2024-2025学年四川省成都市高二上册期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高二上册期中数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．射线D．椭圆或线段
4．已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知为双曲线的右焦点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，是面积为4的直角三角形，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点为椭圆：的一点，，分别为椭圆的左，右焦点，的平分线交轴于点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中错误的是（ ）
A．弦AB的最小值为
B．若，则三角形的周长
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则
D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率
二、多选题
9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A．事件与事件是互斥事件B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件是相互独立事件D．事件与事件是互斥事件
10．瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平面直角坐标系中，点到两个定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则当时，下列结论正确是（ ）
A．点在双纽线上
B．点的轨迹方程为
C．双纽线关于坐标轴对称
D．满足的点有1个
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C．圆：与圆：恰有三条公切线，则
D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
三、填空题
12．某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是 .
13．过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点.设为线段的中点，为坐标原点，则 ．
14．已知椭圆的左､右焦点分别为､，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是 .
四、解答题
15．已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
16．在平面直角坐标系中，已知点，，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)将点A和点B并入点P的轨迹得曲线C，若过点的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的方程．
17．已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求C的标准方程；
(2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.
18．已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线的斜率为，求弦长MN；
(3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
19．已知、分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于、两个不同的点（、与、不重合）．
(1)求椭圆的焦距和离心率；
(2)若点在以线段为直径的圆上，求的值；
(3)若，设为坐标原点，直线、分别交轴于点、，当且时，求的取值范围．
答案：
1．D
【分析】根据直线的斜率求直线的倾斜角.
【详解】由直线得其斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，
所以，所以直线的倾斜角为，
故选：D
2．B
【分析】根据双曲线方程的特征得到，解得即可.
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，解得或，
故的取值范围为.
故选：B.
3．D
【分析】利用基本不等式求出的范围，根据椭圆的定义可得答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当时等号成立，
当时，，而，此时点的轨迹是线段；
当时，，
此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆．
综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段.
故选：D.
4．B
【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当时，，解得或，
当时，两直线分别为，符合题意，
当时，两直线分别为符合题意，
所以“”是“∥”的充分不必要条件
故选：B
5．B
【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求出渐近线方程，再结合给定面积计算得解.
【详解】由为直角三角形，及双曲线的对称性知，且，
则的渐近线方程为，即，由的面积为4，得，解得，
又，因此，
所以的方程为.
故选：B
6．A
【分析】根据切线长，半径以及圆心到点的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距离的最小值即可.
【详解】圆，其圆心为，半径r=1，则到直线的距离；
设切线长为，则，若最小，则取得最小值，显然最小值为，
故的最小值为，即切线长的最小值为.
故选：A.
7．C
【分析】结合光学性质，列出直线方程，即可求解答案.
【详解】设点Ax0,y0且不为顶点，因为椭圆方程为，
所以过的切线方程即直线为，
即，
由光学几何性质知，，
所以，
则直线的方程为．
令，得，所以．
所以.
故选：C
8．D
【分析】由通径公式判断A；由双曲线的定义判断B；由中点弦与点差法得出结论；由双曲线的渐近线的斜率和比较大小，即可求离心率.
的最小值为通径为，故A正确；
B.由双曲线的定义得，得，所以三角形的周长，故B正确；
C.设，，则，两式相减得，则，则，则，故C正确；
D若直线AB的斜率为，所以∴∴∴，所以选D不正确.
故选：D
9．ACD
【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可；
【详解】列举各事件如下：，，，
A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确；
B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误；
C：因为，故C正确；
D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确；
故选：ACD.
10．BCD
【分析】先由双纽线的定义求出其方程，逐一检验各个选项可判断结果.
【详解】由双纽线的定义可得：，
即，化简得：，
则当时，点的轨迹方程为，故B正确；
当时代入方程得，显然不满足方程，
所以点不在双纽线上故A错误；
把x换成，y换成，方程不变，所以双纽线关于坐标轴对称，故C正确；
因为，若满足，则点P在y轴上，
在方程中令，解得，
所以满足的点为，故D正确；
故选：BCD.
11．BCD
【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切，由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】直线，
所以，所以，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
圆，圆心为到直线的距离为，
所以直线与圆相交，平行于直线l且距离为的直线分别过圆心以及和圆相切，
所以圆上有且仅有个点到直线的距离为，故B正确；
由：可得，圆心，，
由：可得，
圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，
即，解得：，故C正确；
设，所以，
因为、，分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，
所以点，在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为
.
整理可得：，与已知圆C：，相减可得.
消去可得：，即，
由解得，所以直线经过定点，故D正确.
故选：BCD.
12．
【分析】由该同学在三个不同的位置至少投中一次的概率与全不中的概率和为1，结合概率的乘法公式求解即可.
【详解】由题意，，解得.
故
13．1
【分析】设是双曲线的右焦点，因为分别为，的中点，运用中位线定理得到 ，结合双曲线的定义得，再结合题中的数据得到，结合双曲线的定义得，可得到的值．
【详解】设是双曲线的右焦点，连接
分别为，的中点
由双曲线定义得，
故.
故1.
14．
【分析】首先根据题意，利用向量变形得，如图在上取一点M，使得，连接，则，再结合内心的性质得到，然后在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.
【详解】因为，
所以，
如图，在上取一点M，使得，
连接，则，
则点为上靠近点的三等分点，
所以，
所以，设，则，
由椭圆定义可知：，即，
所以，
所以AF2=a，，AF1=a,
故点与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：，
在中，，解得：，
所以椭圆离心率为.
故答案为.

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
15．（1） （2）或.
【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，
再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程；
（2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，
再根据两平行直线的距离公式即可求出．
【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为.
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，
所以，解得或.
故直线的方程为或.
本题主要考查直线方程的求法，涉及两直线垂直，平行关系的应用，以及平行直线的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
16．(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解，
（2）利用直线与曲线C相切，即可求出直线l的方程.
【详解】（1）设，则，
由，得，即，
所以动点P轨迹方程为.
（2）由（1）知，曲线C的方程为，曲线是以原点为圆心，1为半径的圆，
由过点的直线l与曲线C有且只有一个公共点，得直线与圆相切，
而圆心到直线的距离为1，直线过点，则直线的方程可以为；
当直线的斜率存在时，设，即，
由，得，此时直线l方程为，
所以直线的方程为或.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案.
（2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可.
【详解】（1）由题意得，，，
又，则，
则，
所以C的标准方程为.
（2）由题意设，，如图所示：
联立，
整理得， ，
则，，
故.
设直线l与x轴的交点为，
又，则，
故，
结合，解得.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可；
（2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可；
（3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得.
【详解】（1）由题意，双曲线的焦距为，
则，即，
由，得，
所以双曲线的方程为.
（2）依题意，直线的方程为，
联立，即，
设，，
则，，
所以弦长.
（3）证明：依题意，设直线的方程为，，，
联立，即，
则，
且，，即，
而，，
所以
为定值.
19．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由题意，结合椭圆的方程和离心率的公式求解即可；
（2）设出直线的方程和的坐标，联立曲线方程，得到韦达定理再结合向量的坐标运算求解即可；
（3）结合（2）中所求信息将和的表达式写出，再根据求解范围即可.
【详解】（1）由椭圆方程可得，
所以椭圆的焦距，离心率；
（2）
不妨设直线的方程为，，
易知，
联立，消去并整理得，
，
由韦达定理可得，
若点在以线段为直径的圆上，
此时，即，
整理可得，即，
代入韦达定理，
整理得，解得，
因为当时，直线过椭圆的右顶点，不符合题意，舍去，
所以；
（3）
设，
由（2）得，，
因为，，
所以，
解得，
则，①
易知，
解得，
则，②
联立①②，可得，
因为，所以，
所以的取值范围.
关键点点睛：本题第二问关键是能用韦达定理化简；本题第三问关键是能用向量共线的坐标表示出，再用表示出.