2024-2025学年四川省仁寿南区高三上册11月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省仁寿南区高三上册11月联考数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知为虚数单位，复数满足，记为的共轭复数，（ ）
A．B．C．D．
2．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．“”是“双曲线：的虚轴长为2”的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知正项等差数列满足，，则值为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象向右平移个长度单位得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．2021年10月12日，他在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）
A．5%B．3%C．2%D．1%
8．曲线在处的切线为，圆：上恰好存在2个点，到切线的距离为1，则的一个取值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知公差为d的等差数列的前n项和为，则（ ）
A．是等差数列B．是关于n的二次函数
C．不可能是等差数列D．“”是“”的充要条件
10．在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（ ）
A．B．
C．D．随的增大先增大后减小
11．在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，有下列四个结论正确的是（ ）

A．面
B．
C．三棱锥的体积是
D．异面直线所成角的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则的最大值是
13．将个班分别从个景点中选择一处游览，共有种不同的选法，则在的展开式中，含项的系数为 .
14．已知等比数列是公比为2的数列，且，数列满足，数列与中的所有项分别构成集合与.定义集合且.将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前50项和为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，分别为三个内角，，的对边，
(1)求角
(2)若，的面积为，判断的形状.
16．如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.
(1)求点到直线的距离
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知数列，数列的前n项和为，且.
(1)令，求数列的前n项和.
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.
18．为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了下面的频率分布表（不完整），并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
(1)求出的值，并补全频率分布表；
(2)根据频率分布表补全样本容量为的列联表（如下表），并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）；
根据频率分布表列出如下的列联表：
(3)一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.该校距李明较近的有甲、乙两家食堂，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.记他选择去甲食堂就餐为事件A，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D，且D，A均为随机事件，证明.
附：，其中.
19．已知函数.
(1)当时，证明：是增函数.
(2)若恒成立，求的取值范围.
(3)证明.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由题意可知，，
所以，所以，
故选：D.
2．【正确答案】B
【分析】取特殊值，可知A错误；利用作差法即可判断比较出选项BCD的大小，得出结论.
【详解】对于A，若，则错误，如时，，所以A错误；
对于B，若，则，所以B正确；
对于C，若，则，所以C错误；
对于D，若，则，所以D错误.
故选B.
3．【正确答案】A
【分析】
根据双曲线：的虚轴长为2求出对应的值即可判断.
【详解】
若双曲线：的虚轴长为2，
则当且时，即时，，解得，
当且时，即时，，解得，
所以“双曲线：的虚轴长为2”对应的值为或，
故“”是“双曲线：的虚轴长为2”的充分但不必要条件.
故选：A.
4．【正确答案】C
【详解】因为，所以，即，
所以，.又，所以，
解得，故.
故选：C.
5．【正确答案】B
【详解】函数的图象向右平移个单位即可得到
的图象，
法一：当时，，
若在区间上单调递增，则，解得，
即的最大值为；
法二：令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，
依题意可得，所以，即的最大值为.
故选：B.
6．【正确答案】A
【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论．
【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，，
又，所以是等边三角形，，
设，
则，作于，则，所以，
即为向量在向量上的投影向量，．
故选：A．
7．【正确答案】B
【分析】
根据前4小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，求出，再计算经过6小时，空气中剩余污染物的残留量，可得答案.
【详解】
由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉90%，
故由得，所以，即，
由再过滤2小时，即共6小时，空气中剩余污染物为
，
，故污染物所剩比率约为,
故选：B
8．【正确答案】A
【详解】设，
则，，又，
所以切线方程为，即.
圆：，
圆心到直线的距离，即圆心恰在直线上.
如图，到直线距离等于的点，在与直线平行且与直线距离为的两条直线上.

结合圆的半径变化，由图形可知，
当时，圆上存在4个点到直线的距离为1；
当时，圆上存在2个点到直线的距离为1；
当时，圆上不存在到直线的距离为1的点.
综上可知，当时，圆上存在2个点到切线的距离为1.
故选：A.
9．【正确答案】AD
【分析】
根据等差数列前项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC，再结合充分条件和必要条件的定义即可判断D.
【详解】
解：由知，，
则，所以是等差数列，故A正确；
当时，不是n的二次函数，故B不正确；
当时，，
则，所以是等差数列，故C不正确；
当时，，故，
，
所以“”是“”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
10．【正确答案】CD
【分析】根据二项分布的方差性质判断A，根据二项分布的期望公式及方差结合正态分布的期望与方差判断B，根据二项分布概率公式和正态分布的性质求概率判断C，根据二项分布的概率公式单调性判断D.
【详解】由题意，则，
所以，故选项A错误；
，则，设当时概率最大，
则有，即，
解得，由，所以当时概率最大，
则，
即随的增大先增大后减小，故D选项正确；
又，则，，
所以，故选项B错误；
，
又，所以，故选项C正确.
故选CD.
11．【正确答案】ABC
【详解】解：对A，连接，

由正方体的性质可知，又平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故A正确；
对B，因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
同理可证平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以，故B正确；
对C，因为平面平面，所以平面，
所以，故C正确；
对D，因为，与所成角为异面直线与所成角，
连接，可得为等边三角形，
此时与所成角最小，可得与所成角的范围是，故不正确.
故选：ABC.
12．【正确答案】/
【详解】，则，
当且仅当即时取等号．
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由题意得.
在的二项展开式中，通项为，
由得，该项为，含项的系数为.
故答案为.
14．【正确答案】3066
【详解】因为数列为等比数列，且，所以.
，，
即是数列中的第项.
设数列的前n项和为，数列的前n项和为，
因为
所以数列的前50项是由数列的前56项去掉数列的前6项后构成的，
所以.
故3066.
15．【正确答案】(1)
(2)为正三角形
【详解】（1）由正弦定理知：，而，
∴，即，
又，∴，∴，即，
又，∴，∴，则.
（2）因为，所以，
将代入，整理得：，
则，即（舍去），故，所以，
所以为正三角形.
16．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）如图，连接，由题设，，，，
由直棱柱性质及，在中，在中，
在中，在中，
所以在△中，，则，
所以到直线的距离.
（2）以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易知：，，，则，．
因为平面，所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，则，取，则，
所以，即平面与平面的夹角的余弦值为．
17．【正确答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为
故数列为等差数列，公差为2，
又，
所以.
所以数列的通项公式.
因为①
②
①-②可得，
当n=1时，，
故是首项为2，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式.
因为
所以
化简得.
（2）由（1）知，.
所以.
所以.
设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
则，所以，即.
又因为m，k，p成等差数列，所以，所以，
化简得，所以，
又，所以与已知矛盾.
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.
18．【正确答案】(1)，频率分布表见解析；
(2)列联表见解析，能；
(3)证明见解析.
【详解】（1）组的频率为，
估计学生与最近食堂间的平均距离，
解得，
所以补全频率分布表如下：
（2）由（1）知，名学生中，距最近食堂较近的学生有名，在食堂就餐的有名，
距最近食堂较远的学生中，在食堂就餐的有名，
因此列联表如下：
零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关，
于是，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关.
（3）依题意，，，
显然，则，
由条件概率公式知，即，
，
所以成立.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，定义域为，
则.
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，
则，故在上恒成立，是增函数.
（2）当时，等价于，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以.
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则，所以，即，
故的取值范围为.
（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，
所以，…，，
故.学生与最近食堂间的距离
合计
在食堂就餐
0.15
0.10
0.00
0.50
点外卖
0.20
0.00
0.50
合计
0.20
0.15
0.00
1.00
学生距最近食堂较近
学生距最近食堂较远
合计
在食堂就餐
点外卖
合计
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
学生与最近食堂间的距离
合计
在食堂就餐
0.15
0.20
0.10
0.05
0.00
0.50
点外卖
0.05
0.20
0.15
0.10
0.00
0.50
合计
0.20
0.40
0.25
0.15
0.00
1.00
学生距最近食堂较近
学生距最近食堂较远
合计
在食堂就餐
700
300
1000
点外卖
500
500
1000
合计
1200
800
2000