等式化为：或，
即或，解得或，
则或，即或，
所以不等式的解集为.
故
11. 已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为__________
【正确答案】或
【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合A的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.
【详解】因为，则只需考虑下列三种情况：
①当时，因为，则，
且，可得，
又因为，则且，
可得：，
则，解得；
②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去；
③当，即时，可得：且，
可得，解得；
综上所述：或.
故或.
关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类.
12. 已知，若，则的最小值为______.
【正确答案】
【分析】根据题意，分析得，进而得到，从而利用“1”的代换与基本不等式即可得解.
【详解】因为，
则方程与有相同的解，不妨设为，
则，故，即，整理得，
因为，
所以
，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为.
关键点点睛：本题解决的关键在于分析得方程与有相同的解，从而得到，由此得解.
二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分）
13. 下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像的是（ ）.
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据函数自变量与因变量一对一或多对一的特征判断.
【详解】函数图像满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图像上都有唯一确定的点与它对应.
选项D的进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像，其它三个选项都不满足条件.
故选：D
14. 若函数一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）
A. 1.2B. 1.4C. 1.3D. 1.5
【正确答案】B
【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .
故选：B
15. 已知为定义在R上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【正确答案】B
【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用奇偶性的定义说明必要性成立，从而得解.
【详解】当既不是奇函数也不是偶函数时，取，满足条件，
当时，，则，
当或时，或，则，
此时对于任意，均有，即充分性不成立；
当存在，使得，则，
则既不是奇函数也不是偶函数，即必要性成立；
所以“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的必要非充分条件.
故选：B.
16. 设正数不全相等，，函数．关于说法
①对任意都为偶函数，
②对任意在上严格单调递增，
以下判断正确的是（ ）
A. ①、②都正确B. ①正确、②错误C. ①错误、②正确D. ①、②都错误
【正确答案】A
【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数，利用导数探讨单调性即可判断②.
【详解】函数的定义域为R，而，
对于①，
，因此函数是偶函数，①正确；
对于②，，
当时，令，求导得，
当时，，函数在上递减，则，因此，
当时，，函数在上递增，则，因此，
从而函数在上递增，同理在上都递增，
于是在上严格单调增，②正确，
故选：A
思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②或是定义域上的恒等式．
三、解答题（本大题共有4题，满分44分）
17. 已知.
（1）判断函数的奇偶性并予以证明；
（2）求不等式的解集.
【正确答案】（1）是奇函数，证明见解析
（2）
【分析】（1）利用函数奇偶性的判定方法判断并证明即可得解；
（2）利用对数函数的单调性解不等式即可得解.
【小问1详解】
是奇函数，证明如下：
对于，有，解得，
即的定义域为−1,1，关于原点对称，
又，
所以为奇函数；
【小问2详解】
因为，
又在其定义域内单调递增，
所以由fx>1=lg10，得，解得，
经检验，该解集满足的定义域，
所以不等式的解集为.
18. 某学校为了开展劳动教育，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形种植园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间三个矩形区域将种植辣椒、茄子、小白菜（其中区域的形状、大小完全相同）.设矩形种植园的一条边长为m，蔬菜种植的总面积为.
（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
（2）当的值为多少时，才能使蔬菜种植的总面积最大?最大面积是多少?
【正确答案】（1）
（2）当时，种植蔬菜的总面积最大，最大面积为：
【分析】（1）由矩形面积得出关系式以及取值范围；
（2）根据面积公式列出关系式，借助基本不等式得出最大值.
小问1详解】
矩形面积：
∴
∵
∴
∴
【小问2详解】
由（1）可知；，则
当且仅当，即时取等号，
∴当时，种植蔬菜的总面积最大，最大面积为.
19. 已知函数
（1）当时，解关于x的方程
（2）若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式；
（3）在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）直接将代入解方程即可；
（2）先通过，求出，再代入证明其为奇函数即可；
（3）先将带入条件求出，再将带入不等式，参变分离得恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可.
【小问1详解】
当时，，
即，整理得，
即，得或（舍去）
；
【小问2详解】
因为函数是定义在R上的奇函数，
则且，
，解得，
即，
证明：，
故是定义在R上的奇函数，
【小问3详解】
在(2)的前提下，
整理得，
代入得，
即恒成立，
，
又，
当且仅当，即时等号成立，
即实数的最大值为.
20. 已知函数的定义域为，若存在区间，满足，则称是函数的“保值区间”．
（1）已知，若是函数的“保值区间”，求实数的值；
（2）证明：函数在其定义域上是严格减函数，且该函数不存在“保值区间”；
（3）已知，设，若存在使得均为函数的“保值区间”，求的取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【分析】（1）利用题中的概念求参数即可；
（2）先判断奇偶性，然后再利用复合函数的单调性判断单调性，然后假设存在“保值区间”存在来求保值区间，最后发现无解，就证得结果；
（3）利用二次函数的单调性和开口方向讨论两个函数在的最值，然后根据题中的概念求解即可.
【小问1详解】
由题可知函数开口向上，且对称轴为，
所以在单调递减，
根据题意可知，
【小问2详解】
设，
所以为奇函数，
当时，
显然此时ℎx单调递减，
利用奇函数的性质可知，在定义域内严格单调递减；
假设存在“保值区间”为
则 又因，故，
所以有解得，
显然与已知矛盾，故不存在“保值区间”.
【小问3详解】
①当时，此时，
若，因为存在使得为函数y=fx的“保值区间”，
所以有，
此时，
显然，此时是y=gx的“保值区间”，
故满足题意；
②当时，函数fx=ax2+bx+c的图像开口向上，且对称轴为
若，即，函数在上单调递增，
所以有，
因为，得，
此时图像开口向下，对称轴为，
所以在单调递减，
所以有，故是y=gx的“保值区间”；
若，此时的“保值区间”为，
所以有，且f−1>−1，
由易知，
因为均为函数的“保值区间”，
所以有g−1=a+b+c=1,g1=f−1>−1，，
所以有，
不满足，故此时无解；
若，
易知，
同上可知，，
不满足条件，故此时无解；
若，此时函数在上单调递减，
得，
此时的图像开口向下，对称轴为，
所以在单调递增，
此时得 ，
因为，
此时均为函数的“保值区间”；
所以满足题意.
综上所述，若存在使得均为函数的“保值区间”，则.
方法点睛：对于新定义题目，解决此类题的策略是：
1. 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等；
2. 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法；
3. 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题.