2024-2025学年四川省攀枝花市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省攀枝花市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设x，，向量，，，且，，则等于（ ）
A．B．3C．D．4
2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
3．直线，若，则实数的值不可能是（ ）
A．B．0C．1D．
4．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．F1，F2是的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是
A．4B．5C．2D．1
6．在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（ ）
A．2B．1C．D．
7．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（ ）
A．m＝2B．椭圆C的长轴长为
C．椭圆C的短轴长为2D．椭圆C的离心率为
10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离最大为4
11．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）

A．直线与所成的角不可能是
B．当时，点到平面的距离为
C．当时，
D．若，则二面角的平面角的正弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ．
13．已知，直线，P为l上的动点.过点P作的切线，，切点分别为A，B，当四边形的面积最小时，直线AB的方程为 .
14．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且，，则椭圆的离心率等于 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
16．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为．
(1)求直线的方程；
(2)求的面积．
17．在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程；
(3)在（2）的条件下，求弦长.
18．如图所示的几何体中，四边形为矩形，在梯形中，，为的中点，，，，线段交于点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19．已知点，，动点满足，动点的轨迹为记为.
(1)求轨迹的方程.
(2)若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围.
(3)若直线与交于，两点，，分别为的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
答案
1．【正确答案】B
【详解】由，可得，且，
解得故则，
故选：B
2．【正确答案】D
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故D项正确.
故选D.
3．【正确答案】A
【详解】由于，所以，
，，
解得或或.
当时，，
即，两直线平行，符合题意.
当时，，
即，两直线平行，符合题意.
当时，，
即，两直线平行，符合题意.
所以的值不可能是.
故选：A
4．【正确答案】C
【详解】因为椭圆的离心率，可得，
所以，即，可得，
则点，右焦点，所以，
由题意可得直线的斜率，
所以，即，
由题意设直线的方程为，
直线的方程为，
设直线与直线的交点为，
联立，可得，，
则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线，
即，，
的周长为，可得，
所以，，
所以椭圆的方程为.
故选：C．
5．【正确答案】D
【详解】设，，
由椭圆的标准方程可知：，
，
，
，因为，
所以，由，
所以
故选：D．
6．【正确答案】C
【详解】
以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
得，，
取，，则，，
所以点到直线的距离为．
故选：C.
7．【正确答案】D
【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，
设，，则，
则，，
因为平面，则，解得，
故，则，
而函数在取到最小值，在时，取最大值2，
故，
故选：D
8．【正确答案】D
【详解】由题意，的最大时，最大，最小即可，
设圆，可得圆心，半径，
设圆，可得圆心，半径，
则的最大值为，的最小值为，

所以 ，
因为在直线上，关于的对称点为，
直线与交点为，所以，
共线时等号成立，
所以的最大值为.
故选：D.
9．【正确答案】ACD
【详解】对于A项，由题意，椭圆的焦点在轴上，且，，由已知可得，
解得m＝2或m＝－1（舍去），故A项正确；
对于B项，C项，把的值代入椭圆方程即得.则，
即椭圆C的长轴长为，短轴长为，故B项错误；C项正确；
对于D项，即a＝，b＝，则， 则离心率为,故D项正确.
故选:ACD.
10．【正确答案】BC
【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，Px0,y0是圆上的点，
所以的最大值为，A选项错误.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确.
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，
即，解得，所以C选项正确.
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误.
故选：BC
11．【正确答案】ABC
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
对于A，，，
设，
故，，
设直线与所成的角为，
则，
若直线与所成的角是，则，
整理得到：，即，解得，
故直线与所成的角不可能是，故A正确；
对于B，当时，结合A中分析可得，故，
故，而，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
又，故到平面的距离为，故B正确；
对于C，当时，又B的分析可得，故，
故，故C正确；
对于D，当时，结合B的分析可得，此时，
故，而，设此时平面的法向量为，
则，即，取，得，
又，，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
故，
故二面角的平面角的正弦值为，故D错误.
故选：ABC.

12．【正确答案】3
【详解】由题意知，，
根据四点共面的充要条件可得，解得．
故
13．【正确答案】
【详解】，则的圆心为，半径，
由，分别为的切线，则与全等，
故四边形的面积，
又，
又，故，
故，此时点于点，设，
有，解得，即，
由，故、、、四点共圆且为该圆直径，
则该圆圆心为，半径为，即该圆方程为，
即，又，
两圆作差得：，即，
故直线AB的方程为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】如图所示，
由已知条件和椭圆的定义可得，可得，，
因为为的中点，则，
因为，，所以，
又因为，
所以，
即，即，解得.
【方法总结】求解椭圆或双曲线的离心率的方法有：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得，的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于，的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
16．【正确答案】(1)
(2)24
【详解】（1）由于边上的高所在直线方程为，
所以设直线的方程为，
由于点在直线上，即，解得，
所以直线的方程为.
（2）由于点既满足直线的方程，又满足的方程，
所以，解得，故，
所以，
设，由于点满足直线，故，
设的中点坐标为，满足，
所以，整理得，
所以，解得，所以，
则点到直线的距离，
故.
17．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，化简，
又因为直线PA、PB的斜率存在，则.
故动点的轨迹的方程为.
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，由题意，显然，
则有，，两式作差可得，
即有，
又为线段AB的中点，
则有，，代A即得直线的斜率为，
直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点，
整理可得直线的方程为.
（3），
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
故.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）因为四边形为矩形，
所以为的中点，连接，
在中，，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，，，
所以，，
又且，
平面，又，
如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
即，解得，令，得，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
则平面的一个法向量为，
则，于是.
故二面角的正弦值为.
（3）存在一点，使得与平面所成角的大小为.
设存在点满足条件，由，，
则，,
设，
则,
因为直线与平面所成角的大小为，
所以
，
解得，由，知，且
即点与重合，故在线段上存在一点，
则.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)是定值，
【详解】（1）因为，
所以是以为焦点，且长轴长为6的椭圆.
设的方程为，则，可得，又，
所以，所以曲线的方程为.
（2）的周长，
的面积，
所以内切圆的半径，
故内切圆的半径的取值范围为.
（3）
方法一：联立，得，
设，，易知，且，.
则，，
所以.
由，，得，
所以.
所以为定值，且定值为.
方法二：联立，得，
设，，易知，且，.
则，，因为，
.
所以，故为定值，且定值为.