2024-2025学年云南省曲靖市麒麟区高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省曲靖市麒麟区高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析），共12页。试卷主要包含了记为等比数列的前n项和，已知圆与圆，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置，在试题卷、草稿纸上作答无效．选择题作答必须用2B铅笔填涂．
2．考试结束后，请将答题卡交给监考教师．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．（
2．已知双曲线的焦距为，实轴长为4，则双曲线C的渐近线方程（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．记为等比数列的前n项和．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．10
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与x轴相切，则
B．若，则圆与圆相离
C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线与圆始终有两个交点
10．已知等差数列的前n项和为，公差，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当或时，取得最大值 D．当时，n的最大值为20
11．已知定点，动点P到B的距离和它到直线的距离的比是常数，则下列说法正确的是（ ）
A．P，A，B不共线时，面积的最大值为 B．点P的轨迹方程为：
C．存在点P，使得 D．O为坐标原点，的最小值为4
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．抛物线的焦点坐标为______．
13．已知数列的前n项和，则______．
14．已知两点，若点P是圆上的动点，则的面积的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
16．（本题满分15分）已知数列为等比数列，在数列中，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的通项公式和数列的前n项和．
17．（本题满分15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小．
（2）若，求的周长．
18．（本题满分17分）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是梯形，且，点C是的重心，与交于点M．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值．
19．（本题满分17分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于M、N两点．当l垂直于长轴时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上是否存在点P，使得当l绕点F转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
高二年级数学答案
一、单项选择题：
1．选：D 直线的斜率为，直线的一个方向向量是，
因为与共线．
2．选：C 由已知，得双曲线的焦点在y轴上，双曲线的焦距，解得，双曲线的实轴长为，解得，则，
即双曲线C的渐近线方程为．
3．选：C 线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即与直线l方程联立，得圆心坐标为．又圆的半径，所以，圆C的方程为，即．
4．选：A 设等比数列的公比为q，则由解得
所以．
5．选：B 由题意可知，
在，由余弦定理得，
化简得，则，所以．
6．选：D 直线过定点当时，有最小值.
7．选：A 由题意，得的斜率为，而的渐近线为．由于直线l与双曲线C没有公共交点，如图，
所以，即，故，即，所以，故，即．
8．选：B 由正项等比数列可知成等比数列，
则，又，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为．
二、多项选择题：
9．选：BD 因为，所以若圆与x轴相切，则有故A错误；
当时，，两圆相离，故B正确；
由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误；
直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确．
10．选：BCD 因为，所以，即 ①，又因为是与的等比中项，所以，所以，整理得 ②，由①②解得，故A错误，B正确；所以，又，所以当或时，取得最大值，故C正确；令，解得，又，所以n的最大值为20，故D正确．
11．选：AD 当P点与椭圆短轴顶点重合时，面积的最大值为，故A正确
由已知条件设，化简得到P的轨迹方程，故B错
因为以为直径圆与椭圆没有交点，因此不存在P，使得，故C错
作，C为垂足，则当C，P，O共线时，取得最小值4，故D正确
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．答案： 形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解．
13．答案：，当时，；
当时，．
当时，，所以
14．答案： 解析：可化为，则圆C为以为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线作垂线交圆于点P，连接，这时的面积最小，直线的方程为，即，圆心C到直线的距离，又，所以的面积的最小值为．
四、解答题：
15．答案： 解：（1）由题中频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为，
同理，在中的频率分别为．
由，解得．
（2）由（1）可知，100位居民中每人月均用水量不低于3吨的频率为．
根据样本中的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为．
（3）x的值为．理由如下：因为前6组的频率之和为，
前5组的频率之和为，所以．
由，解得．
所以估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准．
16．答案： （1）由已知，所以等比数列的公比为，
所以，所以数列是以为首项，2为公差等差数列，
所以．
（2）由（1）得：由已知，所以等比数列的公比为
所以数列的通项公式
．
17．答案： （1）由可得，即，
由于，故，解得．
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
由正弦定理可得，，即，解得，
故的周长为
18．答案： （1）在，所以，所以
因为平面平面，平面平面平面所以平面
（2）连接并延长，交于点N，连接，
因为点G是的重心，所以N是的中点，且，
在梯形中，因为，且，
所以，则，所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（3）取的中点H，连接，
在中，，所以且，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
在，所以，
所以，
则以D为坐标原点，所在直线为x轴，y轴，
过点D且与平行 直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题知，
所以，
设平面的法向量为，
则，所以，令，则，故，
又为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为θ，所以
25，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
19．答案： （1）当l垂直于长轴时，设直线l的方程为，
联立直线与椭圆可得，
故由题意得解得椭圆的标准方程为：．
（2）假设椭圆C上是存在点P，设为，使得四边形为平行四边形．
，显然当直线l的斜率为0时不合题意，则设直线l的方程为：，
联立与消去x得，判别式，
设，则，，
则，
则中点坐标为，中点坐标为，
则，解得，代入椭圆方程化简得，解得．
此时，所以椭圆C上是存在点P，使得四边形为平行四边形．